【題型精練】數列

例1　已知等差數列{an}的前5項和為105，且a10＝2a5.

(1)求數列{an}的通項公式；(2)對任意m∈N*，將數列{an}中不大於72m的項的個數記為bm.求數列{bm}的前m項和Sm.

(1)由已知列出關於首項和公差的方程組，解得a1和d，從而求出an.

(2)求出bm，再根據其特徵選用求和方法．

解　(1)設數列{an}的公差為d，前n項和為Tn，由T5＝105，a10＝2a5，得5a1＋5×(5－1)2d＝105，a1＋9d＝2(a1＋4d)，解得a1＝7，d＝7.因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．

(2)對m∈N*，若an＝7n≤72m，則n≤72m－1.因此bm＝72m－1.所以數列{bm}是首項為7，公比為49的等比數列，故Sm＝b1(1－qm)1－q＝7×(1－49m)1－49＝7×(72m－1)48＝72m＋1－748.

例2　(1)已知正數組成的等差數列{an}，前20項和為100，則a7·a14的最大值是(　　)

A．25B．50C．100D．不存在(2)在等差數列{an}中，a1＝－2013，其前n項和為Sn，若S1212－S1010＝2，則S2013的值為(　　)A．－2011B．－2012C．－2010D．－2013破題切入點　

(1)根據等差數列的性質，a7＋a14＝a1＋a20，S20＝20(a1＋a20)2可求出a7＋a14，然後利用基本不等式．(2)等差數列{an}中，Sn是其前n項和，則Snn也成等差數列．【答案】　(1)A　(2)D【解析】　

(1)∵S20＝a1＋a202×20＝100，∴a1＋a20＝10.∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10.∵an>0，∴a7·a14≤a7＋a1422＝25.當且僅當a7＝a14時取等號．故a7·a14的最大值為25.

(2)根據等差數列的性質，得數列Snn也是等差數列，根據已知可得這個數列的首項S11＝a1＝－2013，公差d＝1，故S20132013＝－2013＋(2013－1)×1＝－1，所以S2013＝－2013.

例3　已知數列{an}的前n項和Sn滿足條件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N*.

(1)證明：數列{an}為等比數列；(2)設數列{bn}滿足bn＝log3an，若cn＝anbn，求數列{cn}的前n項和．

(1)利用an＝Sn－Sn－1求出an與an－1之間的關係，進而用定義證明數列{an}為等比數列．

(2)由(1)的結論得出數列{bn}的通項公式，求出cn的表達式，再利用錯位相減法求和．(1)證明　由題意得an＝Sn－Sn－1＝32(an－an－1)(n≥2)，∴an＝3an－1，∴anan－1＝3(n≥2)，又S1＝32(a1－1)＝a1，解得a1＝3，∴數列{an}是首項為3，公比為3的等比數列．(2)解　由(1)得an＝3n，則bn＝log3an＝log33n＝n，∴cn＝anbn＝n·3n，設Tn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n－1)·3n－1＋n·3n，3Tn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.∴－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝3(1－3n)1－3－n·3n＋1，∴Tn＝(2n－1)3n＋1＋34.

(1)關於等差、等比數列的基本量的運算，一般是已知數列類型，根據條件，設出a1，an，Sn，n，d(q)五個量的三個，知三求二，完全破解．

(2)等差數列和等比數列有很多相似的性質，可以通過類比去發現、挖掘．

(3)等差、等比數列的判斷一般是利用定義，在證明等比數列時注意證明首項a1≠0，利用等比數列求和時注意公比q是否為1.1．已知{an}為等差數列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為(　　)A．－110B．－90C．90D．110【答案】　D【解析】

∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3與a9的等比中項，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.

2．(2014·課標全國Ⅱ)等差數列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數列，則{an}的前n項和Sn等於(　　)A．n(n＋1) B．n(n－1)C.n(n＋1)2D.n(n－1)2【答案】　A【解析】　

由a2，a4，a8成等比數列，得a24＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋n(n－1)2×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．

3．等比數列{an}的前n項和為Sn，若2S4＝S5＋S6，則數列{an}的公比q的值為(　　)A．－2或1B．－1或2C．－2D．1【答案】　C【解析】　方法一　若q＝1，則S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，顯然不滿足2S4＝S5＋S6，故A、D錯．若q＝－1，則S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，不滿足條件，故B錯，因此選C.方法二　經檢驗q＝1不適合，則由2S4＝S5＋S6，得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化簡得q2＋q－2＝0，解得q＝1(捨去)，q＝－2.

4．(2014·大綱全國)等比數列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數列{lgan}的前8項和等於(　　)A．6B．5C．4D．3【答案】　C【解析】　

數列{lgan}的前8項和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.

5．(2014·大綱全國)設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6等於(　　)A．31B．32C．63D．64【答案】　C【解析】　

在等比數列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比數列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，則(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.

6．已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，則使得anbn為整數的正整數n的個數是(　　)A．2B．3C．4D．5【答案】　D【解析】　由等差數列的前n項和及等差中項，可得anbn＝12(a1＋a2n－1)12(b1＋b2n－1)＝12(2n－1)(a1＋a2n－1)12(2n－1)(b1＋b2n－1)＝A2n－1B2n－1＝7(2n－1)＋45(2n－1)＋3＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1＝7＋12n＋1 (n∈N*)，故n＝1,2,3,5,11時，anbn為整數．即正整數n的個數是5.

7．(2013·課標全國Ⅰ)若數列{an}的前n項和Sn＝23an＋13，則{an}的通項公式是an＝________.【答案】　(－2)n－1【解析】　當n＝1時，a1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，故anan－1＝－2，故an＝(－2)n－1.

8．(2014·江蘇)在各項均為正數的等比數列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________．【答案】　4【解析】　因為a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到關於q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.

9．(2014·安徽)數列{an}是等差數列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構成公比為q的等比數列，則q＝________.【答案】　1【解析】　設等差數列的公差為d，則a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，∴q＝a3＋3a1＋1＝a1－2＋3a1＋1＝1.

10．在數列{an}中，如果對任意n∈N*都有an＋2－an＋1an＋1－an＝k(k為常數)，則稱數列{an}為等差比數列，k稱為公差比．現給出下列問題：①等差比數列的公差比一定不為零；②等差數列一定是等差比數列；③若an＝－3n＋2，則數列{an}是等差比數列；④若等比數列是等差比數列，則其公比等於公差比．其中正確命題的序號為________．【答案】　①③④【解析】　若k＝0，{an}為常數列，分母無意義，①正確；公差為零的等差數列不是等差比數列，②錯誤；an＋2－an＋1an＋1－an＝3，滿足定義，③正確；設an＝a1qn－1(q≠0)，則an＋2－an＋1an＋1－an＝a1qn＋1－a1qna1qn－a1qn－1＝q，④正確．

11．(2014·課標全國Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通項公式；(2)求數列{an2n}的前n項和．解　(1)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3，由題意得a2＝2，a4＝3.設數列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝12，從而a1＝32.所以{an}的通項公式為an＝12n＋1.(2)設{an2n}的前n項和為Sn.由(1)知an2n＝n＋22n＋1，則Sn＝322＋423＋…＋n＋12n＋n＋22n＋1，12Sn＝323＋424＋…＋n＋12n＋1＋n＋22n＋2.兩式相減得12Sn＝34＋(123＋…＋12n＋1)－n＋22n＋2＝34＋14(1－12n－1)－n＋22n＋2.所以Sn＝2－n＋42n＋1.

12．(2014·北京)已知{an}是等差數列，滿足a1＝3，a4＝12，數列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為等比數列．(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；(2)求數列{bn}的前n項和．解　(1)設等差數列{an}的公差為d，由題意得d＝a4－a13＝12－33＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．設等比數列{bn－an}的公比為q，由題意得q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.從而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．數列{3n}的前n項和為32n(n＋1)，數列{2n－1}的前n項和為1－2n1－2＝2n－1.所以，數列{bn}的前n項和為32n(n＋1)＋2n－1.