數學史上那些是是非非的數學猜想，令人著迷，令人狂
撰文
葉啟墾世界三大猜想
費馬猜想
費馬紀念郵票
1637年左右，「業餘數學家之王」費馬先生在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：「將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。」
好一個「空白的地方太小，寫不下」，終使無數後代數學家們前仆後繼。
歐拉、狄利克雷、勒讓德、拉梅、高斯的學生庫默爾、勒貝格、谷山豐等等開始接力猜想的證明過程。
終於在猜想提出350多年後的1994年由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）完成，遂稱費馬大定理。
當然，懷爾斯解決這個猜想本身就是一個精彩傳奇。
數學家安德魯·懷爾斯
四色猜想
四色猜想的提出也頗具生活化。1852年，畢業於倫敦大學的格斯里（FrancisGuthrie）來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現每幅地圖都可以只用四種顏色著色。於是，他做了一個很自然地思考：這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？
數學源於生活啊！
這個猜想若到此，也就不會激起再大的反響。恰恰是格斯里的弟弟的導師正是著名數學家德·摩爾根，這位德·摩爾根有位好友數學家正是發明「四元數」的著名數學家哈密爾頓爵士。而問題恰恰就出在這位神童爵士到死沒有解決這個問題。這時，大家才意識到這個問題的嚴重性。
數學家哈密爾頓
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題，於是又一個猜想引得無數一流數學家拋頭顱灑熱血。
數學家凱利
經過肯普、赫伍德等人的努力後，證明了一個較弱的命題——五色定理，即，對地圖著色，用五種顏色就夠了。這時，又到了一個瓶頸，越來越多的數學家絞盡腦汁，再無進展。人們也開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個與費馬猜想相媲美的難題。
最後，在1976年6月，美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，兩位數學家阿佩爾（Kenneth Appel）與哈肯（Wolfgang Haken）用了1200個小時，作了100億判斷，結果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動了世界。遂稱四色定理。
一枚紀念郵票，上面寫著「四種顏色就夠了」
有意思的是，這個問題的研究意外帶動拓撲學與圖論的生長、發展。
看似簡單的問題，真的不簡單。這本身就是大自然留給人類的一個無限的謎。
至此，世界三大猜想已然解決了兩個，剩下最後一個哥德巴赫猜想至今尚未徹底解決。
哥德巴赫猜想
這個哥德巴赫猜想，與大文豪歌德無關，當然，亦非「西方近代音樂之父」巴赫所為，而是源自於一位與之同時代的德國數學愛好者哥德巴赫（Goldbach C.）。
這位富家子弟哥德巴赫喜歡結交數學家，與數學史上最偉大的家族伯努利家族結識，和大數學家歐拉是好友。真是物以類聚，人以群分。
1742年6月7日，哥德巴赫寫信給歐拉，提出了一個猜想：任何一個奇數，比如77，可以把它寫成三個素數之和，即77=53+17+7；又如461可以寫成257+199+5，仍然是三個素數之和。即發現「任何大於5的奇數都是三個素數之和。」
1742年6月30日歐拉先生給哥德巴赫回信了：這個命題看來是正確的，但是暫給不出嚴格的證明。同時歐拉對上述命題做了修改：任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和。這個歐拉版本是現在常見的猜想陳述，當然，他到死也沒能給予證明。
大數學家沒能解決的問題，當然吸引人。1770年，英國數學家愛德華·華林（Waring Edward）首先將它公之於眾。於是，又一場新的數學追逐賽開始了。
研究偶數的哥德巴赫猜想常見有四個途徑，其中殆素數（素因子個數不多的正整數）是個重要途徑。即常用「a+b」這樣的形式表示如下命題：每個大偶數N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數分別不超過a和b，即N=A+B。易知，哥德巴赫猜想就是證明N可以寫成"1+1"。
200多年過去了，至今沒有完全解決。不過由此猜想帶來的數學新方法則層出不窮，從另一方面促進數學自身的發展。
我國最早研究哥德巴赫猜想的數學家是華羅庚先生。後，王元、潘承洞和陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當好的成績。目前最好的成果（陳氏定理）乃於1966年由中國數學家陳景潤取得，即所謂的 「1 + 2 」。
數學家陳景潤的墓碑
或許，最後要摘下這顆數學上的明珠，還在等待新的數學新方法吧！
這三大數學猜想看似簡單易懂，一般人都能理解，但實則內涵深邃無比，不可輕易觸碰。
希爾伯特23個數學問題與世界七大數學難題
而從數學史上看，某一階段的數學猜想的總結與重接提出又往往引領著數學的發展與方向。
數學巨匠大衛·希爾伯特在1900年8月8日於巴黎召開的第二屆世界數學家大會上的著名演講中提出了23個數學難題。在過去百年中激發數學家的智慧，指引數學前進的方向，其對數學發展的影響和推動是巨大的，無法估量的。其中，除了第8、9、15、16個問題未解決或部分解決，其它大部分已經解決。
大衛·希爾伯特
然後，在過了百年後的2000年，根據數學一世紀以來空前的發展，美國克雷數學研究所的科學顧問委員會又選定了七個「千年大獎問題」，克雷數學研究所的董事會還建立七百萬美元的大獎基金，每個「千年大獎問題」的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。
同樣的，「千年大獎問題」一經提出，便在世界數學界產生了強烈反響。這些問題都是關於數學基本理論的，但這些問題的解決將對數學理論的發展和應用的深化產生巨大推動。
至今，已有一個被解決，即龐加萊猜想由俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼破解，還剩六個。
不過，現在看來，能解決這些猜想的數學家都不是一般的怪才。這位謎一樣的天才格里戈里·佩雷爾曼同樣不一般，千禧數學獎頒獎時他不在場，他還拒絕了數學界的最高榮譽——菲爾茲獎，這可是許多數學家們畢生所追求的無上榮譽。
格里戈里·佩雷爾曼
大數學家也有猜錯之時
當然，既然是猜想，也就有猜錯的可能。
更甚者，若是大數學家自己猜錯，可能就帶來後世數學家幾百年的折騰。
下面，我們不妨領略一二。
無理數的烏龍事件
畢達哥拉斯
首先出場的，就是大名鼎鼎的畢達哥拉斯學派。
畢達哥拉斯學派是數學史上最早以理性的邏輯思維，即從數理的角度探求自然本原的學派。
不過，他們所謂的「一切數」是均可表成整數或整數之比的數（即我們所知的有理數）。得出這個結論，當然不是演繹推理的結果，而是基於經驗基礎和其哲學思想基礎上的一個歸納總結。在數學層面上看充其量就是一個數學猜想。
因為畢達哥拉斯神一般的地位，當時，無人懷疑。
然而，戲劇性的是畢達哥拉斯學派從數學問題本身出發的推導出了畢達哥拉斯定理（即勾股定理），於是，註定成了自己數學信仰的「掘墓人」。
其學派中的一個成員希帕索斯在利用畢達哥拉斯定理研究邊長為1的正方形時，發現其對角線的長度無法用整數或整數之比來表示，也就是說，這個數並非他們學派一直信仰的「數」。這就是數學史踢出的第一個烏龍球「根號2」。
不過，這個現在中學生習以為常的一個數，在當時社會的出現，不管是對數學，還是哲學，都是一個致命的打擊。該學派領導人惶恐之餘，認為這將動搖他們在學術界的統治地位，也動搖了他們對數的信仰。於是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒，於是希伯索斯被殘忍地扔進了大海。這個希伯索斯算是史上有記載的第一位為真理獻身的數學家了。
他們猜錯了，還不認錯，這才是真正可悲的事。
當然，數學真理終究是無法隱蓋的。這個根號2最終導致了數學史上第一次數學危機的發生，也讓人們發現了無理數的存在。
「馬」失前蹄
費馬
還是那位提出費馬大猜想的費馬先生。他發現：
前5個都是素數，因為第6個數實在太大了，費馬認為這個數也是質數。由此，費馬於1640年提出了以下猜想：形如
大家要知道，探尋這個式子在數學史上的意義。幾千年以來，人們都在苦苦探尋數學DNA——素數的普遍公式，甚至連這樣的式子到底存不存在都是個問題，所以，當費馬提出這樣一個能表示素數的公式，必然引起人們的興趣與關注。
1729年12月1日，還是那位哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）又給歐拉寫了一封信，問道：「費馬認為所有形如
這位數學愛好者哥德巴赫雖然沒有研究什麼大的數學問題，但絕對算是數學史上的一位福星，不斷發現並提出問題，從而意外推進數學的發展。
再說這位歐拉，1732年，年僅25歲，但已經於前一年獲得物理學教授的職位，再過兩年就將接替他的老師丹尼爾成為數學所所長 。就這樣，這個天才數學家在費馬死後67年得出F5=641×6700417，這一結果意味著F5是一個合數，從而宣告了費馬的猜想是錯的。
馬也有失前蹄的時候啊！
費馬，這位偉大的數論天才看來過於相信自己的直覺，輕率地做出了他一生唯一的一次大的離譜的錯誤猜測——因為，迄今為止，費馬數除了被其本人所證實的那五個外竟然沒有再發現一個！
於是，人們又開始了另一猜想：在所有的費馬數中，除了前五個是素數外，其他的都是合數。
至於這個猜想，至今，仍不得而知。
歐拉也不能倖免
歐拉紀念郵票
歐拉在研究費馬最後定理（前面提到的費馬猜想）時引出一個猜想，每個大於2的整數n，任何n- 1個正整數的n次冪的和都不是某正整數的n次冪。即
比如，當n=4時，即
歐拉猜想這個方程無整數解。
二百年來，沒有人能證明歐拉猜想，但也沒有人能找出一個反例來否定它。直到1966年，L. J. Lander和T. R. Parkin找到了第一個反例：
接著於1988年，哈佛大學的 Noam Elkies 又發現n=4時的一個解：
同時，Noam Elkies 也證明了這個方程有無窮多個解。自此，歐拉猜想也有了結論，大數學家也有猜錯的時候。
梅森數的意外
梅森
最後，我們再來提一下梅森數。
17世紀法國著名的僧侶數學家馬林·梅森（Mersenne）在歐幾里得、費馬等人有關研究的基礎上對2p－1（數學界把這種數稱為 「梅森數」，並以Mp記之。）作了大量的計算、驗證，並於1644年在他的《物理數學隨感》一書中斷言：
在不大於257的素數中，當p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時，2p－1是素數，其它都是合數。因為梅森的地位，同樣地，250年來，人們對其斷言也是深信不疑。
直到1903年，哥倫比亞大學的數學家科爾（Frank Nelson Cole,1861～1926）在美國數學會的一個會議上作了一篇《論大數的因式分解》。只見，科爾寫下了267-1=147 573 952 589 676 412 927=193 707 721×761 838 257 287。
於是，梅森猜想這個百年神話頃刻間破滅。
數學猜想的證明之路漫漫，數學猜想的提出也必將繼續不斷。只是正如Simon Singh在其所著的《費馬大定理：一個困惑了世間智者358年的謎》所言：「這裡的教訓是，你不能通過只對前一百萬個數字來證明一個猜想對所有的數都成立。」
本文來源於微信公眾號「數學與藝術MaA」，經授權轉載。
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