如何認識趨勢？|來自計量經濟學的視角

來自專欄計量模型與這個世界

時間序列模型，號稱不以經濟理論為依據，依據變數自身的變化規律，利用外推機制描述時間序列的變化。請回憶高考時遇到的數列題，如果我們了解到數列的初始值和數列的遞推機制（時間序列框架還需要求解隨機項的取值分布），我們就可以聲稱我們已經掌握了可知的一切。關於時間序列，有一些補充知識，可見另一篇文章：為什麼會覺得時間序列模型比較難學|時間序列的正名

在這一切當中，趨勢在時間序列研究中是一個重要的概念。當我們聲稱某個經濟變數本身具有某種「趨勢性質」，我們有義務解釋這個趨勢。如果亟待研究的被解釋變數或許存在某種趨勢，我們有義務找變數來描述和控制這個趨勢。還有一些消極的辦法，比如乾脆讓趨勢待在殘差項裡面，不要走動，我們去找White過來想想辦法。通常認為有這麼一類數據，只要把能去的趨勢都去掉之後，餘下部分就可以達到各種性質不隨時間改變的至高境界。對於這種數據來說，只要把趨勢搞明白，然後去掉，時間序列就會像高考的數列題一樣簡單。

不過，誰能為生活不變？鞅過程、隨機遊走、平滑轉移、結構突變，一系列關於複雜趨勢的理論紛至沓來。

什麼是平穩？

嚴平穩和寬平穩的定義常見於各類時間序列教材，不做贅述，無非是一些「只同間隔有關，而與位置無關」的說法顛來倒去，遞推機制存在、可知。

實際研究當中，挖掘小樣本的數據特點，證明它的總體滿足平穩性條件，並不容易。 讀到過一篇未正式發表的論文(Davidson, J,2008)，為I(0)過程歸納了六個定義，凝結了人們對無趨勢數據的些許認識。有的定義是十分抽象的，例如「不差分就達到短記憶的境界」「從不把隨機衝擊積累到後面的方差里」等；有的則具體到數學分布，只有某個函數漸進於標準布朗運動，才能說是I(0). 定義有很多，隨之而來的檢驗方法也就同樣很多。對六大定義感興趣的同學，可以找來原文。

對於平穩的定義，還有一點需要補充。一般認為，過濾掉線性趨勢、季節性因素後，表現出平穩特徵的數據，可以看成某種廣義的平穩。

甚至有學者認為，憑什麼你線性趨勢能打掉，S型趨勢就不能打了？打掉非線性趨勢和變結構現象，剩下的數據如果平穩，則這個序列，也被一部分人看成，某種廣義的平穩。數據平穩的情形有很多種，不同的數據要用不同的程序來檢驗，這是一個龐大的話題。

趨勢總是惹麻煩

Yule(1926)較早地指出，當解釋變數和被解釋變數都具有某種趨勢（不妨設定成X有線性上升趨勢，Y有線性下降趨勢），對兩者的回歸將變得危險。兩者的趨勢是容易相關的，然而兩個經濟變數可能並不存在關聯。如果顯著不是因為存在規律才顯著，就像心跳不是因為動情，情侶倆人只是碰巧一起坐摩天輪（或者蹦極）而已，那天的他們，就算心跳地再厲害，都不能成為愛情火花的證據。

Granger and Newbold (1974)利用機器模擬單位根過程，率先提出了現代意義上的偽回歸。當解釋變數和被解釋變數都服從I(1)過程，那麼對兩者做回歸將變得「有時危險」。若兩個變數相關，則標識擬合效果的指標將分布在接受域以內；若兩個變數無關，則多次重複實驗之後，標示擬合效果的指標是時好時壞的。如果說所有無關變數有10%的概率可以回歸出顯著性的相關關係，那計量經濟學也就再無可信性可言，誰知道你做的是不是那10%. Phillips (1986，1998)對上述結論做了數學證明，並持續研究了偽回歸下的殘差漸進分布特點。殘差的漸進分布對大部分檢驗模型所用的指標來說，都相當重要。

隨後，Granger等發展出協整模型。兩個那麼隨機的變數，酩酊大醉的莽漢和小腦切除的瞎狗，如果碰巧一起散步了一個通宵，那十有八九是兩者之間存在某種關聯關係，某種懲罰偏離的負反饋機制，某根伸縮性能有限的膠皮狗鏈。

單位根還是變結構，這是個問題

大量學者執著於單位根檢驗的研究（Perron ,1989；Z&A 1992; Busetti & Harvey 2010;），試圖識別序列身上的究竟是趨勢還是記憶性，給出了不少巧妙的方法。在這裡不妨反思，當我們問「一個序列究竟是具有A性質還是具有B性質」時，我們究竟在問什麼？

有時我們以單位根過程為原假設來檢驗平穩性，有時我們以寬平穩為原假設來檢驗平穩性。單位根檢驗一方面為回歸研究的可信性提供理論基礎，另一方面描述了數據背後的經濟指標本身的行為特徵。例如一個服從單位根過程的股票指數，背後是「無從套利」的股票市場。一個大致平穩的工業品價格走勢，背後是「供需均衡」的商品市場。

「單位根還是變結構」甚至被拿來討論「凱恩斯還是哈耶克」：如果數據是非平穩的，衝擊帶來的影響重大而持續，那最好用凱恩斯來想辦法沖回去；如果數據是變結構的，總能自己找到新的好的均衡點，而且新的均衡點總比你沖回來的好，還是哈耶克比較可靠。你們讓計量學者來裁決哈耶克還是凱恩斯，大概是對計量學者有什麼誤解，單位根檢驗中的「低勢窘境」一定要去了解一下。

隨便一個單位根過程，對t, t^2, t^3三個解釋變數做回歸，通常會得到高次趨勢項的顯著參數；用t, t^2, t^3的函數構造一個時間序列，然後做單位根檢驗，時常也會接受非平穩這個原假設。

複雜趨勢屬於確定部分，單位根、長記憶等屬於隨機部分，在建模背景上，二者是水火不容的兩個東西。然而，識別非平穩究竟是確定部分造成的還是隨機部分造成的，這個問題，實在是太困難了。尤其當樣本不大的時候，這項工作幾乎是不可能完成的。一些重要的研究可見於左秀霞（2012）。可是，哪有那麼多大樣本來幫我們區分呢？

如果嘗試了很多辦法，都無法判斷，究竟是A模型還是B模型，哪個更接近真相。我們或許只能無可選擇的接受這樣的事實，A模型和B模型，在描述數據的同一類型的特徵，在用同一個素材講同一個故事。用同樣的事實和證據，分別去證明本質上不同的兩件事，還都能自圓其說。因此，單位根過程有時也被成為隨機性趨勢，屬於趨勢的一種。

在這裡，應當給計量經濟學一個公允的評價。它就是一個研究描述性工具的學科，而不是社會科學的全能之神。

總結

人生、社會或者國家，都可以看成時間序列。

一路走來，有昨天的AR項，有最近的MA項，這些因素極其短暫，但是它們對我們的幸福感至關重要。

然而，冥冥之中，一定是有記憶、有趨勢的。它們是我們的負擔，也是我們的組成部分。 關於趨勢，我們的內心，也會產生不同的體驗。

有時我們會感覺誤打誤撞，但算下來每一步都算數，所有的苦難都將被賦予某種意義；有時我們會感覺殊途同歸，儘管繞了遠路但幸好念念不忘必有迴響，早知如此，不如當初就執著。

No one understands the trend.

（文章已授權香樟平台擇期微信首發）

參考文獻：

Yule, G.U. (1926) Why do we sometimes get nonsense-correlations between time series? A study in sampling and the nature of time series. Journal of the Royal Statistical Society 89, 1–69.

Granger, C.W.J. & P. Newbold (1974) Spurious regressions in econometrics. Journal of Econometrics 74, 111–120.

Phillips, P.C.B. (1986) Understanding spurious regressions in econometrics. Journal of Econometrics 33, 311–340.

Phillips, P.C.B. (1998) New tools for understanding spurious regressions. Econometrica 66, 1299– 1326.

Davidson, J. (2008). When is a time-series i(0)?. Discussion Papers.

Perron, P. (1989). The great crash, the oil price shock, and the unit root hypothesis. Econometrica, 57(6), 1361-1401.

Zivot, E & Andrews.D. (1992). Further evidence on the great crash, the oil-price shock, and the unit-root hypothesis. Journal of Business & Economic Statistics, 20(1), 25-44

Busetti, F., & Harvey, A. (2010). Testing for the presence of a random walk in series with structural breaks. Journal of Time, 22(2),127-150.

左秀霞. (2012). 單位根檢驗的理論及應用研究. (Doctoral dissertation, 華中科技大學).