第五章 平面向量總結

第五章 平面向量總結

二. 知識分析：

1. 向量的有關概念

定義既有大小又有方向的量叫做向量（自由向量）

2. 向量的加法與減法

（1）加法法則：三角形法則與平行四邊形法則

三角形法則：首尾相接 平行四邊形法則：起點相同

（2）運算性質：

，

，

（3）減法法則：

是起點O連接

終點指向被減數的向量

（4）常用結論：

；

；

3. 實數與向量的積

（1）定義：

①

時，

與

同向，②

時，

與

反向，③

時，

。

（2）運算律：①

②

③

④

（3）

有且只有一個實數

，使

註：此條件應用非常廣泛，是證明三點共線的重要依據。

（4）平面向量的基本定理

為一組基底，平面內任一向量

，有且只有一對實數

，使

，

（5）幾個重要結論

① 已知

，

，C是A、B中點，則

② 以原點為起點的三個向量

的終點A、B、C在同一條直線上的充要條件是

，其中

，

4. 線段的定比分點

（1）定義：設

是直線

上的兩點，點P是

上不同於

的任意一點，則存在唯一實數

，使

，

叫做P分

所成的比

（2）設

、

、

且

則

時，P為線段

的中點，則

（3）

的重心坐標公式

、

、

、重心

則

（坐標表示）或

（向量表示）

常見題型：① 求有向線段的比；② 證明三點共線；③ 求

的角平分線長；④ 求

的內心

5. 平面向量的數量積

（1）兩平面向量的夾角

，

，

範圍：

（2）非零向量

與

垂直：

（3）

與

的數量積（內積）

（非零向量）① 定義：

②

的幾何意義：<1>

等於

的長度與

在

方向上的投影的乘積

<2>

在

上的投影為

（4）

的性質，設

，

是兩個非零向量，

是單位向量

①

②

③ 當

與

同向時，

；當

與

反向時，

④

（實現模與向量內積的相互轉化）

兩點間距離公式：若

、

，則

⑤

（

與

的夾角

）

⑥

；

（5）

的運算律

①

②

③

註：

（a）

不滿足結合律

（b）數量積的多項式乘積類似實數多項式的乘積

6. 平移

（1）圖形平移的定義：設F是坐標平面內的一個圖形，將F上所有點按同一方向，移動同樣長度，得到圖形

，這一過程叫圖形的平移。

（2）平移公式

設

，按

平移，對應點

則有

或

理解：公式中反映的平移可以分解為兩步進行。

① 沿x軸正方向平移h個單位

② 再沿y軸正方向平移k個單位

（3）點的平移關係

① 點

按

平移得

② 點

按

平移得

，則

③ 點A按

平移，得

，則

（4）函數、曲線的平移關係

① 圖形F：

按

平移，得圖形

；

② 圖形F：

按

平移，得圖形

；

則

③ 圖形F按

平移得

則F：

【典型例題】

[例1] 設兩非零向量

和

不共線

（1）若

，

，

，求證A、B、D三點共線；

（2）試確定

，使

和

共線。

解：（1）

故

，所以A、B、D三點共線

（2）

和

共線，則存在

，使

即

，又由

與

為不共線向量，則

且

，解得

[例2] 已知

，

（1）計算

和

；

（2）當

為何值時，

與

共線。

解：（1）由

則

，

（2）由

，

此時

與

反向共線

[例3] 已知向量

，

（1）若

與

共線，求x，y的值；

（2）若

，求x，y的值。

解：（1）由

（2）

[例4] 已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），試求AC與BD交點的坐標。

解：設AC與BD相交於M點，由A、M、C三點共線，設

，則

同理

故

由（2）×2+（1）得

故

，即AC與BD相交於M（6，4）

[例5] 在

中，已知

，

，

，過A作AD交BC於D，若AD把

的面積分成

兩部分，求D點坐標。

解：

或

由定比分點公式，有

，

故

，

，即

或

，

，即

【模擬試題】

一. 選擇題

1. 已知

，

，又

為第三象限，則

的值為（ ）

A.

B.

C.

D. 0

2.

，

，

，且

，則

（ ）

A. 5 B.

C.

D. 1

3.

，

，

三點共線，則

（ ）

A.

B.

C.

D. 13

4. 已知

，

，若線段與y軸交於點M，則M分

所成的比為（ ）

A.

B.

C. 2 D. 3

5. 已知

，

，且

，則銳角

等於（ ）

A.

B.

C.

D.

或

6. 已知

關於點

的對稱點是

，則點

到原點的距離是（ ）

A. 4 B.

C.

D.

二. 填空題

7.

的重心是G，CA中點為M，且A、M、G三點坐標分別為（6，6），（7，4），

，則

。

8. 平行四邊形ABCD中，已知頂點

，B（3，1），對角線AC與BD交於點M（2，2），則頂點C、D坐標分別為 和 。

9. 已知A（2，3），B（1，4），且

，

，則

。

10. 已知

，

，

，且

，則

。

11. 已知

，

，

三點共線，則

。

12. 已知

，

，若線段與

軸交於點M，則M分

所成的比為 。

三. 解答題

13. 在

，已知重心G（1，1），BC的中點

，AC的中點E（2，0），求

各頂點坐標。

【試題答案】

一.

1. A 提示：

，又

為第三象限，故

2. D 提示：

，

，

3. C 提示：由

4. C 提示：設

，由

5. B 提示：

，又

，則

6. D 提示：由

，

，

二.

7.

提示：先求C坐標，

，

，再求

，則

8. C（3，5）；D（1，3） 提示：由中點公式

9.

或

提示：

，又

，則

，

10. 1 提示：

，

，

11.

提示：由

12. 2 提示：設

，由

三.

13. 解：重心G分

所成的比是2，設A點坐標是

，則

即A（3，5）

又由E是AC中點，故C坐標

由D是BC中點，故B點坐標為

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