數學是不是絕對真理

最近，網上關於數學本質的討論突然熱了起來。作為中科院數學院的研究人員，雖然本人專業不是純粹數學而是應用數學，但也算一個數學相關領域的從業人員吧，對這些討論自然是關心的，於是不揣孤陋，也來湊個熱鬧。

1.數學是不是絕對真理

這是曹教授最近一篇博文的題目。假如要在數學的嚴密性之下討論這個問題，那麼，首先要定義什麼是「絕對真理」。我給出以下定義：「一個命題，如果在任何情況下都對，那它就是絕對真理。」實際上，這本身就會導出數學上的一個著名悖論：命題「世界上沒有絕對真理」。（這可以替換成曹教授命題：「任何真理都只是在一定條件下是真理，超過這一定條件它就成了假理。」）那麼，這個命題（或曹教授命題）本身是不是「絕對真理」？如果回答是「True」，那麼，世界上不就有「絕對真理」了嗎？如果回答是「False」，那麼，這個命題的例外不就是「絕對真理」了嗎？

從數學角度看，馬克思的觀點：「無數相對真理總和就是絕對真理」是很可笑的。在歐氏幾何里，直線外一點能且只能引直線的一條平行線（平行公設，或第五公設）；在羅巴切夫斯基幾何里則至少可引兩條，在黎曼幾何里也可能一條都沒有。把它們「總和」到一起就成了謬論了，因為「把它們用於不同情況」是無法理解的。

2.公理化體制與數學的對與錯

數學，尤其是以公理化體製為基礎的數學，它僅由很少幾條公理出發，發展出整個學科。例如：歐氏幾何的五條公設。點集撲拓中關於撲拓的定義（3條）。在一個數學分支里，對錯只依賴於你的前提假設，即公理。因此，數學與物理學的最根本區別是：物理學定律是對觀察現象的總結，需要實驗驗證。而純粹數學靠的是邏輯推理，你不能說：「事實證明某個數學公式錯了。」

至於數學的應用則只是你認為某個數學工具可用於描述現實世界中的某種現象。如果發現錯了，那是你找錯了工具，不是數學錯了。可以說，數學的對錯與真理無關。數學中充滿了現實中根本不存在的東西。最簡單的例子是：在幾何學中，「點」只有位置，沒有大小。這在現實中是不可能有的。拓撲學中的克萊茵瓶，著名龐加萊猜想中的三維球面，等等，都是現實世界中不存在的。如果你要對數學扯上「實踐是檢驗真理的唯一標準」，那真是風馬牛不相及了。

二十世紀初，當測度論與集合論均已完善之後，數學家們曾經相信，數學已臻於完美，無懈可擊。龐加萊甚至在1900年巴黎數學家大會上宣布：「現在我們可以宣布，完全的嚴格性已經達到！」但不久後，這種美好感受就被羅素打破了。羅素在1919年提出一個後來被稱為「羅素悖論」的問題：一個島上有個理髮師，他宣布給島上所有不給自己刮臉的人刮臉。那他給不給自己刮臉？如果他給自己刮臉，那他就不該給自己刮臉；如果他不給自己刮臉，那他就應該給自己刮臉。這個悖論動搖了集合論的基礎。記S為不給自己刮臉的人的集合，那麼，理髮師是否屬於S呢？根據以上討論，如是「是」，則可推出「不是」；如是「不是」，則可推出「是」。

為了解決這種矛盾，希爾伯特提出自己思索已久的克服數學危機的方案，稱為「形式主義綱領」或「希爾伯特綱領」，目的是建立一個包羅萬象的數學體系，使得每個命題在這個體系下都可以指出對錯。

希爾伯特的這種努力不久後被邏輯學家哥德爾打破了。哥德爾在1931年證明了後來被稱為不完全性的定理（Godel Incompleteness Theorem）：任何數學體系均有它既不能證明也不能證偽的命題。

最著名的在現有數學體系（ZFC體系）下不能證明或證偽的是「連續統假定」。即沒有一組數，它比有理數多又比實數少。還有三個等價命題：「選擇公理」、「Zorn引理」、「超限歸納法」，也是現有數學體系下不能證明或證偽的。但現代數學一般假定它們都是對的。

也許，數學並不像人們想像得那樣完美，無懈可擊。

3.純粹數學面臨的挑戰

數學，特別是純粹數學，決不是萬能的。

我對純粹數學家充滿欽佩，特別是那些像證明費馬大定理的Wiles，證明龐加萊猜想的Perelman，等，他們代表了當代人類智慧的頂峰。但是，這類經典的數學證明方法還能走多遠？數學家Horgan著文說：「費馬大定理的證明是不是一種正在消逝的文化的最後掙扎呢？Wiles避開了計算機和應用以及其他種種令他討厭的東西，但是，將來Wiles式的人物會越來越少。」

再說，一個幾百頁的證明，全世界只有十幾、至多幾十人能看懂，這種結果可靠嗎？一位數學家Thurston說：「把數學在原則上簡化為形式證明是20世紀所特有的一個不可靠的念頭，高度形式化的證明比藉助更直觀的證明更有可能出毛病。」

最重要的是：到底有多少數學問題能被嚴格證明出來。一位科學家Graham說：「背離傳統的證明的潮流或許是不可避免的，單靠人的思維無法證明的東西是一片汪洋大海，與這片大海比起來，你能證明的東西，或許只是一些孤零零的小島。」是的，誰也不能保證，黎曼猜想或哥德巴赫猜想，在將來的某一天一定會被傳統方法證明出來。況且，純粹數學的難題多如牛毛。

千萬別把數學看作萬能的！個人甚至認為，純粹數學正走向沒落，將來，很可能成為極少數天才的遊戲。

4.數學的出路

面對汪洋大海，特別是高科技不停地向這個大海增加新的難題，而純粹數學又只能解決一些孤島，那麼，出路在那裡呢？個人以為

（1）計算機

四色問題是一個很好的例子，計算機證明了人類僅憑大腦至今做不到的事情。吳文俊先生等創立的機器證明，計算機的日益智能化，這些走向表明：將來計算機會代替人類進行思考。當然，機器思考必須是人類思考的延伸，只能在人類思考的指導下進行的。

（2）新的數學工具

微軟曾組織一些科學家，於2006年寫了一份報告：「面向2020年的科學」(Towards2020Science)。認為生命科學，計算機科學和複雜性理論等正在催生一種新的數學，它本質上是離散型的，並與計算機密切聯繫。其實，許多科學家相信：以微積分為代表的連續數學統治了科學界幾百年，但是，由於計算機的出現，以及生命科學、現代經濟學、複雜性科學等的興起，新型的離散數學將很快代替連續數學而登上統治寶座。

作為一個數學愛好者，我深愛數學。我決不懷疑數學的重要性，特別是理工科（包括經濟學，生命科學等）的青年學子，要想在學術界行走江湖，掌握基本的數學工具是立身之本。但在快速發展的高新科技面前，最古老也最神聖的數學學科也受到了衝擊，一場數學革命勢在必行。

參考文獻

[1]李文林，《數學史教程》，高等教育出版社，北京，2000.

[2]V.J.Katz，AHistoryofMathematics,ReprintedbyChinaMachinePress,2004.

[3]張樹和，《數學聊齋》，科學出版社，北京，2008.

[4]S.Emmott(Editor-in-Chief),Towards2020Science,MicrosoftCorp.,2006.國家自然科學基金委編譯，《面向2020年的科學》。