期權定價數學原理1

來自專欄生活中的經濟數學

期權（Option），是一種選擇權，指是一種能在未來某特定時間以特定價格買入或賣出一定數量的某種特定商品的權利。它是在期貨的基礎上產生的一種金融工具，給予買方（或持有者）購買或出售標的資產(underlying asset)的權利。期權的持有者可以在該項期權規定的時間內選擇買或不買、賣或不賣的權利，他可以實施該權利，也可以放棄該權利，而期權的出賣者則只負有期權合約規定的義務。

看跌期權很多時候被當作股票持有者的一種對股價下跌風險的保險，比如20美元時買入的股票，同時買入某一段時間內18美元的看跌期權，這樣即使股價跌到15美元你也能以18美元的價格賣出去。同時你也可以買入股價25美元的看漲期權，因為可能性不大所以期權的價格便宜，但如果股價漲到30美元，你就可以獲得數倍的回報。

期權的價值

如上圖的買入期權，成本為1d，但只有在股價超越20d時才有行使意義，由於1d的成本，21d以上才能開始盈利。

如上圖的賣出期權，成本為2.5d，但只有在股價低於17.5d時才能開始盈利。

賣出這些期權的投行的盈利曲線則和投資者相反，如下圖

如何投資者同時購買了看漲和看跌的期權，那說明他看準了近期股票會有較大的波動性，他的收益曲線如下

而賣給他投行的收益曲線就正和他相反，所以如果是在股票動蕩期，期權的價格也很不便宜。綜上所述，期權既可以當中一種穩健投資的保險工具，也可以作為普通人賺取高額收益的槓桿工具，取決你怎麼用它。

還有一種期權組合方式是你買入一種期權，並賣出一個不同價位的期權以降低你的期權購置成本，收益曲線如下圖

而投行也樂於賣出這樣的期權產品，降低了股票大幅波動對他們的風險，同時也使得該期權產品價格更便宜，吸引了認為股票波動局限在某一範圍內的購買者。

一切皆期權

假設一個公司的對外債務為B,公司股東佔有的價值為E,公司的目前總價值為V(如果其它公司收購這個公司不但要支付股東的權益同時負責外界債務)，那麼公司股東所享有的預期利益為E=V-B，可以看作是公司股東享有行使價為B的買入期權，最好的收益為V-B，最差為0.

而公司債務人可以看成是擁有行使價為B-b（b為借款所得利息）買入期權，同時賣出行使價為B的買入期權，收益集中在B-和B之間。

熱傳導擴散方程與期權定價

Black-Scholes-Merton期權定價模型被MIT的數學家發現與熱傳導方程如出一撤，我們來研究看看為什麼如此。首先我們來看看熱傳導方程是怎麼建立的。

假設導熱係數為k，密度為 ，比熱為c，單位時間內流出的熱量Q1有

單位時間內吸收的熱量為Q2，則有Q2=Q1

因此有

即

假設內部熱源單位時間，單位體積產生熱量F(x,y,z,t),代入上面推導過程，則有

如果是恆定溫度場，溫度分布達到動態平衡，則有

方程的解為

，無熱源

,有熱源

這一切和期權定價模型有何相似之處呢，我們下一章繼續分析。