五年級奧數：周期性問題

例1. 某年的二月份有五個星期日，這年六月一日是星期_____

【解析】

因為7X4=28，由某年二月份有五個星期日，所以這年二月份應是29天，且2月1日與2月29日均為星期日，3月1日是星期一，所以從這年3月1日起到這年6月1日共經過了

31+30+31+1=93(天).

因為93?7=13…2，所以這年6月1日是星期二.

小貼士

本題是推斷若干天、若干月或若干年後某一天為星期幾，解答這類問題主要依據每周為七天循環的規律，運用周期性解答.在計算天數時,要根據「四年一閏，整百不閏，四百年才又一閏」的規定，即公曆年份不是整百數時，只要是4的倍數就是閏年，公曆年數為整百數時，必須是400的倍數才是閏年.

例2 時針現在表示的時間是14時正,那麼分針旋轉1991周後,時針表示的時間是_____.

【解析】分針旋轉一周為1小時,旋轉1991周為1991小時.一天24小時,

1991 X24=82…23，1991小時共82天又23小時.現在是14時正,經過82天仍然是14時正,再過23小時,正好是13時.

在圓面上,沿著圓周把1到12的整數等距排成一個圈,再加上一根長針和一根短針,就組成了我們天天見到的鐘面.鐘面雖然是那麼的簡單平常,但在鐘面上卻包含著十分有趣的數學問題,周期現象就是其中的一個重要方面.

例3 把自然數1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那麼數「1992」在_____列.

【解析】

仔細觀察題中數表.

1 2 3 4 5 (奇數排)

第一組

98 7 6 (偶數排)

10 11 12 13 14 (奇數排)

第二組

18 17 16 15 (偶數排)

19 20 21 22 23 (奇數排)

第三組

27 26 25 24 (偶數排)

可發現規律如下:

(1)連續自然數按每組9個數,且奇數排自左往右五個數,偶數排自右往左四個數的規律循環排列；

(2)觀察第二組,第三組,發現奇數排的數如果用9除有如下規律:第1列用9除餘數為1,第2列用9除餘數為2,…，第5列用9除餘數為5.

(3)10÷9=1…1，10在1+1組，第1列

19÷9=2…1，19在2+1組，第1列

因為1992÷9=221…3，所以1992應排列在（221+1）=222組中奇數排第3列數的位置上.

例4 在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點，同時自右至左每隔5厘米也染一個紅點，然後沿紅點處將木棍逐段鋸開，那麼長度是1厘米的短木棍有多少根？

【解析】因為100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.於是我們可以看作是從同一端點染色.

6與5的最小公倍數是30,即在30厘米的地方,同時染上紅色,這樣染色就會出現循環,每一周的長度是30厘米,如下圖所示.

由圖示可知長1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期中,6-5=1,5X5-6X4=1.剩餘10厘米中有一段.所以鋸開後長1厘米的短木棍共有7段.綜合算式為:

2X[(100-10)÷30]+1

=2X3+1

=7(段)

例5 緊接著1989後面一串數字，寫下的每個數字都是它前面兩個數字的乘積的個位數.例如8X9=72,在9後面寫2,9X2=18,在2後面寫8,……得到一串數字:

1 9 8 9 2 8 6……

這串數字從1開始往右數，第1989個數字是什麼？

【解析】依照題述規則多寫幾個數字:

1989286884286884……

可見1989後面的數總是不斷循環重複出現286884，每6個一組，即循環周期為6.因為(1989-4)÷6=330…5，所以所求數字是8.

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