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在地球上，從哪裡出發，向南1km，轉西1km，再向北1km，會回到原點？

06-26

假設你在地球上某個地方。先向南1km，再向西1km，再向北1km，然後你發現又回到了出發的地方。請問你是在何處

北極點；

以及緯度為 heta_0=arcsin(frac{1}{2pi Rk})-frac{1}{R}或者 heta_0=pi -arcsin(frac{1}{2pi Rk})-frac{1}{R}並且 heta_0 in [0,pi ]的一切點，式中k取不為零的正整數。

用經緯度( heta_0,phi_0)表示地球上的點， heta_0表緯度，phi_0表經度。這個問題實際上就是由( heta_0,phi_0)=( heta_0,phi_0-delta)求出 heta_0phi_0的問題。首先討論 heta_0 =0，此時無論經度取多少點都是相等的，所以滿足，這就是北極點； heta_0 =pi本應是另一個奇點，但是由於題目限制所以不取。對於 heta_0 in (0,pi)的一切點，前面的式子等價於delta =2kpi，k取不為零的正整數。根據題目描述，我們可以知道：frac{1}{2pi R sin( heta_0+delta_0)}=delta=2kpi，式中delta_0=frac{1}{R}。解這個方程，我們可以得到：

heta_0=arcsin(frac{1}{2pi Rk})-frac{1}{R}\ heta_0=pi -arcsin(frac{1}{2pi Rk})-frac{1}{R}

為了判斷到底哪些解是合理的，我們首先做近似。我們知道地球半徑是6378.1km，遠大於1km，所以反正弦裡面的數很小，可以保留到一階：

heta_0=frac{1}{2pi Rk}-frac{1}{R}\ heta_0=pi -frac{1}{2pi Rk}-frac{1}{R}

同時我們要求 heta_0 in [0,pi ]，可以得到第一個式子解存在的條件：

k<frac{1}{2pi}，於是實際上第一個式子沒有解。

對第二個式子，其實是pi減去一個很小的正數，所以對於任意的k，解都是存在的。代入幾個值，並且從弧度轉換為度，我們得到一系列滿足條件的點：（取前10個結果）

179.9895871, 179.9903019, 179.9905402, 179.9906594, 179.9907309, 179.9907785, 179.9908126, 179.9908381, 179.9908579, 179.9908738

當然，經度可以任取。

於是我們得到結論，為了做到這一點，要麼在北極點，要麼在南極點旁邊轉圈圈。

PS：這題好像在知乎的某個答案中看到過，那裡作者希望通過這個題目說明對已有答案的題目不能思維僵化，也就是這題不僅有北極點，還有轉一圈的點也可以；但是那裡作者沒有證明確實有這樣的解存在，而且沒有考慮轉好幾圈的情況，我們這裡給出的結果比較完整地考慮了各種情況。

樓上正解，就是太複雜太公式化了。北極點是毋庸置疑的。剩下無數個點其實是，先像南走，然後向東走的時候正好繞地球一，兩圈，三圈到無數圈回到原點，再向北走。回到原點

樓上正解

北極點

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