數學思維與數學思維能力的培養：

九、數學思維與數學思維能力的培養：

（一）數學思維概述

1、數學思維：指在數學活動中的思維，是人腦和數學對象（空間形式、數量關係、結構關係）交互作用並按照一定思維規律認識數學內容的內在理性活動。它既具有思維的一般性質，又有自己的特性。最主要的特性表現在其思維的材料和結果都是數學內容。

2、小學生數學思維發展的階段：

（1）直觀行動思維：這是以實際的操作行為依託的數學思維。

（2）具體形象思維：這是以事物的表象為依託的數學思維，它是一般形象思維的初級形態。

（3）抽象邏輯思維：這是脫離了直觀形象依靠概念、判斷和推理所進行的數學思維。

3、數學思維的特性：

（1）思維的概括性：是以客觀事物為依據，在原有經驗的基礎上，捨棄了具體事物的非本質特徵，提示數量關係和空間形式的本質特徵及其規律，並把它推廣到同類事物或現象之中。

數學概念的形成、數學公式、漢則的獲得都需要通過抽象概括，因此，概括水平的高低是衡量數學思維能力強弱的重要標誌之一。

（2）思維的問題性：主要表現為數學思維總是與數學的實際總是相聯繫，總是表現為不斷提出問題、分析問題直到解決問題。

（3）思維的邏輯性：是數學思維的核心。

4、數學思維的結構：

（1）數學思維的材料和結果：指的是數學思維的內容。

（2）數學思維的基本方法：又稱思維的操作手段

小學數學思維的基本方法有「觀察、實驗、比較、分類、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹、類比、聯想等。」

數學思維的基本形式：按思維活動的三種方式分類，主要指邏輯思維的基本形式------概念、判斷和推理；形象思維的基本形式-----表象、直感和想像；直覺思維的基本形式----直覺和靈感。

數學思維品質主要有深刻性、靈活性、敏捷性、批判性和獨創性等。

（二）數學思維的分類：

1、集中思維與發散思維：集中思維是朝著一個目標、遵循單一的模式，求出歸一答案的思維，又稱為求同思維；發散思維則表現在解決問題時，能根據已提供的條件，利用已有的知識經驗，從多個方向、不同途徑去探索思考，以尋求新的解決問題和途徑和方法，發散思維又稱為求異思維。

2、再造性思維與創造性思維：再造性思維是指原有的經驗和已經掌握的解題方法、策略，在燈似的情境中直接解決問題的思維方式。創造性思維是指在強烈的創新意識的指導下，指導頭腦中已有的信息重新加工，產生具有進步意義的新設想、新方法的思維。

（三）數學思維的一般方法：

1、觀察與實驗：

（1）觀察：是受思維影響的，有目的、有計劃地通過視覺器官去認識事物、狀態及上線關係的一種主動活動。觀察是思維的窗口。

（2）實驗：是有目的、有控制地創設一些有利觀察對象，並對其衽觀察和研究的活動方式。

實驗是有控制的觀察，實驗為觀察創設對象；又通過觀察獲得實驗的結果。

2、分析與綜合：

（1）分析：是把思維對象的整體分解在各個部分、方面或要素，並對它們分別加以研究、考察的一種思維方法。

（2）綜合：是把已有的關於研究對象的各個部分、方面或要素聯合成整體，從而進行整體認識的思維方法。

綜合是以分析為基礎的綜合，分析又是在綜合指導下的分析。

3、比較與分類：

（1）比較：是確定兩個或兩個以上的對象或同一個對象在不同時間條件下的相同與不同點的思維方法。比較是對事物進行分類、抽象、概括的基礎，分析與綜合又是基礎。

在教學中最好先比較相異點，然後比較相同點，而且先從相差懸殊的特點比起，再比較其細微的差別。

（2）分類：是以比較為基礎，按照一定的標準，把相同性質的事物歸為一類，不同性質的則歸入不同類別的思維方法。

分類的基本原則：每一次分類必須按一個標準；分類必須不重不漏。

4、抽象與概括：

（1）抽象：在認識事物中，抽取其共同的、本質屬性或特徵，捨棄其非本質屬性或特徵的思維方法。

小學數學學習中的抽象是有不同層次的，一種是從具體事物、具體現象中的抽象，稱為具體的抽象；另一種是在前者基礎上的較高層次的抽象，稱為原理性抽象。

（2）概括：在認識事物的過程中，將抽象出來的同類事物的共同屬性連結起來，並把它推廣到同一類事物上去的思維方法。

5、歸納與演繹：

（1）歸納：是從同類事物中的若干特殊事物所含有的同一性或相似性中，得出這類事物的一般屬性的思維方法。歸納有不完全歸完全歸納兩種。

不完全歸納：是根據某類事物中的部分對象具有（或不具有）某種屬性，推知該類事物的全部對象都具有（或不具有）這種屬性的思維方法。不完全歸納法又稱為簡單枚舉法。

完全歸納是依據同類事物的每個對象都具有（或不具有）某種屬性而推出該類事物的全體具有（或不具有）這種屬性的思維方法。

（2）演繹：是同類事物的一般屬性推出其中個別對象屬性的思維方法。基本方式是「三段論」。

6、類比和聯想：

（1）類比：是根據兩個對象之間存在著一些相同或相似的屬性，推測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。類比帶有或然性，其結論不一定可靠。

（2）聯想：是由當前的某一事物想到與其關聯的另一事物的思維方法。

（四）初步邏輯思維能力及其培養：

邏輯思維是數學思維的核心。邏輯思維是一種確定的、前後一貫的、有條有理的、有根有據的思維。

1、 概念明確：概念是反映客觀事物本質屬性的一種思維方式。

2、判斷準確：判斷是對某個事物的性質，現象作出肯定或否定的思維方式。數學判斷是對數量關係和空間形式有所肯定或否定的一咱方式。表達數學判斷的語句又稱數學命題。判斷是由主概念、謂概念和聯繫詞三部分組成。

3、推理符合邏輯：推理是由一個或幾個已知的判斷推出一個新判斷的形式。

推理分歸納推理、演繹推理和類比推理三種。

歸納推理（從特殊到一般）；演繹推理（從一般到特殊）；類比推理（從特殊到特殊）

4、培養初步邏輯思維能力的基本途徑：

（1）要挖掘教材中的智力因素，把培養思維能力貫穿於教學的全過程。

（2）要給學生提供足夠的材料。

（3）要順著學生的思維，重視學習過程。

（4）要重視數學語言的表述。

5、初步形象思維能力及其培養

（1）形象思維：是依託對形象材料的意會，從而對事物作出有關理解的思維。

（2）形象思維的基本形式是表象、直感和想像。

①表象：是在感知基礎上形成的感性認識的高級形式，它是人們過去感知的，但是現在並不直接感知到的那些保留有人腦中的事物的映象。表象有視覺表象、聽覺表象、運動表象及其他表象。

數學表象可分為兩種基本類型：圖形表象和圖式表象。圖形表象是與外部幾何圖形形狀一致的頭腦中的示意圖；圖式表象是與外部數學式子的結構關係相一致的模式形象。

②直感：是運用表象對具體形象的直接判別與感知。它是在數學表象的基礎上對有關數學形象的判別。

形象識別直感：它是數學表象這種整合的普通的特徵來比較具體數學對象是否與之同質，這種思維形式主要表現在對圖形、圖式在變式情況下的再認，或者在複合形狀下的分別辨認。

形象相似直感：當進行形象識別時，如果有頭腦中找不到同質的已有表象，便往往尋找接近於目標形象的已有表象來進行形象識別，比較異同，利用共相似處進行適當加工，從而解決問題。

③想像：是在頭腦中對已有表象經過結合與改造，產生新表象的思維過程。數學想像是數學表象與數學直感在人腦中有機聯結與組合，從而產生新的表象。

按內容可分為圖形想像與圖式想像：按深度可分為再造性想像與創造性想像。

培養初步形思維能力的基本途徑：積累表象；數形結合；重視想像。

7、初步直覺思維能力及其培養：

（1）直覺思維：是一種整體的、粗線條的、高度簡約的、跳躍式的思維。它依託於對事物的直接認識，從整體上把握對象，經過一段充分的準備，一下子接觸到問題的裨，找到答案。

錢學森語：直覺是一種人們沒有意識到的信息加工活動，是在潛意識中醞釀問題，然後與顯意識突然溝通，於是一下子得到了問題的答案，而對加工的具體過程，我們沒有意識。

（2）直覺思維的基本形式：

①直覺：是在原有知識和經驗的基礎上，通過觀察、聯想、猜測等，對出現在人們面前的新事物、新形象的一種直接的、極為敏銳的判斷和對其內在本質的理解，這種思維方式往往不受邏輯規則的約束。

直覺具有經驗性、跳躍性和或然性。

②靈感：又稱為頓悟，是人們對長期探索的未能解決的問題的突然領悟的思維方式。

靈感的特徵：突發性、模糊性和非邏輯性。

波利亞語：好念頭的出現，每人都會體驗過，但只能心領神會，而難於言傳。

（3）培養初步直覺思維的若干建議：重視知識「組塊」的積累；鼓勵合理猜想；敢於創新。

8、數學思維品質及其培養：

（1）數學思維品質：是學生數學思維發展中的個性差異，又稱為數學思維的智力品質，它是數學思維發展水平的重要標誌。

（2）數學思維品質主要包括數學思維的深刻性、靈活性、敏捷性、批判性和獨創性。

思維的深刻性：主要指能從數學的感性材料出發，通過邏輯思維， 揭示數學與形的本質特徵，確定它們的內在聯繫和規律，並預通情達理感事物的發展進行進程。思維的深刻性是思維品質的基礎。

思維的靈活性：是指善於從不同的角度、不同的方面進行分析思考，善於根據條件的變化轉換角度，做到思維起點活，思維過程活動，有較強的遷移能力。

思維的敏捷性：指思維活動的速度。它表現在解決問題時思考敏捷，接觸裨快，能縮短中間環節，簡化思考過程。

思維的批判性：指在數學思維活動中，能嚴格估計思維材料和精細檢查思維過程，能隨時對思維過程進行監控和調節的品質。

思維的獨創性：指在面對從未見的新問題時，能採取相應的對策，並能給予獨特、新穎的解決，它是數學思維發展的高級表現。