波的頻散

首先，從波函數說起，什麼是波函數呢？

波動過程中，各個媒質質元都在各自的平衡位置附近振動，媒質質元的振動情況反映波動過程的規律，該規律為時間和空間位置的函數，描述這一函數關係的方程成為波函數。——《大學物理》，李甲科，西安：西安交通大學出版社

以最簡單、最基本的平面簡諧波為例，其波函數為

其中， 為角頻率，rad/s； 為波數，rad/m。

當 時，空間波形曲線如下：

對於較為複雜的波，可通過傅里葉變換或傅里葉級數展開為多個平面簡諧波的疊加，可以得到

n = 1,2,3...

以兩個簡諧波疊加為例，波函數為

其空間波形曲線如下：

當波函數為 ，其空間波形曲線如下：

對比 和 的空間曲線，可以看出，前者以固定的形狀向前傳遞，而後者則不斷變化，也就是說後者發生了頻散。為了更好地解釋頻散，在這裡引入兩個概念，相速度和群速度，怎麼理解相速度和群速度？ 相速度指波的某個成分的傳播速度， ；群速度為波的傳播速度， 。於是頻散可解釋為，由於波的各組分的相速度不同，導致波形在空間發生變化，能量分布也隨之改變的現象。

波在傳播過程中是否發生頻散與波的類型及其所處的介質有關。宇宙空間內的電磁波不會發生頻散，同時也不會衰減，因此可以傳播很遠的距離（天文級距離）；在空氣中傳播的聲波也也可近似看做不發生頻散。在某些工業領域，會出現波頻散的現象。

以一個更為複雜的波函數來解釋頻散現象，該波函數為幅值和頻率均不同的100個餘弦函數的疊加，波函數形式如下：

式中， 為常數，這裡取值0或0.1。

首先對相速度進行分析， 不同取值下，波函數各成分的相速度如下：

由上圖可以看出， 時，波的各成分相速度相同，不會發生頻散；而 時，波的各成分的相速度不同，將會發生頻散，波形在空間都發生變化，如下圖所示：

從上圖可以看出，頻散波的波形在空間明顯發生了改變，空間上延伸更長，影響能量的分布，傳播速度和傳播距離也會發生改變。

本文參考Dispersive Waves一文，並利用matlab實現了圖形的繪製ykqin/dispersiveWave。請批評指正！