科學的內核

《工具論》與《幾何原本》

不管古希臘人對世界的觀念如何，最重要的事情是其在數學上所做的工作。整個古希臘文明在科學上所做的工作非常多，做出貢獻的大師可說是群星燦爛，不過最終總結起來主要就是兩本書：亞里士多德的《工具論》，以及歐幾里德的《幾何原本》。前一本書是對古希臘大量智者邏輯學研究的總結，後者是對數學研究的集大成之作。《幾何原本》不僅僅是建立了整套的平面幾何學，更重要的是為科學理論應當如何建立提供了第一個模版，它為後世所有想把自己稱為是「科學理論」的學術成就提供了必須遵守的標準。這裡我們主要簡單介紹《幾何原本》以及由它確定的科學理論結構和模式。事實上，當邏輯學和數學建立之後，它們是怎麼獲得的就不是太重要了。人類既然已經擁有了它們，只要明白它們本身就足夠了。它們已經被創造了，就不需要再被重新創造一回。因此，其他任何文明都沒必要去後悔自己為什麼沒有建立數學和邏輯學，只要在此基礎上獲得更多科學成就即可。

不定義的概念與定義的概念

要進行任何科學的研究，必須要確定研究的對象和概念。通過邏輯的方法，可以把一些概念的定義建立在另一些概念的基礎之上，例如要定義「白馬」，就可以用更基本的「馬」「毛髮」「皮膚」的概念，和顏色「白」的概念來進行定義：「白馬」就是「毛髮和皮膚顏色為白色的馬」。後一些概念又可以通過邏輯方法建立在這些已定義的概念基礎之上。但這樣總有一些概念是無法再用其他概念來進行定義的。這些最基本的概念就是「不定義的概念」。每一門學科都會有最基本的「不定義的概念」。那麼如何確保不定義的概念其內涵和外延都是清晰明了的呢？對不起，數學和邏輯本身無法保證，只能是它們最簡單明了，簡單到人人一看就明了的程度。

公理與定理

《幾何原本》全書共分13卷。書中包含了5條「公理」、5條「公設」、23個定義和467個命題。公理是指一切數學甚至科學中都不用證明的命題，而公設只是在所要研究的理論中不用證明的命題。如歐幾里德在此研究的是幾何學理論，公設就只是應用於幾何學中。著名的「平行公理」，在歐幾里德的《幾何原本》中就稱為「平行公設」（第五公設）。現代數理邏輯把「公設」與「公理」統一了。因此到今天只有公理，極少再提公設。現代公理系統和方法是大數學家D.希爾伯特於1899年提出的，不過其原理與歐幾里德建立的公理化方法本質上是一樣的。

《幾何原本》是用邏輯的方法，系統而完備地建立了過去所研究的所有幾何命題之間的邏輯證明關係，被證明的就叫「定理」。簡單而直接地來理解就是已經被邏輯證明，從而確定其正確性的真理。但是，要證明定理就需要以其他命題為前提，這個作為前提的命題怎麼保證其正確性呢？那就用更基本的命題來證明它。但這樣一直往前推，總有一些命題是無法用邏輯和其他命題證明的。這些不能用邏輯和其他命題證明的命題就是「公理」，這與「不定義的概念」有些類似。那怎麼保證「公理」是正確的呢？對不起，整個數學和邏輯都沒有辦法保證。亞里士多德在《形而上學》「卷二章二」中專門討論了這個問題。他把這稱為「第一原理」。

「顯然，世上必有第一原理，而事物既不能有無盡列的原因，原因也不能有無盡數的種類……原因的種類若為數無盡，則知識也將成為不可能；因為我們只有肯定了若干種類原因以後，才可以研究知識，若說原因是一個又一個的增加，則在有限的時間內人們就沒法列舉。」這個第一原理，在科學認識的邏輯方法上表現其實就是公理。但是，這種理解並不是嚴格證明的，而只是直觀上說，好像不假設第一原理沒辦法，會沒完沒了，所以只能承認有第一原理。

亞里士多德將原因分為四類：「其一為本體亦即怎是（"為什麼"即旨在求得界說最後或最初的一個"為什麼"，這就指明了一個原因與原理）〈本因〉；另一是物質或底層〈物因〉；其三為動變的來源〈動因〉；其四相反於動變者，為目的與本善，因為這是一切創生與動變的終極〈極因〉。」

亞里士多德的這四個原因類型中，前三項都是關於認識的，在今天的科學中大致有這樣的對應關係：「本因」對應公理和不定義的概念；「物因」對應靜態原理（如靜力學原理）或物質構成（如現在認識到的分子、原子、基本粒子等）；「動因」對應動態原理（如動力學原理）。當然，從今天的科學來看，「靜態」與「動態」的區分已經是非常相對而非絕對的了。例如質量在過去被認為是一個靜態的問題，但現在的科學已經指明這種認識已經遠遠不夠了。愛因斯坦的質能公式已經指出靜態的質量是可以轉化為動態能量的。第四個「極因」則是與認識相對應的另外一個方面的「科學應用」問題。

其實，平面幾何中是可以有多種不同選擇來選出公理的，但既然不能直接用邏輯來證明，那就最好是選擇最簡單明了、最容易確認其正確性的命題來當「公理」。所以，直到今天的科學對「公理」的理解就是簡單明了到「不證自明」。

公理體系的性質

單純一條公理所能證明的定理是有限的，要證明幾何學中的所有定理，需要一定數量的公理。因此，要證明幾何學中的所有定理，必須要有足夠的公理數量。這些足夠數量的公理和不定義的概念，就構成「公理體系」，通過這個公理體系，就可邏輯地推導出它們所決定的所有定理。這個性質和要求就是公理體系的「完備性」。

如果某一個被選擇的「公理」最後發現可以被其他公理邏輯地推導出來，那它就不能被當作公理了，因為這顯然「多餘」。公理的數量要被減少到最少的程度，這就是科學理論結構和形態上的「簡單性」。它所對應的是公理體系的「獨立性」，就是任何公理與其他公理是不能有邏輯證明關係的，是邏輯上相互獨立的。

如果一個公理被發現與其他公理之間是有邏輯矛盾的，按邏輯不矛盾律的要求，其中必有一個正確，另一個錯誤，錯誤的當然就必須被拋棄。這是公理體系的「一致性」。

「一致性」「獨立性」和「完備性」，這就是公理體系的三個最基本性質。

所需要強調的一點是，公理體系的簡單性顯然不意味著公理的數量只能有一個，現代數理邏輯甚至發現一些公理體系的公理數量非常龐大、甚至是無窮多的公理體系。

如果按上述公理體系的結構來考察，很多學術理論並不完全符合科學的理論結構和模式要求，並且對理論的科學性應當是什麼樣的存在極大的誤解。例如，弗洛伊德認為人的心理全都是由「力比多」決定的，而阿德勒又認為「自卑情結」是決定人一切心理的基礎。這些理論都有些「一元論」的傾向，雖然其並未明確說明，但有「公理只容許有一個」的潛在錯誤認識問題。在這種情況下當然很難獲得完備的科學理論。

古希臘數學和邏輯留下的問題

以上按邏輯和數學建立的科學理論的確非常完美，但也留下了很多問題：

1.不定義的概念怎麼確定？不定義的概念不能依賴於其他概念來進行定義，那麼這些概念如何確定其涵義、外延和保證其科學性。

2.公理如何獲得和保證其正確性？「不證自明」與其說是一個解決方法，不如說是在沒辦法解決的情況下，只是要給一個說法，事實上等於把這個問題給放下和迴避了。現代數學邏輯發展過程中曾把這個問題重新撿起來，想僅僅在數理邏輯的範疇內來解決這個問題，最終還是失敗了。雖然這樣，直到今天很多人依然把它當作獲得和確保科學真理的一個方法。美國《獨立宣言》中確定的主要原則全都是通過「不證自明」來保證的。整個《獨立宣言》全都是以這種方式來保證其理論，宣言中在一開始要闡述自己觀點時就說道：「我們認為這些真理是不證自明的。」（We hold these truths to be self-evident)但是，科學必須對一切認識對象都給出科學的解決方法，「一切不通過科學方法保證的東西都絕無可能自明」

3.公理體系雖然在理論上說已經決定了其中所有的定理，但一般來說，即使一個公理體系內部的定理也都很可能是無窮無盡的，而人類不可能一下子去研究無窮無盡的對象。一切定理都是在一定邊界條件下獲得的，所謂「邊界條件」其實就是有一定限定條件情況下，此時可定義相應的更細節概念。從今天看來就是形成科學分支或細分領域的情況，或者就是一個具體科學問題或研究課題的情況。那麼如何確定哪些邊界條件下的定理才是我們優先要研究和解決的呢？這隻有通過測量現實條件哪個問題多，哪個重要，就哪個優先。

以上問題，其實就是第二次科學革命以後的科學發展所要解決的，它們只有通過對現實的客觀研究對象的測量才能獲得和確定，而不能僅僅靠古希臘科學的觀念來解決。

《實驗、測量與科學》倡導的第三代科學文明，將徹底解決第二次科學革命所遺留的問題，本書開發出的超高靈敏度和超高精確度的「科學探針」不僅可以準確無誤地探測出所有非科學的理論假說，而且可以準確無誤地顯示出每一個有意義的科學理論發展，其關鍵進步點在哪裡。

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