凱利公式的理解（zt)
。個人因素方程呢，則是如何結合你個人的勝率的，這個跟個人成績有較大的關係，又更加超脫，但是如果你不是一個具備穩定勝率的高手，那好像對你的參考意義就不大了，後面討論。四個方程，從基本，到結合個人資金，到結合個人勝率，如果系統化的應用，肯定就很強啦，希望大家一起來探討如何系統性的利用這些方程，小弟我先拋磚了，大家可不要拿這磚來砸我阿kelly方程的來由和kelly的文章kelly方程就是kelly寫的一篇論文裡面的一個觀點，實際上其方程和方程的推導如下（本人的數學和英文水平有限，翻譯不對之處還請各位見諒，同時請高手們指點）：博球者的資金變化取決於投資的次數和投注的選擇對象，在n次投注之後其資金的變化2^n次（2的n次方），實際上這樣的增長變化在經濟中比較常見，其資金的增長率G，G可以用公式: 1 V(N)G =lim - log______ ------------(資金增長公式，其中N趨無窮大，V(0)表示本金，V(N)表示N次之後的金額) N V(0) 其中 是n次投注之後的資金值， 是首次資金，假設每次投資用了 比例的資金，贏了W次，輸了N次，那麼，上述方程可以轉化為：G＝P*log(1+L)+(1-p)log(1-L)注，有更多的方程公式，由於無法貼上來，小弟只好放棄，代以更加簡化的東西了，roy注這個實際上就是 的期望方程，p就是贏的概率，1－p自然是輸的概率，要想盈利，自然就是求上述公式的最大值的一向必要條件了，可以推算（俺就不詳細說了，求導就是了）出來 ，這裡說明了一個關鍵點，想盈利，必須要有50%以上的勝率，否則一切白忙活，這個是不是非常好理解呢―――這個其實也就是kelly方程裡面所隱含的告訴我們的一個道理，這裡就順便提了出來。回到kelly方程本身，那麼，怎麼從資金增長方程變化到kelly方程呢？實際上如何使得G最大化了，或者我們問，在那些條件下G能夠獲得較好的期望值，到了這裡就頭大了，kelly先生的論文不是很長，推導呢俺勉強也能看懂一點，但是就是公式太多了，公式太過於難於描述了，不過還好，kelly先生還是很大方的，有興趣的朋友可以在網上找到他的論文，google一下就是了。這樣的一些公式推導或許對很多人來講都是比較困難的，索性我們不關注這個，我把我自己的留意點說說，公式推導當中我們必須假定：莊家給出的賠率是根據事實的可能概率來制定的，即 p*o=1 但是很顯然，莊家從來不會給出一個p是可以通過o簡單的計算得到的。Kelly在文中提到，如果把o當作是莊家給出的"公平賠率"，那麼，我們倒是可以得到一個結果，那就是是的最大化資金方程得到最小值，即歸0。嘿嘿，這裡面就比較搞了，文中要求的是需要有一個公平的p，但是不希望有一個公平的o；這兩者矛盾嘛？不矛盾，莊家給出的總歸不是公平的o的，因為莊家知道公平的p是什麼但是莊家不會show給我們看，這裡就告訴我們，如果僅僅是依靠莊家給出的o來猜測那個p或者計算那個p，多半我們會比較慘；kelly還提示我們另外一個好玩的東東：在公式推導的過程中我們接受一種事實，這個事實就是每個投注的人總是忽略那些所謂的信息靈通或者內幕消息的投注的――模型可不能最大化假球之類的出現的時候的資金。這也告訴我們，如果你知道假球，恭喜你先生，你不用考慮什麼資金控制了，傾盡全部就是了，保證利益最大化。我不知道多少人看過kelly先生的這個論文和這裡面的一些提醒，但是我還未曾在其原文之外的地方看見有人給出這些信息，我想，這裡面非常關鍵的一個就是，公式只是死的，不能僅僅關注公式本身，你還應該知道公式的缺陷和公式的條件。說道條件，天，還有一個重要要素，那就是假設所有的投注金額都從輸家轉移到贏家，那莊家吃什麼？ 翻譯一段kelly先生的結論來和大家共享（錯誤之處請諒，最好是能夠指出幫忙糾正，先謝過了）在這裡介紹的賭徒（原文如此）是和一般的賭徒有著本質的明顯區別的(呵呵，看來是聰明博球者，roycaich自己的見解，下面在翻譯時將根據個人的理解將涉及相關的人物代稱更改為博球者和賭徒，博球者就是指合理利用kelly方程管理自己的人，賭徒就是指那些普通的) ，在每次投注的時候他期望獲得logV（V為返回資金）的最大值，其原因跟用來管理資金的方程無關，而僅僅是和log函數相關，能夠將大數定理應用於上面的該函數能夠被運用於重複投注中。假設條件不同，例如，他老婆只允許他每周投注1元並且不允許他的回報用於再投資，那每個投注時他都期望賭資獲得最大值，在資金最大化的情況下每次都把他所有的錢投入到投注中。一種可能的情況是，如果博球者與眾不同的分配他的資金，他能夠領先於其它賭徒。――這段話我想描述了一個事實，要有條件，然後還要理解並遵守那些條件，這樣才能夠體現kelly方程的意義。Roycaich注需要注意的是，這裡我們展示了某種可能，那些（採用我們的策略）管理資金的博球者的獲益將會高於那些和我們（的策略）不同、依舊對於每個接受到的符號採用固定比例來管理資金的賭徒們的獲益。如果需要，我們的投資策略可以被證明將是最為出色的，不過（文中）並沒有給出展示。儘管這裡採用的模型是從實際的博彩活動中總結出來的，模型當然同樣適用於生活中的其它經濟領域。定律的必要條件在於獲利資金的可再投資性和投資資金（下注的注額）在不同投資類別下的可靈活變更性，定理的應用渠道應該和投資者實際的投資資金等現實渠道相適應。讓我們概要的總結一下本論文的成果：如果投注者通過通訊渠道能夠投注並且每次都將通過某一實體將其一定比例的資金投入，他的資金將指數增長或者下降。如果（博彩公司的，roycaich注）賠率是和交易實體發生的可能性概率相一致的（例如，等同於可能概率的倒數），（資金增值的）指數增長率的最大值就等同於交易的頻率；如果賠率並不公平，例如，和這個實體事件發生的概率不一致而是和其它的某些可能性概率相一致，指數增長率的最大值就會比那些的比沒有總量等於信息交易頻率的渠道先進的要大；萬一存在什麼"內幕消息"之類的事情發生，方程就棘手無策，只剩下理論上的空架子了。（這一段翻譯得不好，還要向朋友請教一下進行校對，暫時先上來，後面改，朋友們也可以指正校對）再一次提醒各位，本人水平有限，可能翻譯得不好，只是提供參考。這裡順便借用一下幾位名家的話來幫助我們理解kelly方程：1）（kelly方程）將資金的增長律漸進線最大化2）漸進線式的，（kelly方程）將達到一個目標的時間最小話3）幾乎可以肯定的，（kelly方程）相對於那些有本質不同的策略而言在長期的運行中做得更好上面三句話是Hausch, Lo, and Ziemba (1994)提到的，這個應該是從學術化的角度來理解的。完kelly的結論了，現在我們來討論一下這裡面的一些問題，如何應用不同的方程，如何結合投注，我想，這裡個人的觀點主要是拋磚。第一個問題就是那些公式中的P了，這個到底是什麼概率呢？來看看基礎方程，第一個印象是非常直觀的，就是P*O>1,O是菠菜公司開出的賠率，這個簡單直觀的東西告訴我們，這個p是是跟o有關係的，也提醒我們，實際上p並不容易計算，kelly公式也不是輕輕易易就能夠套在我們的投註上的。實際上，我個人還是堅持認為p是一個事件即將發生的可能性概率，無他，是因為在投注活動中，球賽的結果基本上還是符合其長期的統計規律的，這點我想在possion公式衍生出來的模型，ELO模型等等都得到了驗證，所以我在上面解釋四個公式的時候認為基礎方程中的p跟賠率相關，舉一個簡單的例子，博彩公司對於某隊獲勝的賠率是1.5，你自己的勝率是65%，那麼很明顯，無論你怎麼管理你的資金，你都無法盈利，這個例子淺顯的告訴我們，那些說什麼認為達到65％勝率的人就是高手其實是不準確的，勝率是要跟賠率相關的，也就是說如果一個人能夠在賠率達到3的情況下保持勝率40％,那他就是了不起的高手了。我想，這個就是一個非常直觀的高手定義了：所謂高手，就是能夠穩定的從這個市場上贏取利潤，並不在乎其勝率是多少，高高低低只是障眼法而已。關於這個，mso上高陽兄的看法應該是相同的，在後面會有引用回到公式的源，kelly模型里描述是把p定義為獲得勝率的次數和總投注數的除數的，確確實實是跟個人相關的，但是他和其它人在研究的過程中採用了"fair odds"情況下的可能概率來進行的，這個更加是本質，因為如果按照那些賠率模型，都是被驗證為最後的結果跟模型的預測基本一致的。那麼我們認為用事件發生的本身可能概率來代替P也是可以接受的，但是問題是事件本身發生的可能概率如何獲取呢？從那些已經成熟的模型獲取吧，個人能力有限，資源有限，都不是什麼容易計算的東西，而且根據這個概率獲，莊家未必就肯給出符合p*o>1的o出來，操作起來也是難上加難。更為現實的情況還是藉助於莊家的賠率，不要忘了，莊家能夠給出不是"公平賠率"，但是我們卻擁有我們自己的選擇權，你可以選擇接受或者不接收，這也告訴我們需要學會放棄。另外一個呢，就需要術業有專攻了，你個人的勝率可能是建立在各式各樣的賠率基礎上的，這裡實際上會誘導你採用了不準確的數據，從而導致kelly應用的崩潰，所以一個較好的方式是對於某種賠率體系，某一個比較小範圍的賠率進行跟蹤和投資，在這個較小的範圍內應用kelly方程可能可以獲得較好的結果。現在我們先來看看大家的看法（轉貼），然後從這些觀點和討論中來繼續我們的話題首先是mso不圓大師的看法，在mso中有其詳細的描述，摘錄如下：凱利規則運用於這樣一個多輪次投注系統，它可以使每輪投注的資金增長平均值最大化。Zave = ((1－k0) L + k0)^(S/N) * K0^(1－S/N)其中Zave 投注的平均資金增長係數 k0 每輪下注保留的資金佔總資金比例；1－k0 每輪下注注碼佔總資金的比例；L 下注賠率；S 下注贏錢的輪次數；N 總的下注輪次數；S/N 總體下注成功率；1－S/N 總體下註失敗率。凱利規則隱含了這樣一個前提假設，投注的每個輪次都是無限統一的，或者說，要求每個輪次的勝出概率都等於上式中的總體下注成功率。如果賽果的公平賠率(Fair odds)可以計算得絕對精確的話，凱利規則不失為一種最好的策略。然而實際上，公平賠率即使從計算過程中也會累積明顯的誤差。一個現實的多輪次投注過程的整體概率本質上服從於離散分布，這一點背離了上述規則的前提假設。如果做為下注規則，凱利規則會指引玩家投下偏高的注碼，並可能導致危險的投注崩潰。需要注意的是，我在文中並沒有引用不圓先生所用到的kelly方程形式，並不是說這個方程不對，實際上這個才是更加核心的方程，主要是因為不圓先生列出的公式不利於應用且沒有獲取這個方程的最大期望值，我們所描述的應該是期望值方程；另外，我有一點跟不圓先生不同，我認為kelly的原文中是將資金的增長漸近線最大化，也就是logV期望值最大化。xx11的一篇帖子mso： 現在波友的一個共同的困惑是"明明我這段時間裡勝率超過了55%，但盈利卻是零甚至是負數"，這裡面就有一個注碼的應用問題，有的波友明白了這一點而採用全部均注的方法，結果也同樣錯失了本來應有的賺錢機會（場次）。也許凱莉方程式能幫我們解決這個問題。 從凱莉方程式(2)來看，影響b的變數有兩個：o、p，其中p是取勝的概率，按照現行的說法是一個附屬於o（賠率）的次變數，它隨著賠率的變化而變化（有關p的計算在很多網站都有詳細的介紹，比如Tip-ex、BetBrain等），那麼直接影響b的變數只有一個--賠率--這個讓無數人既愛又怕的小東東。 讓我們再仔細地看一下公式(2)：分子中的p*o是什麼？天哪！p的計算公式是p=1/o，那麼p*o鐵定等於1，導致整個公式的分子等於零，那我們還投什麼注碼？！~~什麼~~算錯了~~還得考慮博彩公司的抽水~~，是啊，還沒考慮抽水，重新算過--結果居然是分子成了負數！！怎麼回事？最初我也這樣問自己。凱莉方程式經過幾十年的錘鍊，自然是不會有任何問題的，而且在賽馬領域的應用極為廣泛。我一點都不了解賽馬，除了在電影里見到的十數匹賽馬閃電般地賓士的景象。我想賽馬最主要的玩法應該是賭哪匹馬能夠奪得冠軍吧？為此會給所有參賽的馬匹開出一個贏得冠軍的賠率，而賽馬的回報率應該挺高的，那麼取勝的概率p應該不會像足球那樣等於賠率的倒數那麼簡單，退一步說，即使賽馬的勝率也是和足球博彩一樣的演算法，那p*o的值永遠不會大於1，凱莉方程式也就失去了意義。看來問題的關鍵就是 p 究竟是怎樣得到的？讓我們回過頭重新欣賞一下那篇網文譯作中opt的由來吧：舉例: 利物浦主場2.50對曼聯，某博彩公司對利物浦可勝出的機會率為45%，亨克(芬蘭博彩投資家)有10,000元的投注金，其投注金應為 b*(e*o-1) 10000*(0.45*2.5-1)opt = ----------- = ---------------------- = 280 元 3*(o-1) 3*(2.5-1)即亨克可投注利物浦的金額為280元。 在上述公式中，作者並沒有對"某博彩公司對利物浦可勝出的機會率為45%"作出詳細解釋，按照現行的說法，p的計算公式是p=1/o，也就是賠率2.50的倒數，勝率應該是40%，再考慮博彩公司平均10%的抽水，這個勝率實際上也就是36%左右，何來"某博彩公司對利物浦可勝出的機會率為45%"之說？！因而，可以肯定的是，p並不是賠率的倒數這麼簡單，而是一個主觀性很強的取值，既然是一個主觀經驗值，那麼你所選取的p值的準確性和適用性就成為最關鍵的焦點，舉個極端的例子，假設你認定某場比賽客隊取勝的概率是99.99%甚至是100%（當然理論上概率不可能是100%，但你通過當守門員的哥哥得到了內幕），按照凱莉方程式，你可以傾囊而出；反過來說，只要出了哪怕一丁點意外（比如說你的哥哥受傷下場），你都將血本無歸。通常按照式(2)計算出來的b(最佳投注比例)普通情況下的值為8%左右，是一個不起眼的小東東，我大概計算了一下，假設你能夠連續投注的話，按照平均賠率為2.00，你只需每個周末凈贏2場比賽，一個賽季下來你就可以使你的資金增加100倍！100倍就是100萬！！多麼驚人的數字！！！需要特別提醒的是：1、凱莉方程式並不能保證你會贏球，它可以幫助你在贏球的時候如何穩定地、安全地、快速地增加你的注碼，而在你輸球時把損失減到最小。2、凱莉要求你每次只能投注一場比賽，第二次投注要在第一次投注完成以後才能進行。至於多場次同時投注的凱莉準則不在本文討論範圍之內。 你看到這兒可能會覺得凱莉方程式沒什麼了不起的，因為你在不知道凱莉方程式的情況下每次的投注也都是總注碼的10%左右，請再次細細體會一下，要知道諸如金融、保險等行業的都在深入研究凱莉理論的應用，他們倒不是為了下注，而是為了如何應付你的每一次存款或投保。 我在研究凱莉方程式時的另一個體會就是如何進行p值的推導，這是一個智者見智、仁者見仁的問題了，有機會再探討吧
~~~一周上百場的賽事賠率都靜靜的待在那兒，期待你的選擇，我想開賠率的人是不會把那麼寶貴的p放在你的眼皮底下的，也許只有深入但不限（陷）於某場賽事的賠率你才能真正看清楚，正所謂"不識廬山真面目，只緣身在此山中"，最後找一段博彩高手的心得作為本文的結束語--"其實注碼的運用有很多方式，外國有很多職業賭徒都是用很多的投注技巧去贏取每月的收入，如果於球場上可以找到一些方程式有高命中率的話，再配合注碼的運用可謂無往而不利...... 最好的方法就是自己或幾個朋友建立一個基金系統，訂下利潤及每場的注碼，每次見方程式的球賽出現時就堅持原則下注！"而tieyu朋友則給出了特別提醒：1、凱莉方程式並不能保證你會贏球，它可以幫助你在贏球的時候如何穩定地、安全地、快速地增加你的注碼，而在你輸球時把損失減到最小。2、凱莉要求你每次只能投注一場比賽，第二次投注要在第一次投注完成以後才能進行。至於多場次同時投注的凱莉準則不在本文討論範圍之內在獨贏兄和wbwwbw斑竹的一篇思想大碰撞中，給予我們很多很好的問題思考點mso而南方過客先生則給出了其自己鮮明的觀點mso按照凱莉方程式的精神，最值得注意的是：在該種盤口下，如果預期勝率低於51.2%就不應該下注。（這也說明了莊稼利潤的所在）勝率p的選擇不可能是個`100%真值，我認為需要經驗+統計+其它一些因素（歡迎大家提出好的方案）。還有就是p值是動態的，不是定值。還有就是要盡量排除主觀的東西。這一方法最適用於不懂球的玩家（對球隊實力強弱等越不知道越好）或"心中無球"的玩家對守紀律的玩家也是不錯的選擇。(P)是歷史統計可以得出來的，類似於商品檢驗中的隨機抽樣原理，參考模型的建立是否合理是勝率的關鍵所在，最好不要參照主觀的指標，參考對象相應客觀點是否可以假設自己的勝率為55%這個固定值這應該是一個保本的勝率,對於亞盤來說.首先不能假設，要有統計才可以，而且統計模型是科學的（趨近於實際值的）其次55%勝率對應的亞盤只能做到基本保本吧，舉個例子來說，對應於A隊讓B隊半球，上盤8水，下盤105水的某場比賽，在55%勝率的情況下，投注8水的A隊在此勝率下是要虧錢的，凱莉公式得出的注碼比例b=55%*1.8-1/1.8-1=負值，而相反的是投注B隊按凱莉公式得出的注碼比例b=55%*2.05-1/2.05-1=12.14%！下面是鎢思道先生在帖子中的回復一個極具應用價值的話題.報名參與討論，印象中這好像是第二次和Roy兄會面了。對Roy上文列出6個方程中(式中各項含義見上文,不再贅述):opt = (b/3)*(e*o-1) / (o-1) ----------------------- (1.精明方程)b = (p*o-1) / (o-1) ----------------------- (2.基礎方程)K = W - (1-W)/R ----------------------- (3.個人因素方程)b = K*(p*o-1) / (o-1) ----------------------- (4.係數變形方程)G = P*log(1+L)+(1-p)log(1-L) ----------------------- (5.kelly方程)Z = [(1－k0)*L + k0]^(S/N) * K0^(1－S/N) ---------- (6.不圓所列方程)偶進行了化簡,式(3)可以直接變換為(2)的形式;式(1)和式(4)在去掉係數(b/3或者K)後和式(2)完全一樣;式(5)和式(6)求導後對其中的投注比例項求解也可以得到式(2)的形式.因此上述6個方程在描述"如何確定投注比例才能夠使平均資金收益率最大"這個概念時是完全相同的,只是從不同的角度出發而已,為了日後討論方便,我們現在推導出更為一般的形式.假設在一個博彩遊戲中,初始資金是C,每次投注的比例是x,贏的概率是p,相對於x的獲利比例為A;輸的概率是q,相對於x的虧損比例為B,進行了n次遊戲後的剩餘資金是:F = C * (1+Ax)^np * (1-Bx)^nq ----------------- (7.複利公式)則平均資金收益率是:f = (1+Ax)^p * (1-Bx)^q ------------------------- (8.平均收益率,與C,n無關)為使f最大,令df/dx=0,解得:x = (Ap-Bq)/AB ---------------------- (9.描述最佳投注比例的最一般方程)在式(9)中,令A=o-1 (A是不含本金的賠率)B=1 (B在足球博彩中恆等於1)q=1-p (q,p就不用廢話了)式(9)即可化為式(2),式(1),式(3),式(4)同理.對式(5)寫成:G = log(1+L)^p*(1-L)^(1-p),在這裡:A=1,B=1(即一對一對賭)L是欲求的投注比例,則令第一個L=AL,第二個L=BL,則dG/dL有與df/dx同樣的形式,故式(5)也可化為式(2)的形式.在式(6)中,令S/N=p1-S/N=q1-k0=xL=A+1則式(6)可寫成:Z = [x*(A+1)+(1-x)]^p * (1-x)^q= (1+Ax)^p * (1-x)^q此處,B=1,故式(6)具有與式(8)相同的形式,即也可化為與式(2)等同的形式.羅嗦了這麼多,讓我們回頭看看式(9.最一般方程)所對我們的指導意義.把式(9)做一個變換,可得:x=p/B-q/A ---------------------- (10.最一般方程的變形)其中:x: 最佳投注比例p: 獲勝概率q: 失敗概率(q=1-p)A: 獲勝時的獲利比例(在足球博彩中,A=Odds-1)B: 失敗時的虧損比例(在足球博彩中,對於閑家來說B恆等於1)1.式(10)影響x的4個變數中,因為B=1,故第一項即為p,而p值介於(0,1),因此無論獲利比例(A)有多大,都不允許滿倉殺入.很多人玩球最終以輸錢甚至血本無歸告終,很大程度上便是因為沒有真正理解B的含義.說句題外話: 在目前現有的條件下,有沒有辦法讓B變小? 別笑,答案是肯定的
2.在關乎贏的變數中,除了努力地使p提高以外,另一個途徑是設法提高獲利比例A,這也是此前我多次說明某些類型的亞盤無利於閑家的原因,因為亞盤的A通常在1以下,最高不超過1.05(澳門).在p難以提高的時候,關於A的研究給了我們另一個方向.3.關於P是個永恆的話題了,早年偶在研究凱莉方程時,便對p產生了濃厚的興趣,時至今日,關於p的理解也走過了很多輪迴.一個體會是無論通過什麼樣的途徑來得到p,p終究有一個難以逾越的瓶頸.目前我更多關注的是p的穩定性而並非p的絕對值,因為在p穩定的情況下,藉助於A和B同樣會有一個圓滿的結局.4.最後,對於凱莉方程式,任何一個學過微積分的人都可以在10分鐘之內搞清它的數學含義.應用到博彩領域,更重要的是把其中的各個變數和現實中的博彩思維(行為)聯繫起來,凱莉方程雖不能直接告訴你怎樣去玩,卻明白無誤地說明了為什麼去玩,我覺得,這種指引正確方向的意義遠遠大於方程本身的意義.一點愚見.關於P的計算那麼P到底怎麼樣來計算？上面的描述已經告訴我們，其實要真的把握並很好的利用kelly方程實際上是非常困難的，我現在也沒有實際的試驗經驗，在接下來會有這樣的想法去嘗試，現在先從自己接觸到的一些理論和他人的經驗來和大家分享一下。我個人覺得我們應當回到博彩的本質--博弈；這裡面並不是投注者之間的博弈，而是博彩公司和投注者，排除假球的情況下，博彩公司必須使其賠率體系儘可能的貼近比賽結果的長期統計規律，這也是為什麼博彩公司花力氣養一大幫人研究比賽的重要原因；並且博彩公司利用操盤手來不斷的根據實際的投注情況來調整賠率，通過大量的投注者之間對立的選擇和降低風險。這樣博彩公司在開賠率的時候不僅僅是一個球隊間實力的反映，還考慮到投注者的心理因素和投注者的信息獲得量，從這一方面來講，博彩公司開出的賠率實際上並不會有太多的背離實際的情況出現，誘盤並不是很好操作的-個人認為所謂誘盤只是針對特定信息群體的一個手段。由於博彩公司開出賠率在前，投注者下注在後，這樣博彩公司肯定不可能開出完全公平的賠率，這裡面蘊涵著一些對於未來投注額度的預期判斷等信息在內；而投注者儘管信息量方面不夠，但確實後面的一個主動者，選擇或者放棄的權利都在個人手上；從這兩點來看，P首先不會太背離博彩公司的賠率體系，其次，P可以通過個人行為來得到提高。 現在我們先來考慮通過博彩公司的賠率體系進行P的範圍測量，事實上我個人一直覺得博彩公司首先是獲得了比賽的一個統計預測p，然後結合近況等要素以及心理期望等進行調整，將p放大以便確保降低風險，然後根據放大的p來給出賠率；在1×2的三種可能概率上都放大了，但是肯定不是正比例的放大的，可能某一個多一點某一個小一點，這樣我們試圖通過其賠率和返回率再推算回去，實際上應該是不準確的。而且根據博彩公司開出的賠率直接推算的p其乘積肯定不不超過1的，沒有什麼有利可圖的；我們只能夠通過一個大概的計算公式來獲取，這個常見於各個諮詢網站，那就是用 p1=1/(1/o1+1/o2+1/o3)/o1p2和p3的計算也是這樣的公司，可能有一些用的是101體系，那就把公式中的一些1該為1.01就是了。很顯然，這個公式計算出來的p乘以o的值也是小於1的；但是這個p是不是沒有作用？後面我們來看看。所以我覺得還是需要有某種方法來計算比較公平的p的，事實上很多數據模型能夠提供這樣的數據，比如說elo模型，比如說很多基於possion公式的模型，都能夠提供一個比較反應靜態實力的概率，而許多基礎數據，則能夠從免費的網站獲得，問題是這個獲得p是否能夠有限的應用在kelly方程呢，不是的，讓我們來看看有個老外寫的文章裡面的研究事實，他自己建立的一個模型來計算p，是基於possion公式的，然後採用不同的投注策略得到：Margin Fixed% Kelly% 1/2Kelly%1/4Kelly% # of bets1.1 94.23% 15.95% 61.49% 81.93% 7121.2 94.44% 34.03% 70.05% 85.26% 3461.3 96.84% 106.74% 105.02% 96.75% 1741.4 99.63% 213.85% 156.68% 128.27% 871.45 100.53% 248.74% 175.36% 137.88% 721.5 101.09% 235.71% 167.97% 134.01% 511.6 101.67% 175.13% 137.65% 118.85% 281.7 102.07% 170.87% 136.05% 118.15% 23上面是歐洲四大聯賽和英甲等的統計數據，上面的數據數據裡面，margin就是通過1/o1+1/o2+1/o3的計算值，我們可以清楚的看到，採用不同的投資策略下的收益是不一樣的，收益低於100％意味著什麼呢？意味著虧損，從上面的統計實例我們可以看到，博彩公司開出的賠率裡面，如果按照嚴格的統計規律來進行的話，投注者基本上是虧損的－這也是博彩公司抽水所導致的。而在我們最為常見的1.1莊家利潤期望值的賠率體系中，kelly方程式是虧損得最為厲害的。我想這個是大大出乎我們所有人的意料的吧。這個也說明，不要以為只有我們在研究投資策略，其實博彩公司應該是比我們更加精通這個東西，畢竟，我們所看到的，莊家的期望值高於1.3也是很少。上面的數據表明我們還是需要對比賽進行選擇，從而提高這個P的值的，如何選擇比賽，kelly方程並不能夠告訴我們什麼，但是，我想，我們上面的分析已經告訴我們，怎麼樣去發覺一些比較可靠的比賽，這也是為什麼我認為莊家的賠率仍舊對P產生影響的一個重要原因。接下來為大家奉上一篇風險管理的文章作為參考，文章是Ed Seykota所寫的，我進行了一些節選：風險管理總結一般來說，好的風險管理者包含下列要素：闡明交易系統和風險管理系統，直到可以轉化為程序代碼為止。包含風險分散和投資工具選擇，再做好歷史測試。 歷史測試和壓力測試決定交易參數敏感性以及最佳化數字。所有參與者，對於變動率和獲利率，有清楚的共識。 投資人和管理者之間，維持具有支持作用的關係。 最重要的是，堅守系統。 風險風險的意義是損失的可能性。也就是說，如果我們擁有一些股票，這些股票價格有下跌的可能性，那麼我們就具有風險。股票本身不是風險，損失也不是風險，損失的可能性才是風險。只要我們一天還擁有這些股票，我們就具有風險。控制這些風險的唯一方式就是買進或賣出股票。就擁有股票，想賺取利潤這件事來說，風險基本上是無可避免的。我們所能做的，就是管理風險。風險管理管理的意思是引導和控制。風險管理在於指引導及控制損失的可能性。風險管理者的任務即在於測量風險，並買進或賣出股票以增加或減少風險。直覺和系統直覺（Hunch）是一種決定賭注的方式。也許我們預感要押$100。雖然以直覺來決定賭注確實是現實世界裡最多人用的方式，它還是有幾個問題。它需要一個操作者特續的產生這些預感來決定賭注，把這些預感轉為實際的賭注。比較起科學方法來說，這些賭注更仰賴心情和感覺。要改善以直覺來下注的方式，我們可以使用一套系統。系統的意思是一套邏輯化的方法，來規定一連串的賭注。比較這兩種方法，系統的好處在於(1) 我們不需要操作者 (2)賭注變得有規律，可預期，前後一致，而非常重要的是 (3)我們能夠在計算機上執行歷史數據的模擬，將下注系統最佳化（Optimize）。雖然一般來說系統的好處很明顯，實際上風險管理者卻很少清楚定義他們的系統，足以在計算機上進行回溯測試。我們丟銅板的例子滿簡單的，我們可以幫它準備一個下注系統。此外，我們可以藉此測試這些系統，找出系統的最佳參數，以便執行最佳化的風險管理。固定賭注以及固定下注比例我們的下注系統必須定義賭注。定義賭注的其中一個方法是使用固定金額，例如每次下注$10，不管我們輸還是贏。這種就叫做固定賭注（Fixed Bet）。在這個情況下，我們$1,000的資本可能會減少或增加，一直到$10比例上會變得太大或太小，而變成不是最好的賭注了。要解決固定賭注中資本變動的問題，我們可以定義固定下注比例（Fixed-Fraction）。在我們的資本中，1%的賭注等於$10。這次，不管我們的資本上升或下降，固定下注比例都會和資本成比例。由固定下注比例我們發現一個有趣的事情，既然賭注和資本保持一定的比例，理論上來說完全破產不可能，形式上畢業出場的風險是零。在實務上，崩潰和心理上的 Uncle Point 比較有關係，參照下文模擬測試我們可以針對歷史數據進行模擬測試（Simulate），以便測試我們的下注系統。假設我們丟十次銅板，有五次正面五次反面，我們可以如圖二般安排模擬測試。請注意，兩個系統第一次都賺了$20.00（賭注的兩倍），開出來的是正面。第二次，固定賭注的系統輸了$10.00，而固定比例系統輸了1%，也就是$1,020.00的1%，也就是$10.20，資本剩下 $1,009.80。兩種系統跑出來的結果幾乎沒什麼不同。然而經過長時間後，固定比例系統會以幾何級數成長，超越以線性成長的固定賭注系統。另外，系統的結果取決於正反面的個數，至於正反面的順序並不會影響結果。讀者可以自行以電子表格進行測試金字塔型加碼（Pyramiding）以及賭注加倍（Martingale）如果過程是隨機的，像是丟銅板，規律的正反順序是不可能的，因此會發生一連串的正面或反面的狀況。然而，我們無法利用這個現象獲利，因為它的本質就是隨機的。在非隨機的過程中，例如股票價格的趨勢，金字塔型加碼或是其它趨勢追蹤技巧都可能有用。金字塔型加碼，是在獲利時加碼的一種方式。這個技技有助於交易者加碼至最佳化部位。在已最佳化的部位之上加碼只會引起過度交易的災難。一般來說，這種系統的小修小補對系統來說，遠遠不如堅守系統來得重要。事實上，這樣的修修補補使交易者對系統的信號產生詮釋的空間，可能導致直覺化的交易，徒然削弱堅守系統的努力罷了。賭注加倍（Martingale）的意思是在賭輸時加倍下注。如果又輸，則再加倍，如此一直下去。這種方式好比趕在壓路機前撿硬幣，只要一次失手，資本就完蛋。最佳化－使用模擬測試一旦我們選定了一個下注系統，例如固定比例下注系統，我們就能依系統找出最佳化的參數（Parameters），得到最好的期望值（Expected Value）。在丟銅板的例子中，我們唯一的參數就是那個固定比例。再次重申，我們可以經由模擬測試找到答案。請注意，丟銅板的例子的用意在於強調風險的某些元素，以及它們之間的關係，特別是我們的例子是報酬2:1，勝率50%。這個例子沒有考慮正反面不均勻的情況，也沒有考慮一連串的正面或反面。它的用意並非在建議任何市場交易里風險管理的參數%時，資本不會改變。在5%時，賭注是資本$1000.00的5%，也就是$50.00。第一次期望值是$1,100，以灰色部份表示。第二次的賭注一樣是資本的5%，$55.00，這次我們會輸，剩下$1,045.00。請注意，在賭注為25%時，表現最好，以紅色部份表示。再請注意，最佳化參數(25%) 在一次正反面周期後就很明顯了。這讓我們能夠以單一周期求得最佳化參數。請注意，系統的期望值在25%下注比例時，從$1000.00提高到最大值$1,800。從這之後，隨著提高下注比例，獲利減少。這條曲線表示了兩個表達了兩個風險管理的根本法則，(1) 膽小交易者法則：如果你下的注不夠大，你的獲利也不會大。 (2)魯莽交易者法則：如果你下的注太大，破產是必然的。 在具有多個部位，多個賭注的投資組合中，總風險我們稱之為投資組合熱度（Heat）。這個圖同時說明了在報酬為2:1的情形下，期望值和下注比例的關係。這樣的關係在不同報酬的情況。最佳化－使用微積分因為我們的丟銅板遊戲滿簡單的，我們也可以用微積分求最佳下注比例。因為我們知道，最佳系統在一次正面和反面的周期後就是顯而易見的了，我們也可以用一個正面一個反面的周期，來簡化問題。一正一反的組合後，賭注變成：S = (1 + b*P) * (1 - b) * S0S - 一個周期後的賭注b - 下注比例P - 報酬2:1S0 - 一個周期前的賭注(1 + b*P) - 贏時的影響(1 - b) - 輸時的影響所以，一個周期後的影響就是：R = S / S0R = (1 + bP) * (1 - b)R = 1 - b + bP - b2P R = 1 + b(P-1) - b2P注意，b值很小時，R隨著b(P-1)的增加而增加；b值很大時，R隨著b2P而減小。這就是膽小交易者、魯莽交易者法則背後的數學意義。我們可以畫一張圖顯示R和b之間的關係，這張圖看起來會很像我們從模擬的結果，以目測選擇最大值。我們也可以觀察到，最大值時斜率為零，所以我們也可以令斜率為零，即可求最大值。Slope = dR/db = (P-1) - 2bP = 0, 於是b = (P-1)/2P , and, for P = 2:1,b = (2 - 1)/(2 * 2) =0 .25所以最佳化的下注比例就是資金的25%。最佳下注比例隨著勝率而增加，趨近報酬。這張圖顯示在不同的勝率和報酬下的最佳下注比例。最佳下注比例隨著酬酬的增加而增加。對於很高的報酬率時，最佳下注比例等於勝率。舉例來說，一個5:1報酬的公平銅板，最佳化下注比例趨近於50%。過程中的期望值和最佳下注比例幾乎確定會毀滅的策略全押，本質上來說是幾乎確定會毀滅的策略。因為對一個公平的銅板來說，存活的機率，變成(.5)N，N表示丟銅板的次數。十次銅板之後，存活的機率大約是千分之一。大部份的交易者當然不想破產，所以就不會採用這樣的策略。但是，這種策略的期望值真的很誘人。在毀滅只代表資產的損失時，我們會想要找到這樣的系統。例如，一個將軍管理著好多可有可無的士兵。他也許會讓士兵全部上場，全面攻堅，不考慮士兵會不會死掉。用這樣的戰術，將軍也許會失去很多士兵，但也許會有一兩個士兵攻堅成功。整體上來說，任務成功的機率就大增。相同的，一個投資組合管理者也許會把資本分散在許多賬戶中，然後賭上每個賬戶里100%的資本。他想，他也許會輸掉很多賬戶，但有些賬戶的勝利勢必可以使整體的期望值最大化。這就是風險分散（Diversification）的原則。當個別的報酬率非常高時適用。風險分散風險分散就是把資金分散到很多不同的投資工具，單一投資工具失敗時，損失得以限制。這樣的策略必須符合「所有部位平均起來有獲利期望值」這樣的 條件。比較起單一投資工具，風險分散也提供心理上的好處。短期內投資的變動，可以由不同投資工具間的成果抵消，而獲得較為平滑的投資組合變動率 。The Uncle Point從分散的投資組合的觀點，個別投資工具組合成為總合的績效。就風險管理者或基金投資人來說，基金的表現就成了注意力的焦點。基金的表現，也會受 上述兩種人的感覺、態度、還有投資者對個別股票態度上管理者的態度所影響。基金管理中最重要的，也許也是最不受注意的觀點，就是Uncle Point。它的意思是凈值水平降低，引發投資者或管理者信心喪失的那個點。如果投資人或管理者失去信心而進行贖回，那基金就 宣告死亡。正因Uncle Point發生時的環境通常是很灰心氣餒的，很少文獻對這個現象有詳盡的記載。尤其是當基金在安全範圍里的時候，除了法律文件里必要但卻含糊的貼示外，沒什麼人會注意Uncle Point。在Uncle Point認知上的不協調可以導致其中一方的放棄，說起來也很不幸，明明另一方要的只是再次保證。當壓力真的很大的時候，投資人和管理者不會去看那個看也看不懂的法律文件，他們會看的是自己夠不夠膽。在凈值常常降低，高表現，高變動率的創業 界尤其重要。若雙方對Uncle Point沒有清楚的共識，風險管理者往往必須假設Uncle Point就在不遠處，於是他們尋找降低變動率的方法。如同我們上面所看到的，低變動率系統很少能有最好的獲利。然而壓力和緊張局勢使得對於變動率的 偵查和處罰變成必要。測量投資組合的變動率（Sharpe, VaR, Lake Ratio and Stress Testing）從分散投資組合的觀點，個別投資工具的成敗總合成為整體績效的一部份。投資組合管理者依賴一整套測量基金表現的工具，例如Sharpe Ratio，VaR，Lake Ratio以及Stress Testing。威廉夏普先生在1966年提出了他的「報酬－變動率比」。經過長時間，它成為我們所熟知的Sharpe Ratio。Sharpe Ratio利用對變動率調整績效的方法，提供了比較不同績效不同變動率投資工具間比較的標準。S = mean(d)/standard_deviation(d) ... the Sharpe Ratio, 而d = Rf - Rb ... the differential return, 而Rf - 基金報酬率Rb - 基準報酬率夏普指標的變形不斷出現。其中一種變形捨棄了基準點，將它設為零。另一個，基本上就只是夏普指數的平方，但它使用獲利的變異數，而不是標準差。 在使用夏普指標上，一個重要的考慮是它並未將上方下方變動率加以區分。高槓桿高績效的系統，必然有很大的上方變動率，在這標準下也變得不太好了 。VaR，或稱風險承擔價值，是另一種衡量投資組合風險的方法。基本上它只測量最大凈值下降百分比，這種情況很久才會發生一次，機率約95%。VaR的缺 點是，(1)歷史的計算結果只能提供大概值 (2)還是有5%的機率超過預期。凈值下降產生的信心問題多半在非預期中發生，VaR也就無法真正預測它真正 想要解決的狀況了心理面的考慮在實際操作上，最重要的心理考慮就是堅守系統的能力。要達到這個目標，必須(1)全然了解系統的規則 (2)了解系統行為 (3)在所有參與者中，找到清楚的共識，能夠堅守系統的共識。例如，就我們剛所說的，獲利和虧損不見得會平穩的交換出現，通常來說都是一串贏的，一串輸的。當一組投資人－管理者團隊都了解到這是正常的，在 凈值降低時堅守系統的可能性就大增，賺大錢的時候也會比較謙虛謹慎。除此之外，研討會，心靈支持團體都有助於保持一貫的態度，讓組織里上下都能照計划進行。補充：假設一個人全勝，P=1，也就是說從kelly方程來講就是全額投注，這是一個危險的理論值；實際上，我們的操作不可能達到100％的勝率。但是p＝1有還是有一個啟發的地方，在博彩領域長期而言相對於博彩公司，彩民們的長期賠率正是0.9附近，即返回率。也就是說，博彩公司擁有全局方面獲得0.1傭金的優勢。但對於個體，如果自己操作得當，有可能維持在高獲勝概率，這個時候個人的一點想法是隨著獲勝概率的提高，所採用的p應該增大博彩公司所開出賠率的考慮因素，p應該是跟個人操作和賠率所蘊含p有關，前面我們已經提到，p不僅跟個人有關，也更理論上的勝率有關，兩者之間需要權衡。假定P＝f(p1,p2),其中p為kelly中要採用的概率，p1為個人勝率，p2為理論勝率，P應該是這兩者加權平均，並且其權重存在反比關係為妥，能夠使得個人勝率的回歸理論勝率一以此來降低個人操作方面的風險這個是由於我們的個人操作中會存在一些隱性假設所引發的，規避這樣的風險使得不至於在風險發生時損失過大，值得我們關注；個人正在試驗，不知是否還會滿足kelly方程的特性，讓我們共同關注和測試例如，如果我們採用簡單權重平均，對於180賠率的比賽，個人的操作得當，使得勝率達到80％，這個時候建議在kelly中要採用兩者的平均值，比方說採用個人的80％和理論的50％的平均數，以此來降低風險。（轉載於信凌-夢想港灣 作者roy_caich）xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx二 凱利公式 威斯(ralph vince)，關於賭二十一點的資金管理公式論文，資訊比例新解(a new interprepation of information rate)，內容探討資訊流的概念，現被期貨交易員稱做凱利公式(kelly formula) f = ( ( r + 1 ) * p - 1 ) / r p = 系統獲利準確率的百分比 r = 交易獲利相對交易虧損的比例 若以一個65%準確率及贏家為輸家1.3倍的系統範例做計算 f = ( ( 1.3 + 1 ) * 0.65 - 1 ) / 1.3 = 38% 用於交易之資金 在本例中，你會用38%的自有資金來支持每一筆交易，假如你的帳戶有100萬元，你就用38萬元除以保證金，計算出合約數量。 凱利公式的盲點 凱利公式原本是為了協助規劃電子位元流量設計，後來被引用於賭二十一點上去，麻煩就出在一個簡單的事實，二十一點並非商品或交易。賭二十一點時，你可能會輸的賭本只限於所放進去的籌碼，而可能會贏的利潤，也只限於賭注籌碼的範圍。但商品交易輸贏程度是沒得準的，會造成資產或輸贏有很大的震幅。xxxxxxxxxxxxxxx交易員對資金管理的頌讚充斥著書本，但這些基礎對你將大有幫助。（如果你仍不確信資金管理的重要性，可以參考 Jack Schwager 所著《Market Wizard(金融怪傑)》）。在這裡，我們可以看到一些既定的數學，來告訴我們在你自身的操作計劃中那裡可以用得到，同時我們也可以發現在一個簡單的操作中一些不同的理論和運用。 在你決定要如何管理你的資金之前，你必須正確地運用客觀和專業。在進一步分析你的資金管理策略之前，大部分的專家著眼於三個區域: 1你所操作市場的波動率(volatility) 2你所運用的分析技巧所預測的成功率 3你的操作資金市場 波動率是資金管理經常被忽略的部份，如果你能承受的最大風險是 500 美元，但是你要交易的市場其當日波動達 3000 美元，你將會失敗。如果你不能交易得起 SP500 或是咖啡， 你必須承認它。 你同時必須理解你的分析的可行性，除非你知道你的平均虧損是多少，否則你如何去計劃它？根據大量的歷史資料測試或是模擬交易，你可以估計這些參數。那麼一些簡單的公式可以幫助你獲得潛在成功對等的圖表。 你的期望報酬是你預期多久會贏或輸，以及你預期要贏或輸多少的函數。 期望報酬的公式（經常以數學的期望值來表示）： EP=P1*W-P2*L P1 為勝率 P2 為敗率 Ｗ為贏的數目 Ｌ為輸的數目 值得交易的系統其期望報酬必須為正數。 當贏或輸因變動而無法準確地估計時，大部分的專家建議使用回測的平均獲利「Ｗ」以及平均虧損「Ｌ」來決定。同時，當它並非固定交易時，你可以使用勝率「Ｐ１」及敗率「Ｐ２」。在」史瓦格期貨交易技術分析」一書中，，這些數字被用來計算每筆交易的預期凈利。 資金管理最重要的一環是必須有足夠的資金可供交易，如果你不能運用足夠的資金，一個超額的虧損最後終將把你掃出場，不管你的資金是多少，你所需的必須能配合你所能承受的。在計算你虧損的風險或你虧損多少必須停止交易的機會前，你可以估計是否有足夠的資金。當然風險承受度每個人不同，但是市場專家建議超過 10%就太多了，破產風險的公式為： RoR=((1-A)/(1+A))C A 是你的操作優勢 C 是你擁有的單位數 如何計算 A，從你獲勝機會的百分比減去你失敗機會的百分比。因此，如果你預期在你的交易中有 55%可以獲利，你的操作優勢為 10%。 要計算 C，用１除以你每筆交易平均虧損佔總資金的百分比，也就是說，如果你每筆交易虧損控制在 4%，你就等於擁有 25 個單位。 「破產風險」（如下圖）指在既定的交易優勢中你將被判出局的機會。你擁有多少單位對結果有相當的影響，過度侵略性的交易──在每一筆交易押大注──可能帶給你一些豐厚的獲利，但它最終將帶給你破滅。 關於破產風險計算的一項重要警告是不太可能發生的，它假設你的盈虧是相等的，然而，這仍然可以是對於你技巧可行性不錯的估計。而贏家和輸家對計算破產風險的數學所專註的方向有相當程度的不同。 補充：最重要補充：如果能重倉是最大的成就如果能少下一點，規避風險，兩者兼之 更好？拉瑞用這個公式大賺過也大賠過，最後在WS的幫助下看到了它致命的缺陷。見《短線交易秘訣》一書p241－254，讀一下還是有意義的。有一個更精確的演算法，不過算式相對複雜，並需數學軟體的支持，軟體有多種，其中 Mathematica 5 ，網上有下載有破解（下面以此為例）。關於算式，以下是演示與詳解：假設過去我有50次交易，並假定未來一個時期，交易情況仍大致相仿，那麼，我就能以前50次來測算未來交易的最佳倉位策略，及理想狀態的最大收益率。1、為演示方便，先作一個設定：設定操作總是嚴格止損，且每次止損只損失賬戶餘額的一個固定比例x，而盈利的交易可以換算成它與止損比例的一個比值，即盈利可用1x、2x、10x之類來表示，2、又設過去50次交易中，30次虧損x ,15次盈利x，2次盈利5x，2次盈利8x，1次盈利15x，如果初始帳戶為1，那麼，以複利計算，50次交易的期末帳戶是：f[x] = (1-x)^30(1+x)^15(1+5x)^2(1+8x)^2(1+15x)^1 註：(1-x)^30即(1-x)相乘30次，表示共有30次虧損x，余類推3、調用求最大值函數 FindMaximum[]，具體來說，輸入：FindMaximum[f[x],{x,0,0.5}] 註：{x,0,0.5} 是為了給x一個範圍，如0到0.5軟體運算後輸出： {3.26631, {x -> 0.113104}}意思是當 x = 0.113104 時，f[x] 最大值為 3.26631也就是說，當保持單次虧損為11.3104％時，50次交易的期末帳戶為3.26631 ，收益率為266.31％4、還可以繪出直觀的曲線，觀察單次虧損額定值x與收益f[x]的關係，輸入並運算下式： Plot[Evaluate[f[x]],{x,0,0.5}]即輸出一條鐘形曲線，呵呵，一幅圖勝過一千句話……自己看吧再說幾句，其實我贊成一粒沙的話：「市場不是賭博，壓下去就等著開結果，而是個連續的過程。過程中概率和賠率就在不斷變化」因此，不論巴菲特公式，凱利公式，還是我前面的算式，都不具有精確指導交易的意義，不過略作參考也無妨比較而言，前面所述的算式，含義更豐富些，可能參考價值相對大些比如說，算式中的x，它不是直接代表投入資金的大小，而單次虧損的額定量，只要保證止損結果的虧損是x，具體持倉是多大，沒有限制。但x與倉位可以建立聯繫，一個簡單的方法是：根據x值及止損寬度，可以反推算出「虧得起」的倉位所謂「虧得起」的倉位，其實是開首倉的數量，一旦首倉盈利可觀，即可考慮加倉。本質上，首倉克制，只是為了控制不確定性帶來的風險，而加倉，才是真正「讓利潤飛跑」所以使用額定虧損x的概念，似乎比直接計算倉位或投入資金，更本質，更靈活巴菲特的公式是凱利公式中R=1(賠率為1)的簡化表示，本質是一樣的。市場不是賭博，壓下去就等著開結果，而是個連續的過程。過程中概率和賠率就在不斷變化。另外，概率和賠率是帶主觀性的，按傳統科學難以測量。凱利公式的一個推論是：尋找高勝率的機會，然後押大賭注，但是這個賭注不能超過所能承受的極限，因為投資中的概率都是主觀概率。 所以那種初始倉位固定一個百分比止損並不是一個很好的主意，可以根據主觀概率設定不同的級別。比如普通 3%止損，高勝率 5%，低勝率1%。 從資金管理看機械化交易系統的結構性風險 Z總資金 N(安全頭寸)=---------------------------------------------------------- B（保證金) + M(最大連續虧損次數）* P（最大單次止損額) 建立在古典概率基礎上的機械化交易系統的M(最大連續虧損次數）理論值為無窮大，因此N(安全頭寸)等於零。 舉例：一套65%的趨勢跟蹤系統，碰到盤局會有虧損。理論上的盤局可無限長，因此安全頭寸為零。長期運作 在市場上的交易者會碰到小概率事件，所以結局已經必然肯定了。 結論：採用古典概率的參數優化等方法的機械化交易系統不成立。多思了一下，還是覺得自由飛翔的分級別設置止損百分比沒有必要分級設置的本意是：更為精細的控制風險，同時不至於過分削弱倉位的盈利能力。但是否真能更加精細的控制風險，疑問很大理由主要是，針對具體交易對象的「主觀概率」，其實也不可靠，甚至不比從歷史交易得來的「一般概率」更可靠。即使偉大的作手，不也常有「主觀概率」定義錯誤，重倉導致重傷的嗎？根據大量統計得來的「一般概率」，其實已經內涵了過去在定義「主觀概率」時，可能發生的錯誤。也就是說，「一般概率」正是修正過去的「主觀概率」的結果。一個修正反而比它所要修正的東西更不可靠，這並非不可能，但如果這個修正是正確運用概率分析的結果，那它就是更有效的。所以，分級別設置止損百分比，是過度優化，實際是反優化。設置止損百分比的根本目的，是給出一個簡明、可靠的風險控制規則。規則的意義，除了它的內在有效性，還在於它是可被執行的，一條最大限度排除現場主觀判斷（主觀概率之類）的規則，具有最高的明確性，以及剛性，當你執行之時，你不必受到當時環境條件、心理狀態、技術狀態的影響，長期來看，你的失誤可能將被降到最低。規則就要簡明、剛性，不必過度細化、優化其實這就是風險百分比的倉位原則。可以看看《短線交易秘訣》。拉瑞在書里暗示是他發明了這個原則，並建立了新的公式拉瑞提出風險百分比是為改進凱利公式，因為這個公式先使他大勝，後又令他慘敗。凱利公式可能是引用交易成功率 P 來計劃倉位的最著名演算法，但公式的最致命處正是 P 並非永遠可靠，P 值的大出入會導致錯誤的大量持倉，引發大的虧損。可以想見，所有引用 P 的公式，都難免這樣的失誤。而風險百分比原則廢棄了主觀估量的 P ，轉而定量、剛性的規定一次交易允許暴露的風險，避免了採用 P 時風險暴露的意外失控，因此它更符合倉位控制的風險管理本質。可以說，如果不考慮操作上的技術性失誤，則風險百分比在理論上沒有意外風險，失敗交易的單次虧損全在計劃之內。說到它的靈活性，則有兩個含義。一，雖然它對風險的控制是定量、剛性的，但並未直接規定每次交易的倉位，它允許根據交易的實際情形來決定倉位（這一點《趨勢交易大師》里講得具體）。二，交易者保有一個權利，隨時可以根據當前持倉的盈利及趨勢情況，考慮擴大持倉。這是利潤的重要來源，特別對於追求較大級別趨勢交易者，更是如此。在執行層面說，額定的風險百分比最大意義是提供了一個簡明、剛性的規則，而這樣的規則相對容易執行。至於額定值具體多少才是最佳，無法精確計算。拉瑞建議在10％到18％之間，但他的操作可能都是一次性倉位，且是期市。我是主張步步加碼的，說的是股市，所以以為，新手1％-1.5％，中級2％，高手3％以上，反正差不多就行，關鍵還是執行規則，真正執行還可以參考一下《通向金融王國的自由之路》，書里包含了幾個頭寸方案的測試對比。幾個電子書網上都不覺得固定比率本身就很主觀嗎？為什麼是2%而不是1.8%或2.2%？？？哈哈。分級別設置並沒有重倉阿，最高級別也已經把足夠的風險考慮進去了。看看概率的一般性定義，投機中遇到的都是一次性事件（社會事件也如如此），所以不能用傳統概率定義來計算，只能是主觀概率，但主觀概率不等於看心情辦事，同樣可以一定的數量化。巴菲特和索羅斯都是善於下重注的人，但同時也是最善於躲避風險的人。這並不矛盾。其實很多概念都是混淆不清的，風險、概率等等莫不如此。
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