均值不等式及其積分形式

06-27

均值不等式及其積分形式

來自專欄超級高考生

調和平均數、幾何平均數、算數平均數、平方平均數與均值不等式

$H_n =frac{n}{sum_{i=1}^{n}frac{1}{x_i}} = frac{n}{frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}+...+frac{1}{x_n}}$ ，稱為調和平均數.

$G_n = sqrt[n]{prod_{i=1}^{n}x_i} = sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$ ，稱為幾何平均數.

$A_n = frac{sum_{i=1}^{n}}{n} = frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ ，稱為算數平均數.

$Q_n = sqrt{frac{sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}} = sqrt{frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}}$ ，稱為平方平均數.

其中 $x_i>0$ .

則有均值不等式： $H_nleqslant G_nleqslant A_nleqslant Q_n$ .用語言描述即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算數平均數，算數平均數不超過平方平均數.

均值不等式的證明方法有很多，可以使用數學歸納法、柯西不等式法、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法等.

其二維形式，就是高中課本中的基本不等式： $sqrt{frac{a^2+b^2}{2} } geqslant frac{a+b}{2} geqslant sqrt{ab} geqslant frac{2}{frac{1}{a} + frac{1}{b}}$

均值不等式的積分形式如下：

$H_a^b = frac{b-a}{int_{a}^{b} frac{1}{f(x)}dx}$ ，

$G_a^b = e^{frac{int_{a}^{b} lnf(x)dx}{b-a}}$ ，

$A_a^b = frac{int_{a}^{b} f(x)dx}{b-a}$ ，

$Q_a^b = sqrt{frac{int_{a}^{b} f^2(x)dx}{b-a}}$ ，

則有： $H_a^bleqslant G_a^bleqslant A_a^bleqslant Q_a^b$ 。

證明：先證 $A_a^bleqslant Q_a^b$ ，

因為 $frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} leqslantsqrt{frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}}$

所以 $frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n} leqslantsqrt{frac{f^2(x_1)+f^2(x_2)+...+f^2(x_n)}{n}}$

所以 $lim_{n ightarrow infty } frac{1}{b-a} cdot frac{b-a}{n}sum_{i=1}^{n}{f(x_i)} leqslant lim_{n ightarrow infty }sqrt{frac{1}{b-a} cdot frac{b-a}{n}sum_{i=1}^{n}{f^2(x_i)} }$

由定積分定義，即： $frac{int_{a}^{b} f(x)dx}{b-a}leqslant sqrt{frac{int_{a}^{b} f^2(x)dx}{b-a}}$

再證 $G_a^bleqslant A_a^b$ ，

因為 $sqrt[n]{x_1x_2...x_n} leqslant frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

兩邊取對數： $frac{1}{n}(lnx_1+lnx_2+...+lnx_n) leqslant lnfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

所以 $lim_{n ightarrow infty } frac{1}{b-a} cdot frac{b-a}{n}sum_{i=1}^{n}{lnf(x_i)} leqslant lim_{n ightarrow infty } ln [frac{1}{b-a} cdot frac{b-a}{n}sum_{i=1}^{n}{f(x_i)]}$

由定積分定義： $frac{int_{a}^{b} lnf(x)dx}{b-a}leqslant ln[frac{int_{a}^{b} f(x)dx}{b-a}]$

即： $e^{frac{int_{a}^{b} lnf(x)dx}{b-a}}leqslant frac{int_{a}^{b} f(x)dx}{b-a}$

同理可證 $H_a^bleqslant G_a^b$ 。

均值不等式的積分形式證畢.

柯西不等式的積分形式：

$int_{a}^{b} f^2(x)dx int_{a}^{b} g^2(x)dx geqslant left(int_{a}^{b} f(x)g(x)dx ight) ^2$ .