雅可比橢圓函數

雅可比矩形雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作

。視此矩形為複數平面的一部分，

是原點，

是實軸上的一點

是

，

是

。

與

稱作四分之一周期。十二個橢圓函數分別記為

。為方便起見，取變數

意指矩形上的任一對頂點，則函數

是唯一滿足以下性質的周期亞純函數

是單零點，

是單極點。

在

方向的周期等於

距離的兩倍。對另兩個從

出發的方向，

亦滿足同樣性質。

在頂點

的展式首項係數均為一。表列如次：函數周期零點極點留數

與

是整數一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的周期。表為橢圓積分之逆[編輯]以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分之逆。設

橢圓函數 sn u 定義為

而 cn u 定義為

同理，

這裡的

是自由變元，通常取

。剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。反函數[編輯]

用Theta函數來定義[編輯]雅可比橢圓函數也可以用Theta 函數來定義。如果我們把

簡寫為

，把

分別簡寫為

（Theta常數），那麼橢圓模k是

。如果我們設

，我們便有：

加法定理[編輯]

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間

中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述：

函數的平方之間的關係[編輯]

常微分方程的解[編輯]三個基本的雅可比橢圓函數的導數為：

根據以上的加法定理，可知它們是以下非線性常微分方程的解：

是微分方程

和

的解；

是微分方程

和

的解；

是微分方程

和

的解。圖像[編輯]

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