14.1（一）冪級數的收斂區間

06-27

14.1（一）冪級數的收斂區間

來自專欄數學分析教學筆記

冪級數 $sum_{n=0}^infty a_n (x-x_0)^n$

冪級數是最簡單的函數項級數，這裡請大家注意，簡單和有用往往是「正相關」的關係，而絕不是「越簡單就越沒用，越複雜就越有檔次」。

畢竟，人貴有自知之明，能把簡單的東西做好，本身已經殊為不易。

我們重點討論冪級數 $sum_{n=0}^infty a_nx^n$ ，它可以和上述所謂「一般情形」輕易地相互推導。

冪級數的收斂區間

探討函數項級數，在數學分析課程中，最重要的是看它有沒有一致收斂性。

第一個事情則是確定它的收斂域，即它的「和函數的定義域」。

首先顯然地，x=0在冪級數的定義域之內。

下面的定理幫助我們認識冪級數的「收斂特點」，即著名的阿貝爾定理。

定理14.1（阿貝爾定理） 若冪級數 $sum a_n x^n$ 在 $x=ar{x} eq 0$ 處收斂，則對滿足不等式 $|x|<|ar{x}|$ 的任何 $x$ ,冪級數 $sum a_nx^n$ 絕對收斂。

證明由級數收斂的必要條件， $lim_{n ightarrowinfty}a_n ar{x}^n=0 Rightarrow exists M>0, |a_n ar{x}^n|leq M,$ 所以

$|a_n x^n| = |a_nar{x}^n left(frac{x}{ar{x}} ight)|leq M left|frac{x}{ar{x}} ight|^n=Mr^n,$ ,

注意到 $r=|x/ar{x}|<1$ ,由比較原則，級數絕對收斂。 $Box$

注定理的另一部分，即其逆否命題是：

若冪級數 $sum a_n x^n$ 在 $x=ar{x}$ 處發散，則對滿足不等式 $|x|>|ar{x}|$ 的任何 $x$ ,冪級數 $sum a_nx^n$ 發散。

設 $R$ 為所有收斂點的絕對值的上確界（這是存在的！），由阿貝爾定理，在 $(-R,R)$ 內的任一點，冪級數都是絕對收斂的。

我們記上述 $R$ 為冪級數的收斂半徑， $(-R,R)$ 稱收斂區間。

定理14.2 對於冪級數 $sum a_n x^n$ ，若 $lim_{n ightarrowinfty} |a_n|^{1/n}= ho,$ 則 $R=1/ ho.$

注意當 $ho$ 是0或∞時的情形，相信大家能理解。

證明它的證明來自正項級數的根式判別法。

補充我們已經知道，若 $lim_{n ightarrow infty} left|frac{a_{n+1}}{a_n} ight|= ho,$ 則必有 $lim_{n ightarrowinfty} |a_n|^{1/n}= ho$ ，所以我們也經常用這個方法計算收斂半徑。

收斂域則包含收斂區間，以及（可能）收斂的端點。

端點處的收斂性要具體問題具體分析。

更加一般的定理，即定理14.3（柯西-阿達瑪定理），即用上極限來定義收斂半徑，這裡我們暫時不展開，適當的時候我會做成專題學習。

我們現在已經可以做下面的幾個例題。

例1 $sum frac{x^n}{n^2}$ 收斂域為 $[-1,1]$ .

例2 $sum frac{x^n}{n}$ 收斂域為 $[-1,1)$ .

例3 求 $1+frac{x}{3}+frac{x^2}{2^2}+cdots+frac{x^{2n-1}}{3^{2n-1}}+frac{x^{2n}}{2^{2n}}+cdots$ 的收斂域。答案(-2,2)

注例3用定理14.3更好，但其實也可以不用，希望有同學能把它作為思考題嘗試一下，不難。

下面的例4是現在各類考試喜歡出的類型，通常稱為「缺項冪級數」，它的方法也不唯一，我這裡推薦大家如下的方法——回歸比式判別法或根式判別法即可。

例4 $sum frac{x^{2n}}{n-3^{2n}}.$

解由根式判別法， $left | frac{x^{2n}}{n-3^{2n}} ight|^{1/n}=frac{x^2}{9}<1Rightarrow |x|<3$ 時收斂，|x|>3時發散，此外，當x=3,-3時通項的極限均不為0，因而級數發散。所以收斂域為(-3,3).

下面討論冪級數 $sum a_nx^n$ 的一致收斂性，有了函數項級數的知識儲備，這些結論倒也不難證明，但應用價值非常大。

定理14.4 若冪級數 $sum a_nx^n$ 的收斂半徑為 $R$ ，則它在其收斂區間 $(-R,R)$ 內閉一致收斂。

證明這個證明只需要直接使用內閉一致收斂的定義。

注意教材裡面這個定理沒有用「內閉一致收斂」概括，其實是不太妥當的。

下面的定理使我們知道冪級數的「內閉一致收斂性」延展到端點，升格為「一致收斂性」是個很自然的事情。

定理14.5 若冪級數 $sum a_nx^n$ 的收斂半徑為 $R$ ,且在 $x=R$ 處收斂，則它在 $[0,R]$ 一致收斂。

證明這裡只需用到一致收斂的阿貝爾判別法。

$a_nx^n = a_n R^n cdot left(frac{x}{R} ight)^n =u_n(x)cdot v_n(x)$ ，顯然 $sum u_n(x)$ 一致收斂， $v_n(x)$ 單調減少，且一致有界（≤1），由阿貝爾判別法，得到結論。 $Box$

最後用一個例子談談一般的冪級數 $sum a_n (x-x_0)^n$ 的收斂性，沒有任何難度，大家注意不要太僵化地照搬公式就行。

例5 求冪級數 $sum frac{(x-1)^n}{2^n n}$ 的收斂域。

解它的做法和例1，例2沒有本質的區別。

先求得收斂半徑R=2, 所以收斂區間為(1-2,1+2)=(-1,3),

然後判斷在端點-1, 3的收斂性，得到x=-1時，收斂；x=3時，發散。

所以收斂域為[-1,3). $Box$

例5非常典型，希望大家認真做一下。

14.1（一） 冪級數的收斂區間

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