自動控制總結：第三章：線性系統的時域分析

06-23

首先我們必須明白時域法是直接在時間域上對系統進行分析的方法，具有直觀、準確的優點，它可以提供系統時間相應的全部信息。（該方法是最基本的方法，該方法引出的概念、方法、結論都是以後學習復域法、頻域法等的基礎）

控制系統的性能指標分為動態性能指標和靜態性能指標。

在引入典型輸入信號的原因是：控制系統的輸入信號具有隨機性，而如果在這個瞬態上獲得系統的解析表達式，難以做到，因此希望有一些特殊的輸入信號，通過這些輸入信號以及其響應是一個非常不錯的選擇。

3.1

1、典型的輸入信號

① 單位階躍信號對應的輸出：單位階躍響應

一般形式的階躍函數：

當A=1時，則為單位階躍函數

②單位斜坡信號對應的輸出：單位斜坡響應

一般形式的斜坡函數

當A=1時則為單位斜坡函數

③單位脈衝信號對應的輸出：單位脈衝響應

當A=1時為單位脈衝函數。

④單位加速度信號對應的輸出：單位加速度響應

A=?時為單位拋物線函數

⑤正弦信號。

四種典型單位輸入信號的關係

2、控制系統的時域性能指標

（1）響應過程分為動態過程和穩態過程

①動態過程：系統在典型信號的作用下，系統從初始狀態到最終狀態的過程

表現為衰減、發散和等幅振蕩幾種形式（系統要穩定正常工作，其動態過程必須衰減）

動態過程可以提供a、系統的穩定信息、b、響應速度c、阻尼情況

②穩態過程：系統在典型信號的作用下，時間t趨於無窮大的時候輸出量的表現形式，

穩態過程提供了穩態誤差的信息。

我們一般認為階躍輸入對系統而言是比較嚴峻的工作狀態，所以如果系統在階躍函數的作用下也能滿足性能要求，那麼其他情況也應該是令人滿意的，因此系統的動態性能指標，均是在單位階躍函數作用下測定計算的

並且在分析的時候，一般假定系統在階躍信號作用前處於靜止狀態，而且系統輸出量以及各階導數均為零

（2）性能指標有以下：（全部都是以階躍響應下定義）

①延遲時間td：階躍響應第一次達到終值C(∞)的50%所用的時間。

②上升時間tr：階躍響應從終值的10%上升到終值的90%所需的時間，對有振蕩的系統，也可以定義為從0到第一次到達終值所需的時間

③峰值時間tp：階躍響應越過終值C(∞)到達第一個峰值所需的時間

④調節時間ts：階躍響應到達並保持在終值C(∞)的±5%誤差帶內所需的最短時間。

有時候也用終值的±2%誤差帶來定義

⑤超調量σ%：峰值c（tp）超出終值c（∞）的百分比 即σ%=*100%

3.2一階系統的時域分析

1、一階系統的數學模型

例子：

其微分方程為：T $frac{dc(t)}{dt}$ +c(t)=r(t)

拉氏變換後，傳遞函數為 Φ(S)= $frac{C(s)}{R(s)}$ = $frac{1}{Ts+1}$

(T的含義隨系統的不同而不同)

用方框圖表示時有兩種形式：

形式一：一階系統

形式二：單位反饋一階系統

2、一階系統的單位階躍響應

r(t)=1(t) 拉氏變換後 R(S)=1/S

因此C(S)= Φ(S)R(S)= $frac{1}{Ts+1}$ * $frac{1}{s}$ 對這個式子進行拉氏反變換得：c(t)=1- $e^{-t/T}$ (t≥0)

從c(t)的表達式中可以看到，初始值為0，終值為1

因此畫出其響應曲線為

特點：

①當t等於T的整數倍時，即t=T，2T，3T，4T時候，響應的c(t)為總變化量的0.632、0.865、0.95、0.982倍，根據這個特點可以判斷是否為一階系統（這個要背背）

②t=0時候，輸出相應的斜率為最大：

$frac{dc(t)}{dt}$ $|_{t=0}$ = $frac{1}{T}$ $e^{-t/T}$ $|_{t=0}$ = $frac{1}{T}$

進過計算我們可以得到一階系統的動態性能指標為：td=0.69T，tr=2.20T，ts=3T

峰值時間tp和超調量σ%不存在，穩態誤差ess=0。

記住這個：T值的大小反映系統的慣性。T值越小，慣性就越小，響應速度就快；T值大，慣性就大，相應速度就慢。這一結論也適用於一階系統以外的系統（因為T越小，對應的ts就越小。）

3、一階系統的單位脈衝響應

r(t)= δ(t) ，其拉氏變換為R(S)=1

所以C(S)= Φ(S)R(S)= $frac{1}{Ts+1}$ 其拉氏反變換為 c(t)= $frac{1}{T}$ $e^{-t/T}$ (t≥0)

其斜率公式 $frac{dc(t)}{dt}$ =- $frac{1}{T^{2}}$ $e^{-t/T}$ 所以 $frac{dc(t)}{dt}$ $|_{t=0}$ =- $frac{1}{T^{2}}$ , $frac{dc(t)}{dt}$ $|_{t=∞}$ =0 （為什麼要求斜率，其實是因為就像高中學數學一樣，從斜率可以大概看出它的函數規律）

調節時間按衰減到終值的5%求取 Ts=3T（T越小，響應速度越好）

註：理想脈衝函數無法得到，因此往往以脈寬為b、幅值有限的脈動函數代替理想單的脈動函數δ(t)，而且要求脈寬b＜0.1T。

4、一階系統的單位斜坡響應

r(t)=t，其拉氏變換 R(S)= $frac{1}{s^{2}}$ ，

C(S)= Φ(S)R(S)= $frac{1}{Ts+1}$ * $frac{1}{s^{2}}$ 其拉氏反變換為c(t)=t-T+T $e^{-t/T}$

其中 t-T為穩態分量：其與斜坡輸入函數的斜率相同，但在時間上之後一個T，因此存在位置誤差，

T $e^{-t/T}$ 為瞬態分量：隨著時間單調衰減

特點：

①系統的輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間推移逐漸增大，但最後趨向於T。因此，T越小，位置誤差越小。

②在t=0時，初始實線的斜率為0 ( $frac{dc(t)}{dt}$ $|_{t=0}$ =1- $e^{-t/T}$ |t $|_{t=0}$ =0)

因此初始狀態的輸出速度（實線斜率）和輸入速度（虛線斜率）之間誤差最大

5、一階系統的單位加速度響應

r(t)= $frac{t^{2}}{2}$ 其拉氏變換為R(S)= $frac{1}{s^3}$ .

因此C(S)= Φ(S)R(S)= $frac{1}{Ts+1}$ * $frac{1}{s^3}$ 其拉氏反變換為c(t)= $frac{t^{2}}{2}$ -Tt+ $T^{2}$ (1- $e^{-t/T}$ )

跟蹤誤差e(t)=r(t)-c(t)= $frac{t^{2}}{2}$ -[ $frac{t^{2}}{2}$ -Tt+ $T^{2}$ (1- $e^{-t/T}$ )]=Tt- $T^{2}$ (1- $e^{-t/T}$ )

當t趨向於∞時，e(t)趨於無窮大，因此得出一階系統無法跟蹤加速度信號

3.3二階系統的時域分析

用二階微分方程描述的系統稱為二階系統，其應用廣泛，甚至許多高階系統在一定條件下可以用二階系統表示。

二階系統的數學模型

書本上一開始就來了一個RLC電路，推導出一個二階系統的模型，

其微分方程為 LC $frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}$ +RC $frac{dc(t)}{dt}$ =+c(t)=r(t)

所以其傳遞函數為 Φ(S)= $frac{C(s)}{R(s)}$ = $frac{1}{LCs^2+RCs+1}$

我們對這個傳遞函數標準化（標準化後，參數有具體意義），就可以得到

Φ(S)= $frac{C(s)}{R(s)}$ = $frac{1}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}$

其中wn= $frac{1}{sqrt{LC}}$ 稱為自然頻率，單位rad/s， ζ＝ $frac{R}{2}$ $sqrt{frac{C}{L}}$ 稱為二階系統的阻尼比，無量綱

其開環傳遞函數為 G(S)= $frac{w_{n}^2}{s(s+2ζw_{n})}$

令閉環傳遞函數的分母多項式為0，其閉環系統的特徵方程 $s^{2}$ +2ζ $w_{n}$ s+ $w_{n}^{2}$ =0

得出其根（閉環極點）為 $S_{1,2}$ =-ζ $w_{n}$ ± $w_{n}$ $sqrt{ζ^2-1}$

通過分析不同的ζ情況，得出不同的特徵根狀況

①欠阻尼：0＜ζ＜1 S1,2=-ζ $w_{n}$ ±j $w_{n}$ $sqrt{1-ζ^2}$

②無阻尼：ζ=0 S1,2=±j $w_{n}$

③臨界阻尼：ζ＝1 S1,2=- $w_{n}$

④過阻尼：ζ>1 S1,2=-ζ $w_{n}$ ± $w_{n}$ $sqrt{ζ^2-1}$

2、二階系統的單位階躍響應

r(t)=1 R(S)= $frac{1}{s}$

（1）欠阻尼（0＜ζ＜1）

S1,2==-ζ $w_{n}$ ±j $w_{n}$ $sqrt{1-ζ^2}$ =-ζ $w_{n}$ ±j $w_{d}$

（其中令 $w_{d}$ = $w_{n}$ $sqrt{1-ζ^2}$ ，這條公式一定要記住,wd稱為阻尼振蕩頻率）

所以輸出C(S)= Φ(S)R(S)= $frac{1}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}$ * $frac{1}{s}$

= $frac{1}{s}$ - $frac{s+2ζw_{n}}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}$ = $frac{1}{s}$ - $frac{s+ζw_{n}}{(s+ζw_{n})^2+w_{d}^2}$ - $frac{ζw_{n}}{(s+ζw_{n})^2+w_{d}^2}$

拉氏反變換為：

c(t)=1- $e^{-ζw_{n}t}$ (cos $w_{d}$ t- $frac{ζw_{n}}{w_{d}}$ sin $w_{d}$ t) =1- $e^{-ζw_{n}t}$ (cos $w_{d}$ t- $frac{ζ}{sqrt{1-ζ^2}}$ sin $w_{d}$ t)

=1- $frac{e^{-ζw_{n}t}}{sqrt{1-ζ^2}}$ sin( $w_{d}$ t+β)

式中β＝arctg $frac{sqrt{1-ζ^2}}{ζ}$ （β也等於arccosζ）稱為滯后角

（記憶方法：cosβ＝ζ，sinβ＝ $sqrt{1-ζ^2}$ ）

從c(t)的式子看，發現其由穩態和瞬態兩部分組成，穩態部分等於1，表明不存在穩態誤差（1-r(t)=0），瞬態部分是阻尼振蕩，阻尼的大小由ζ $w_{n}$ (即特徵根實部ζ $w_{n}$ =σ ）決定；

ζ越小，超調量越大

（2）無阻尼（ζ=0）

C(t)=[1- $e^{-ζw_{n}t}$ (cos $w_{d}$ t- $frac{ζ}{sqrt{1-ζ^2}}$ sin $w_{d}$ t)] $|_{ζ=0}$ =1- cost $w_{n}$ （把ζ=0帶入欠阻尼那條式子即可）（此時wn=wd）

響應曲線：此時為等幅振蕩

（3）臨界阻尼（ζ=1）

C(t)=[1- $e^{-ζw_{n}t}$ (cos $w_{d}$ t- $frac{ζ}{sqrt{1-ζ^2}}$ sin $w_{d}$ t)] $|_{ζ=1}$ =1- $e^{-w_{n}t}(1+w_{n}t)$ （t≥0）（一樣的把ζ＝1帶入欠阻尼那條式子）（第三項計算的時候要用洛必達就可以得到那個結果了）

響應曲線：單調上升，無振蕩，無超調，無穩態誤差

（4）過阻尼（ζ＞1）

C(S)= $frac{w_{n}^2}{s(s+ζw_{n}-w_{n}sqrt{ζ^2-1})(s+ζw_{n}+w_{n}sqrt{ζ^2-1}))}$

因此對其作拉氏反變換

c(t)=1- $frac{1}{2sqrt{ζ^2-1}(ζ-sqrt{ζ^2-1})}e^{-(ζ-sqrt{ζ^2-1})w_{n}t}$ + $frac{1}{2sqrt{ζ^2-1}(ζ+sqrt{ζ^2-1})}e^{-(ζ+sqrt{ζ^2-1})w_{n}t}$

=1+ $frac{e^{-t/T_{1}}}{T_{2}/T_{1}-1}$ + $frac{e^{-t/T_{2}}}{T_{1}/T_{2}-1}$ （t≥0）

T1、T2成為過阻尼二階系統的時間常數，而且T1＞T2

如果ζ>>1時，可以把-1/T2指數項的分量忽略，這樣過阻尼的相應類似於一階系統的相應

響應曲線：單調上升，無振蕩，過渡過程時間長，無穩態誤差。

（5）負阻尼（ζ＜0）

其有一對共軛復根，且極點實部大於零

響應有兩種狀態，一種是振蕩發散，一種是單調發散

由於系統此時不能正常工作，那麼研究也就沒有意義了。

小結：阻尼比決定了系統的振蕩特性

ζ＜0 時（負阻尼），響應發散，系統不穩定；
ζ=0時（無阻尼），等幅振蕩
0＜ζ＜1時（欠阻尼），有振蕩，ζ越小，振蕩越嚴重，但響應越快
ζ≥1時（過阻尼和臨界阻尼），無振蕩，無超調

除不允許產生振蕩的系統，通常採用欠阻尼狀態，阻尼比選擇在0.4~0.8之間，保證系統有好的運動動態。（此時響應曲線超調量合適，調節時間短）

還必須注意，ζ＜0.4時，會使超調量較大，ζ＞0.8時，又會使響應遲緩

（這裡判斷的時候，緊緊記住那個好多ζ的圖就好）

ζ一定時，ωn越大，瞬態分量衰減越快，系統能更快達到穩態值，系統的快速性越好

（這是因為wn在指數部分且帶一個負號，所以其越大，衰減越快）

3、欠阻尼二階系統的動態過程分析

回憶一下動態指標：tr、 tp 、σp%、ts 。

圖中衰減係數σ指閉環極點到虛軸之間的距離，阻尼振蕩頻率為閉環極點到實軸的距離，自然頻率是閉環極點到原坐標之間的距離，與負實軸的餘弦是阻尼比，即ζ＝cosβ

（1）上升時間

根據定義，令c(t)=1,得 $frac{e^{-ζw_{n}t}}{sqrt{1-ζ^2}}$ sin( $w_{d}$ t+β)=0，因為 $e^{-ζw_{n}t}$ ≠0，所以sin( $w_{d}t_{r}$ +β)=0

解得 $w_{d}t_{r}$ +β=kπ，由於tr的定義是第一次到達的時間，所以取k=1，則得到

上升時間為 $t_{r}$ = $frac{π－β}{w_{d}}$ = $frac{π-arccosζ}{w_{n}sqrt{1-ζ^2}}$

從式中可以看出，當ζ一定時，β不變，系統的相應速度和wn成正比

當阻尼振蕩頻率wd一定時，ζ越小，上升時間越短

（2）峰值時間

對c(t)求導 $frac{dc(t)}{dt}|_{t=tp}$ =0

所以得 $frac{e^{-ζw_{n}tp}}{sqrt{1-ζ^2}}w_{n}$ sin( $w_{d}$ tp+β-β)=0 因為 $frac{e^{-ζw_{n}tp}}{sqrt{1-ζ^2}}w_{n}$ ≠0，所以有sin( $w_{d}$ tp+β-β)=0

所以， $w_{d}$ tp=2kπ，取k=1得

tp= $frac{π}{w_{d}}$ = $frac{π}{w_{n}sqrt{1-ζ^2}}$

式子說明峰值時間等於阻尼振蕩周期的一半，ζ一定時，wn越大，tp越小

（3）超調量σ%：

最大超調量發生在峰值時間tp時，把其帶入c(tp)，得到c(tp)= 1- $frac{e^{-πζ/sqrt{1-ζ^2}}}{sqrt{1-ζ^2}}$ sin(π+β)

因為sin(π+β)=- $sqrt{1-ζ^2}$ （這是因為sinβ= $sqrt{1-ζ^2}$ ）所以可以寫成c(tp)=1+ $e^{-πζ/sqrt{1-ζ^2}}$

又由於終值為1，所以得

最大超調量百分比 σ%= $e^{-πζ/sqrt{1-ζ^2}}$ = $e^{-πcotβ}$

ζ越大，從而β越小，所以cotβ越大，所以超調量越小，

當ζ在0.4-0.8範圍內時，σ%在1.5%~25.4%之間

調整時間ts ：回憶一下，單位階躍響應進入±△誤差帶的最小時間

ts= $frac{3.5}{ζw_{n}}$

小結：

二階系統的動態性能由 $w_{n}$ 和ζ決定
增加ζ：a、降低振蕩（即ts減小），減少超調量 b、系統的快速性能降低，tr、tp增加。
ζ一定，wn越大，系統響應快速性越好，tr、tp、ts越小
超調量僅與ζ有關，而tr、tp、ts與ζ、wn有關

4、二階系統的性能改善

(1)比例—微分控制

其結構圖：Td為微分時間常數，比例因子是1，E(s)為誤差信號

開環傳遞函數：G(S)= $frac{C(s)}{E(s)}$ = $frac{w_{n}^2}{s(s+2ζw_{n})}(T_{d}s+1)$ = $frac{K(T_{d}s+1)}{s(frac{s}{2ζwn}+1)}$ 其中K為 $frac{w_{n}}{2ζ}$

閉環傳遞函數： Φ(S)= $frac{C(s)}{R(s)}$ = $frac{s+z}{s^2+s(ζ+w_{n}frac{T_{d}}{2})w_{n}s+w_{n}^2}$ * $frac{w_{n}^2}{z}$ （令z=1/ $T_{d}$ ）

增加一個閉環零點 -z=-1/ $T_{d}$ 阻尼比增大 $ζ_{d}$ =ζ+ $frac{T_{d}w_{n}}{2}$ =ζ+ $frac{w_{n}}{2z}$

特點：

①引入比例-微分控制，阻尼比增加，從而抑制振蕩，使超調減弱，改善系統平穩性；

②閉環零點的出現，既加快系統響應速度，使上升時間縮短，峰值提前，又削弱了「阻尼」作用。適當選擇微分時間常數Ｔd，使系統既有較好的平穩性，又在出現較小超調情況下，提高快速性。

③不影響系統誤差，自然頻率不變

單位階躍信號作用下的輸出響應

C(S)= Φ(S)R(S)= $frac{w_{n}^2}{(s^2+2ζ_{d}w_{n}s+w_{n}^2)s}$ + $frac{w_{n}^2}{s^2+2ζ_{d}w_{n}s+w_{n}^2}*frac{1}{z}$

其輸出相應為 c(t)=1+r $e^{-ζ_{d}w_{n}t}$ sin(wn $sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ t＋φ)

r= $sqrt{z^2-2ζ_{d}w_{n}+w_{n}^2}$ /z $sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ ，

φ=-π+arctan[wn $sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ /(z- $ζ_{d}w_{n}$ )]+arctan( $sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ /ζd)

部分性能指標：

峰值時間tp：對c(t)求導，令其為0，

得tp= $frac{β_{d}-φ}{w_{n}sqrt{ 1-ζ_{d}^2}}$ ，其中βd=arctan( $sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ /ζd)

超調量σ%：σ%=r* $sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ $e^{-ζ_{d}t_{p}/sqrt{1-ζ_{d}^2}}$

調節時間ts： $frac{3+frac{1}{2}ln(z^2-2ζ^{d}w_{n}+w_{n}^2)-lnz-frac{1}{2}ln(1-ζ_{d}^2)}{2ζ_{d}w_{n}}$

（2）測速反饋控制

開環傳遞函數：G(S)= $frac{w_{n}^2}{s^2+s(2ζw_{n}+k_{t}w_{n}^2)}$ = $frac{K}{s[s/(2ζw_{n}+K_{t}w_{n}^2)+1]}$

其中K= $frac{w_{n}}{2ζ+K_{t}w_{n}}$

閉環傳遞函數：Φ(S)= = $frac{w_{n}^2}{s^2+2ζ_{t}w_{n}s+w_{n}^2}$ 式中阻尼比ζt =ζ+? $K_{t}w_{n}$

兩種控制系統比較如下:

(1)開環增益K，比例—微分控制不改變開環增益K 。

(2)wn不變，阻尼比增大。分別為

ζt=ζ+ $frac{K_{t}w_{n}}{2}$ ，ζd=ζ+ $frac{T_{d}w_{n}}{2}$ 當Kt=Td時，兩者相等。

（3）比例—微分控制提供一個實零點，在相同的阻尼比時，超調量大於測速反饋控制。

（4）比例—微分控制對輸入雜訊有放大作用，輸入端高頻噪音嚴重時，不宜選用此方法。測速反饋控制無需設置放大器，適合任何輸出可測的控制系統。

5、附加零點對欠阻尼二階系統的影響

附加一個閉環零點，超調量上升，上升時間下降，峰值時間下降。

附加零點對過阻尼二階系統的影響

附加極點對系統的影響

對所有的二階系統，增加零點,削弱阻尼,超調變大,上升時間變短,調節時間不一定小。

3.4線性系統的穩定性分析

1、系統穩定的條件：系統初始條件為0時，受到δ(t)的作用，輸出c(t)為單位脈衝響應，這相當於系統在擾動的作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，當t→∞時，

若=0-------------------系統穩定

若=∞------------------系統不穩定

若=A（A為非零常數）---臨界穩定

（t≥0）

系統穩定的充分必要條件：系統特徵方程的根全部具有負實部，即閉環系統的極點全部在s平面左半部。

註：穩定性與零點無關

勞思穩定判據

其特點是要知道系統的閉環傳遞函數，其線性系統的閉環特徵方程為

用例子去說明，

討論特殊情況一，因為第一列元素會作為分母，當第一列出現0時，要用一未知量代替

特殊情況二，出現全行都是0

3.5 線性系統的穩態誤差

1、誤差的基本概念

系統的誤差通常用兩種方法定義：

（1）按輸入端定義：

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)

（2）按輸出端定義

E(S)=R(S)/H(S)-C(S)

按輸入端定義的誤差E(S)通常在實際系統中可以測量，具有一定的物理意義，但誤差理論的含義部十分明顯，按系統輸出端定義誤差是希望輸出與實際輸出C(s)之差，比較接近誤差的理論意義。但通常不可測量

兩種誤差定義之間的關係是：E(S)=E(s)/H(s)

2、計算誤差的一般方法

最常用的就是終值定理法，該方法適合各種情況下的穩態誤差計算，以下說明步驟

①判定系統的穩定性：穩定是系統正常工作的前提條件，否則穩態誤差沒有意義

②求誤差傳遞函數：Φe= $frac{E(s)}{R(s)}$ = $frac{1}{1+G(s)H(s)}$ 公式由來：R(S)-E(S)*G(S)H(S)=E(S)

誤差信號e(t)是E(S)的拉氏反變換，其由瞬態分量 ett(t)和穩態分量ess(t)兩部分組成

由於系統必須穩定，所以t→∞時，ett(t)＝0，所以穩態誤差就是ess(t)

用終值定理求穩態誤差：ess= $lim_{s ightarrow 0}{sE(s)}$

終值定理應用條件是sE(s)在右半平面及虛軸上解析，即sE(s)幾點全部為s平面左半平面。當系統不穩定或者R(S)的幾點由於虛軸上以及虛軸右邊時，該條件不滿足

這個系統的穩態誤差ess= $lim_{s ightarrow 0}{sE(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{s*frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}}$

3、系統型別

設開環傳遞函數G(s)H(s)= $frac{Kprod_{i=1}^{m}(τ_{i}+1)}{s^vprod_{j=1}^{n-v}(T_{j}s+1)}$

式中K為開環增益，和為時間常數，v為開環積分環節的數目，稱為系統的型別或無差

度。按v的不同，系統分類如下：

V=0，稱為0型系統，或有差系統

V=1，稱為Ⅰ型系統，或一階無差系統

V=2，稱為Ⅱ型系統，或二階無差系統

V＞2，除複合控制外，系統難以穩定，在此不做討論

令=，則當s→0時，有→1

因此G(s)H(s)= $frac{K}{s^v}G_{0}(s)H_{0}(s)$

所以Φe= $frac{E(s)}{R(s)}$ = $frac{1}{1+frac{K}{s^v}G_{0}(s)H_{0}(s)}$ 所以ess= $lim_{s ightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $frac{lim_{s ightarrow 0}{s^{v+1}R(s)}}{K+lim_{s ightarrow 0}{s^v}}$

4、靜態誤差係數

①階躍輸入 r(t)=A*1(t)，則R(S)=A/S，A是階躍函數的幅值。

所以ess= $lim_{s ightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{s*frac{1}{1+G(s)H(s)}*frac{A}{s}}$ = $frac{A}{1+lim_{s ightarrow 0}{G(s)H(s)}}$

定義：靜態位置誤差係數：Kp== $lim_{s ightarrow 0}{sG(s)H(s)}$ == $lim_{s ightarrow 0}{frac{K}{s^v}}$

(根據系統型別那部分內容去理解)

因此：

因此，要為0，則用I型以上系統，0型系統在階躍輸入下存在非零的穩態誤差

②斜坡輸入 r(t)=At，A為斜坡輸入函數的斜率

ess= $lim_{s ightarrow 0}{sE(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{s*frac{1}{1+G(s)H(s)}*frac{A}{s^2}}$ =(因為分母那裡1那一部分乘以s之後，s趨向於0時那部分趨向於0，所以有) = $frac{A}{lim_{s ightarrow 0}{sG(s)H(s)}}$

定義：靜態速度誤差係數： $K_{v}$ = $lim_{s ightarrow 0}{sG(s)H(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{frac{K}{s^{v-1}}}$

因此選Ⅱ型以上系統不存在穩態誤差，選用Ⅰ型系統存在有限誤差，表明穩態輸出時的速度和輸入速度相同（因為是相減），0型系統不能跟蹤斜坡輸入

③加速度輸入 r(t)=A $frac{t^2}{2}$ ，A是加速度輸入函數的速度變化率

ess= $lim_{s ightarrow 0}{sE(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{s*frac{1}{1+G(s)H(s)}*frac{A}{s^3}}$ = (這裡也一樣把s^2那部分略去)= $frac{A}{lim_{s ightarrow 0}{s^2G(s)H(s)}}$

定義靜態加速度誤差係數 $K_{a}$ = $lim_{s ightarrow 0}{s^2G(s)H(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{frac{K}{s^{v-2}}}$

假設系統的輸入信號是多種典型函數的組合，例如r(t)=(A+Bt+C)*1(t)那麼可根據線性疊加原理求解穩態誤差,ess= $frac{A}{1+K_{p}}$ + $frac{B}{K_{v}}$ + $frac{c}{k_{a}}$

小結

從中我們可以看到，增大K，那麼就減小，如果增加開環傳遞函數中的積分環節，那麼就可以消除穩態誤差（例如在對於Ⅰ型系統，輸入斜坡信號會有誤差，但是增加積分環節，使其提升到Ⅱ級系統以上，那麼就誤差就為0）

6、擾動作用下的誤差

essn= $lim_{s ightarrow 0}{sΦen(s)N(s)}$ = $lim_{s ightarrow 0}{s*frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}}*N(s)$ =N(S)

當| $G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)$ |>>1，有essn= $lim_{s ightarrow 0}{s*frac{-N(s)}{G_{1}(s)}}$

大家可以評論相關自動控制的問題，我也會耐心給你們解答的(#^.^#)

以上內容未經本人同意禁止轉載~~