有限元中的Lagrange插值與Gauss積分

Lagrange插值與Gauss積分是在學習FEM中不可迴避的兩部分，雖然說是兩部分，其實在Gauss積分中，構造多項式的被積函數時，也用到了Lagrange插值多項式，所以在講關於參數單元剛度矩陣求積分的時候，在數值積分中一起提出。

以上表達式是說，對於一個比較難以積分的函數f，我們找到了一個與之相似度很高的多項式函數P，用P的積分來代替f的積分，那麼現在的問題就是如何找到多項式P。

那麼，先看第一種關於Newton-Cotes數值積分：

如果已知n個點的數值，那麼可以構造一個n-1階的多項式，通過待定係數的方式，使得這個多項式在這n個點的值就等於原本函數在這n個點的數值，關於待定係數的求解，如下：

用矩陣表示這個線性方程組：

這裡我用一個二次多項式來舉例吧，給出三個已知點:

二次多項式為：

將三個點帶入二次多項式來確定係數，得到的線性方程組為：

係數矩陣A明顯是一個范德蒙矩陣，范德蒙矩陣是可逆的，因此，我們可以直接通過克萊姆法則來求解係數向量，得到係數向量以後，把每一個係數寫成縱坐標y的線性組合，我直接給出我計算的結果，並且只保留y_1的係數：

另外係數矩陣，即范德蒙行列式的值為：

現在可以得到y的表達式：

接下來，記：

則：

可以容易的看出：

，這個意思就是說，在某一個帶入值的點，比如點1，f2與f3都取0，而f1則取1，所以，在所有帶入值的點，多項式插值的結果與原來函數的值是相等的。

這就是Lagrange插值，最後給一個一般性的表達式：

那麼，Newton-Cotes數值積分也就順理成章的被引出了：

然後，就是FEM里常用的Gauss積分了：

首先談一下我的理解，上面的Newton-Cotes數值積分，是將一個函數轉換為一個多項式，採用的多項式是Lagrange插值多項式，採用的n個點沒有特殊的要求，下面的Gauss積分，就是要對積分點進行確定，對積分點函數值得權函數同時進行確定。

可以看出，構造的高斯積分的函數雖然階次提高到了2n-1，它的兩項中的第一項仍然為n-1階，並且就是之前的拉格朗日插值多項式，只是在後面添加了一個「輔助項」，輔助項在所有積分點處的值為零，其實為什麼這麼構造我是不清楚的，我是一個沒學過數值分析的本科生，慚愧，但是毋庸置疑的是：

（1）整個多項式的階次被提高到2n-1次，相比於牛頓積分更精確；

（2）利用上述的積分條件（共n個），可以用來確定n個積分點的位置。

今天就寫這麼多吧，作為參數單元內容的補充。