代數拓撲抄書筆記 Vol. 2

06-26

代數拓撲抄書筆記 Vol. 2

來自專欄陸葳蕤的小站

要退學了肯定要學習啊不學習沒有學上
May 這方面看懂是不可能看懂的這輩子不可能看懂的
做題又不會做就是抄書才能維持的了學習這樣子

我，陸葳蕤，智障，學不會，抄書，女裝。今天我們來抄同調論吧！

給定 Abel 群 $pi$ ， $pi$ 決定的一個同調理論是指一列同倫拓撲空間偶範疇到 Abel 群範疇的函子 $H_n(X,A;pi)$ ，稱為相對同調群；對每個 $q$ 是正整數，裝備了自然變換 $partial_q : H_q(X,A;pi) ightarrow H_{q-1}(A;pi)$

，其中 $H_n(X;pi) := H_n(X,emptyset;pi)$ ；函子和自然變換滿足以下公理：

維數公理：對單點集 $p$ 有 $H_0(p;pi)=pi;H_i(p;pi)=0,i e 0$
正合公理： $dots ightarrow H_q(X,A;pi) ightarrow H_{q-1}(A;pi) ightarrow H_{q-1}(X;pi) ightarrow H_{q-1} (X,A;pi) ightarrow dots$ 是自然的長正合列
切除公理：對 $(X;A,B)$ 是Excisive triad，嵌入 $(A,A cap B) ightarrow (X,B)$ 誘導出相對同調群間同構 $H_n(A,A cap B;pi) ightarrow H_n(X,B;pi)$
加法公理：每個 $H_n$ 函子保持 coproduct，即如果 $(X,A)= cup_i (X_i,A_i)$ 是不交並，則嵌入映射總誘導出同構 $igoplus_i H_n(X_i,A_i;pi) cong H_n(X,A;pi)$
弱等價公理：弱等價 $f : (X,A) ightarrow (Y,B)$ 給出所有同調群間同構

通過做 CW 逼近，我們可以期待這定義有一個 CW 復形版本，精確地說，就是：

給定 Abel 群 $pi$ ， $pi$ 決定的一個 CW 復形同調理論是指一列同倫 CW pair 範疇到 Abel 群範疇的函子 $H_n(X,A;pi)$ ，稱為相對同調群；對每個 $q$ 是正整數，裝備了自然變換 $partial_q : H_q(X,A;pi) ightarrow H_{q-1}(A;pi)$

，其中 $H_n(X;pi) := H_n(X,emptyset;pi)$ ；函子和自然變換滿足以下公理：

維數公理：對單點集 $p$ 有 $H_0(p;pi)=pi;H_i(p;pi)=0,i e 0$
正合公理： $dots ightarrow H_q(X,A;pi) ightarrow H_{q-1}(A;pi) ightarrow H_{q-1}(X;pi) ightarrow H_{q-1} (X,A;pi) ightarrow dots$ 是自然的長正合列
切除公理：對 $(X;A,B)$ 是 CW traid，嵌入 $(A,A cap B) ightarrow (X,B)$ 誘導出相對同調群間同構 $H_n(A,A cap B;pi) ightarrow H_n(X,B;pi)$
加法公理：每個 $H_n$ 函子保持 coproduct，即如果 $(X,A)= cup_i (X_i,A_i)$ 是不交並，則嵌入映射總誘導出同構 $igoplus_i H_n(X_i,A_i;pi) cong H_n(X,A;pi)$

給定一個 CW 復形同調理論，考慮函子的複合 $mathrm{hPTop} ightarrow mathrm{hPCW} ightarrow mathrm{Abelian}$ ，其中第一個箭頭是 CW 逼近函子，第二個箭頭是相對同調群函子；我們知道任何兩個 CW 逼近函子總是自然同構的，從而這個複合不依賴於第一個函子的挑選，可以假設第一個函子挑選得足夠好，從而切割公理得到滿足，對這複合給出一個同調理論的其它公理的驗證都平凡。

另一方面，CW triad 都同倫等價到Excisive triad。從而我們可以斷言：一個通常同調理論限制到一個 CW 復形同調理論。這也就是說：一個同調理論決定，且僅被其在 CW 對上的表現所決定。

我們接下來給出一個 CW 復形同調理論，with $pi = Z$ ，——從而給出一個通常同調理論，事實上，同調理論被公理唯一確定，但我們不會在這裡證明這件事。

對於一個 CW 復形偶 $(X,A)$ ，設它有 $J_n$ 個 n-cell，則定義 $C_n$ 為 $igoplus_{j in J_n} Z$ ，每個 n-cell 對應一個 $(D^n,S^{n-1}) ightarrow (X^n,X^{n-1})$ ，從而對應一個 $S^{n-1} ightarrow X^{n-1} ightarrow X^{n-1}/X^{n-2} cong igvee_{J_{n-1}} S^{n-1}$ ，記為 $p_j$ ，對每個 $i in J_{n-1}$ ，考慮 $a_{i,j} := mathrm{deg}(pi_i circ p_j)$ ，其中 $pi_i$ 指一點併到第 i 個分量的投影；定義 $d : C_n ightarrow C_{n-1}$ 按 $d(j)=sum_i a_{i,j} i$ ，我們將驗證： $(C,d)$ 是一個鏈復形，並且確給出一個同調理論。

為此，我們來看如何描述 $d$ ，

考慮 cofibration $i : X^{n-1} ightarrow X^n$ ，考慮 $partial_n : X^n/X^{n-1} ightarrow C_i=X^{n-1} imes I cup X^n /(X^{n-1} imes {1}) ightarrow Sigma X^{n-1} ightarrow Sigma(X^{n-1}/X^{n-2})$ ， $Sigma$ 是 unreduced suspension，第一個箭頭是到 homotopy cofiber 的同倫等價，第二、第三個箭頭都是自然的。
有 $Sigma : pi_{n-1}(X^{n-1}/X^{n-2}= vee S^{n-1}) ightarrow pi_n( Sigma(X^{n-1}/X^{n-2}))$ 是同構，它由 suspension map 誘導出來。

我們記 $phi_n : C_n(X) ightarrow pi_n(X^n/X^{n-1})$ 是自然的同構，考慮 $d_n : pi_n(X^n/X^{n-1}) ightarrow pi_{n-1} (X^{n-1}/X^{n-2})$ , $d_n= Sigma_{star}^{-1} circ partial_{n_star}$ ，我們最重要的觀察是：下圖交換

這源於以下的交換圖（精確到同倫）

這張圖的第二列最後一個映射，是指一個 n-1 維球面間的度 aij 的映射的 suspension；最後兩列交換，是源於 pair map 的自然性；前兩列的交換可以直接驗證。注意到 $dn$ 作用在 $pi_n(X_n/X_{n-1})$ 的每個基上的結果限制在 $pi_{n-1}(X_{n-1}/X_{n-2})$ 每個基上，就相當於交換圖上從左上角走到第二列最右方再複合 $Sigma^{-1}$ ，而這圖交換就說明我們的觀察成立。

特別地，這給出 $d^2=0$ ，這是因為只需要驗證 $(d)^2=0$ ，而它就是 $Sigma_{star}^{-1} circ partial_{{n-1}_star} circ Sigma_{star}^{-1} circ partial_{n_star}$ ，只需驗證 $partial_{{n-1}_star} circ Sigma_{star}^{-1} circ partial_{n_star} =0$ ，只需驗證 $Sigma partial_{{n-1}_star} circ partial_{n_star} =0$ ，而這是因為下圖交換，而上部分同倫平凡。

我們已經驗證了我們確實構造出一組鏈復形——特別地，同調群；現在我們定義 $C(X,A)_n := C(X)_n/C(A)_n$ ，容易驗證它是 $C(X/A)_n$ 除了在零維時為零；它當然典範地成為鏈復形，並且有鏈復形正合列 $0 ightarrow C(A) ightarrow C(X) ightarrow C(X,A) ightarrow 0$ ，我們定義相對同調群 $H_n(X,A) := H_n(C(X,A))$ ，為了驗證它的函子性，注意到 celluar map $f: X ightarrow Y$ 誘導出 $f : X^n/X^{n-1} ightarrow Y^n/Y^{n-1}$ ，而這自然給出 $C(X)_n ightarrow C(Y)_n$ 的映射，特別，它和 $d$ 交換，從而它確是鏈映射；對相對情況，由於有自然同構 $H_n(X,A)=H_n(X/A)$ （除零維），從而對 $X/A$ 的函子性保持了相對同調的函子性。