五年級數學下冊知識要點

五年級數學下冊知識要點

第一單元 觀察物體（三）

一、根據從不同角度看到的形狀還原立體圖形的方法：根據從三個不同方向看到的形狀還原立體圖形，先從一個方向看到的形狀分析，推測可能出現的各種情況；再結合從其他兩個方向看到的形狀綜合分析；最後確定立體圖形。

二、（請注意！）僅憑從一個角度看到的立體圖形的形狀，不能確定這個立體圖形的唯一形狀，更無法確定組成這個立體圖形的小正方體的個數。

三、觀察圖形最多只能看到3個面（正面、上面、左或右面），至少可看1個面。

第二單元 因數與倍數

一、因數和倍數

因數、倍數的意義

1、在整數除法中，如果商是整數而沒有餘數，那麼被除數就是除數和商的倍數，除數和商是被除數的因數。

2、字母表示：如果a÷b＝c（a，b，c是非0自然數），那麼b、c是a的因數，a就是b、c的倍數。

找一個數的因數

1、找一個數的因數的方法

①列除法算式找。用此數分別除以大於等於1且小於等於它本身的所有整數，所得的商是整數且無餘數，這些除數和商就是這個數的因數。

②列乘法算式找。把這個數寫成兩個整數相乘的形式，算式中的每個整數都是這個數的因數。

2、表示一個數的因數的方法：①列舉法；②集合法。

3、一個數的因數的特徵：一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。

找一個數的倍數

1、找一個數的倍數的方法

①列除法算式找，看到哪些非0自然數除以這個數商是整數且沒有餘數，這個數都是這個數的倍數。

②列乘法算式找，用這個數依次與非0自然數相乘，所得的積就是這個數的倍數。

2、一個數的倍數的表示方法：①列舉法；②集合法。

3、一個數的倍數的特徵：一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。

4、（請注意）不要認為一個較大數的因數的個數就比一個較小數的倍數的個數多。一個數的因數的個數都是有限的，而一個數的倍數的個數卻是無限的。1是所以非0自然數的因數。

5、（請注意）在一定的範圍內找一個數的倍數時，這個數的倍數的個數就是有限的，在表示時不用加省略號。

二、2、5、3的倍數的特徵

2、5的倍數的特徵新 課 標第

1、個位上是0或5的數都是5的倍數。

2、個位上是0，2，4，6，8的數都是2的倍數。

3、在整數中，是2的倍數的數叫做偶數，0也是偶數；不是2的倍數的數叫做奇數。

3的倍數的特徵

1、一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

（請注意）同時是2、5、3的倍數的特徵：個位上是0且各位上的數的和是3的倍數。是9的倍數一定是3的倍數，而是3 的倍數不一定是9的倍數。

三、質數和合數

質數和合數新 課 標第 一 網

1、一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。

2、一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。

3、1既不是質數，也不是合數。最小的質數是2，最小的合數是4。

（請注意）質數中只有2是偶數，2是唯一的偶質數。除2外，其他質數都是奇數；但奇數不完全是質數。例如：9雖然是奇數，但它不是質數。

（請注意）偶數和合數之間有一定的聯繫：除2外，所有的偶數都是合數；但合數不完全是偶數。例如：45雖然是合數，但它不是偶數。

100以內的25個質數是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

奇數和偶數的運算性質

1、和差的奇偶性：奇數±奇數＝偶數；奇數±偶數＝奇數（大數減小數）；偶數±偶數＝偶數。

2、積的奇偶性：奇數×奇數＝奇數；奇數×偶數＝偶數；偶數×偶數＝偶數。

第三單元 長方體和正方體

一、長方體和正方體的認識

1、長方體的特徵：長方體是由6個長方形（特殊情況下有2個相對的面是正方形）圍成的立體圖形；一個長方形有6個面、8個定點和12條棱；相對的面完全相同，相對的棱長長度相等。w W w .x K b 1.co M

2、長方體長、寬、高的含義：相交於同一定點的三條棱長的長度分別叫做長方體的長、寬、高。長方體的12條棱中有4條長、4條寬、4條高。

3、正方體的特徵：正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形。正方體有6個面、12條棱和8個頂點，6個面完全相同，12條棱的長度都相等。

4、長方體和正方體的關係（正方體是特殊的長方體）

從面、棱、頂點三方面比較長方體和正方體的異同

二、長方體和正方體的表面積X K b 1.C om

1、長方體和正方體表面積的意義：長方體或正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。

2、長方體表面積的計算公式：

①長方體的表面積＝長×寬×2＋長×高×2＋寬×高×2

②長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2

3、長方體表面積的字母公式：

①S＝2ab＋2ah＋2bh ②S＝（ab＋ah＋bh）×2

（注意：S表示長方體的表面積，a、b、h分別表示長方體的長、寬、高）

4、正方體表面積的計算公式：正方體的表面積＝棱長×棱長×6

5、正方體表面積的字母公式：S＝6a²

（注意：S表示正方體的表面積，a表示正方體的棱長）

三、長方體和正方體的體積

體積和體積單位（1）http://w w w. xkb1. com

1、體積的意義：物體所佔空間的大小叫做物體的體積。

2、體積單位：常用的體積單位有立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）。

3、長方體的體積計算公式：長方體的體積＝長×寬×高。

字母公式：V＝a×b×h。

（注意：V表示長方體的體積，a表示長方體的長，b表示長方體的寬，h表示長方體的高）

4、正方體的體積計算公式：正方體的體積＝棱長×棱長×棱長。

字母公式：V＝a³。

體積和體積單位（2）

1、長方體和正方體體積計算公式的應用：

已知長方體的長、寬、高，可以直接利用長方體的體積公式計算出長方體的體積；已知正方體的棱長，可以直接利用正方體的體積公式計算出正方體的體積。

2、長方體、正方體統一的體積計算公式

長方體（或正方體）的體積＝底面積×高。（體積通用公式）

字母公式：V＝Sh。

（注意：V表示體積，S表示底面積，h表示高）

3、長方體和正方體統一的體積計算公式的應用：

根據公式V＝Sh，可推導出S＝V÷h，h＝V÷S，已知這三個量中的任意兩個量，都可以求出第三個量。

（請注意）長方體的表面積－底面積×2＝4個側面的面積和。

4個側面的面積和＝底面周長×高

體積單位間的進率

1、m³和dm³、dm³和cm³分別是相鄰的體積單位，進率都是1000，即1m³＝1000dm³，1dm³＝1000cm³。

長度單位、面積單位、體積單位的不同

2、體積單位之間互化的方法：①由低級單位轉化成高級單位，如果進率是10、100、1000……用低級單位的數除以進率，或把低級單位的數的小數點向左移動一位、兩位、三位……②由高級單位轉化成低級單位，如果進率是10、100、1000……用高級單位的數乘進率，或把高級單位的數的小數點向右移動一位、兩位、三位……

（請注意）只有相鄰的兩個體積單位之間的幾率才是1000，判斷和互化時首先要看這兩個單位是不是相鄰的。新 課 標第 一 網

容積和容積單位

1、容積的意義：容器所能容納物體的體積、通常叫做它們的容積。

2、容積的單位：升和毫升，分別用字母L和mL表示。

3、1L＝1000mL 1L＝1dm³ 1mL＝1cm³

4、長方體或正方體容器容積的計算方法與體積的計算方法相同，但要從容器的裡面測量長、寬、高。

（請注意）容積和體積的聯繫：①容積的大小可以通過容器所能容納的物體的體積顯示出來；②容積的計算方法與體積的計算方法相同。h③③ttp://w w w. xkb1. com

（請注意）容積和體積的區別：①意義不同；②計算時，測量數據的方法不同；③有容積的物體一定有體積，但有體積的物體不一定有容積。③高有時候也叫：長（放倒時）、深（往下時）、厚（鋪墊時）。

（請注意）物體的容積並不是物體的體積，體積是指物體自身所佔空間的大小，容積是指物體所能容納的物體的體積。

求不規則物體的體積

1、求形狀不規則的物體的體積可以用排水法，上升的那部分水的體積就是形狀不規則的物體的體積。

（請注意）用排水法求形狀不規則的物體的體積時，將物體放入水中後，明確水上升的高度才是解題關鍵。

第四單元 分數的意義和性質

一、分數的意義

分數的產生和意義

1、在測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數的結果，這時常用分數來表示。

2、單位「1」的含義：一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體，這個整體可以用自然數1來表示，我們通常把它叫做單位「1」，也叫做整體「1」。

3、分數的含義：把單位「1」平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。分數的形式可以用

（m、n為自然數，且m≠0）表示。

4、分數單位的意義：把單位「1」平均分成若干份，表示其中一份的數叫分數的單位。

5、分數單位及其個數：一個分數的分母是幾，它的分數單位就是幾分之一；分子是幾，就是幾個這樣的分數單位。

（知識巧記）單位「1」，很重要，「平均分」，莫小瞧。若干份，當分母，取份數，為分子。計數單位好理解，幾分之一記得牢。單位個數是分子，千萬不要弄混淆。

（請注意）不是所有分數的分數單位都不相同，分母不同的分數，分數單位是不同的；分母相同的分數，分數單位是相同的。

二、分數與除法

1、分數與除法的關係：兩個整數相除，可以用分數表示商，即a÷b＝

（b≠0），反之，分數也可以看作兩個數相除，分數的分子相當於被除數，分母相當於除數，分數線相當於除號，分數值相當於商。

2、求一個數是另一個數（0除外）的幾分之幾的問題的解題方法：

一個數÷另一個數＝

，即比較量÷標準量＝

。

（請注意）分數和除法既有聯繫，又有區別，二者之間不能用相等或相同等詞語來表述。

三、真分數和假分數

1、真分數的意義和特徵

真分數的意義：分子比分母小的分數叫做真分數。

真分數的特徵：真分數小於1。

2、假分數、帶分數的意義和特徵

假分數的意義與特徵：分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數。假分數大於或等於1。

帶分數的意義與特徵：由整數（不包括0）和真分數合成的數叫做帶分數。帶分數大於1。

3、把假分數化成數或帶分數的方法：用分子除以分母。當分子是分母的整數倍時，能化成整數，商就是這個整數；當分子不是分母的整數倍時，能化成帶分數，商是帶分數的整數部分，餘數是真分數部分的分子，分母不變。

4、直線上的點表示分數的方法：用直線上的點表示分數，先確定分數在哪個區間，再確定分點。

（請注意）假分數化成整數時，商就是這個整數，沒有分母；化成帶分數時，分子除以分母的商是帶分數的整數部分，分母不變。

四、分數的基本性質

1、分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變，這叫做分數的基本性質。

2、分數的基本性質的應用：利用分數的基本性質可以把分母不同的分數化成分母

相同的分數，還可以把一個分數成指定分母的分數。

（請注意）在敘述分數的基本性質時，不能忘記限定的條件，即同時乘或者除以的數不能為0。

（請注意）在運用分數的基本性質解題時，必須保證分數的大小不變，即分子和分母同時乘或除以同一個不為0的數。

五、約分

1、公因數和最大公因數的意義：幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個叫做這幾個數的最大公因數。

2、求兩個數最大公因數的方法：

①列舉法：先分別找出兩個數的因數，從中找出公因數，再找出最大的一個。

②篩選法：先找出兩個數中較小數的因數，從中圈出叫大數的因數，再看哪一個因數最大。

③分解質因數法：先將這兩個數分別分解質因數，再從分解的質因數中找出這兩個數公有的質因數，公有的質因數相乘所得的積就是這兩個數的最大公因數。

④短除法：把兩個數公有的質因數從小到大依次作為除數，連續去除這兩個數，直到得出的兩個商只有公因數1為止，再把所有的除數相乘，所得的積就是這兩個數的最大公因數。

3、求兩個數最大公因數的特殊情況：

①當兩個數成倍數關係時，較小數就是這兩個數的最大公因數。

②公因數只有1的兩個數的最大公因數是1。

4、互質數的意義和判斷方法：公因數只有1的兩個數叫做互質數。

六、約分w W w .X kb 1. c O m

1、約分的意義和方法：

①把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。

②約分的基本方法有兩種：（第一種方法）逐步約分法：用分數和分母公有的質因數逐步去除分子和分母，直到得出一個最簡分數。（第二種方法）一次約分法：用分數的分子和分母的最大公因數去除分子和分母，就得到最簡分數。約分的依據是分數的基本性質。

③分子和分母只有公因數1的分數叫做最簡分數。

2、分解質因數：

①合數都可以寫成幾個質數相乘的形式來表示。把一個合數用質數相乘形式表示出來叫分解質因數。

②分解質因數有兩種方法：

a、乘法口訣分枝法。b、短除法

如： 24 ( 除數) 2 2 4（被除數）

4 × 6 2 12

2×2×2×3 2 6

3（商）

除數從最小的質數開始，到商也是質數為止。

七、通分

1、公倍數和最小公倍數的意義：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個叫做這幾個數的最小公倍數。

2、求兩個數的最小公倍數的方法：

①列舉法：分別寫出兩個數各自的倍數，再從中找出公倍數和最小公倍數。

②篩選法：先寫出兩個數中較大的倍數，然後從這組數中按從小到大的順序圈出較小的倍數，第一個圈出的數就是它們的最小公倍數。

3、求兩個的最小公倍數的特殊情況：（不要計算，直接寫出答案）

①如果兩個數中較大數是較小的倍數，那麼較大數就是這兩個數的最小公倍數。

②如果兩個數是互質數，那麼這兩個數的積就是它們的最小公倍數。

（請注意）兩個數的公倍數不一定比這兩個數都大，兩個數的公因數也不一定比這兩個數都小。

4、求兩個數最小公倍數的實際應用：用求公倍數的方法解決實際問題時，明確求哪幾個數的公倍數是解題的關鍵。

用除法式求最大公因數和最小公倍數

如：60和24

2 6024

2 30 12

3 15 6

5 2

60和24最大公因數是2×2×3=12

60和24最小公倍數是2×2×3×5×2=120

（請注意！）：用除法式求最大公因數和最小公倍數用質數去除，除到幾個數的商是互質數為止（只有公因數1），把除數的質數相乘的積就是這幾個數的最大公因數（乘半邊）。把除數的質數和商質數相乘的積就是這幾個數的最小公倍數（乘半圈）。

5、分母相同及分子相同的分數大小比較的方法：

①分母相同的兩個分數大小比較的方法：分母相同，分子不同的兩個分數，分子大的分數大。

②分子相同的兩個分數大小比較的方法：分子相同，分母不同的兩個分數，分母小的分數大。

③分子、分母都不同的分數，先通分再比較分數的大小。

6、通分的意義和方法

①公分母：把異分母分數化成同分母分數，這個相同的分母叫做它們的公分母，其中最小的一個叫做最小公分母。

②通分的意義：把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。

③通分的方法：通分時用原分母的公倍數作公分母（為了計算簡便，通常選用最小公倍數作公分母），然後把每個分數都化成用這個公倍數作分母的分數。

（請注意）通分時，並不是只能選擇分母的最小公倍數作公分母，只要是分母的公倍數就可以，但是選擇最小公倍數分母計算起來會比較簡便。

7、小數化成分數的方法：根據小數的意義，有限小數可以直接寫成分母是10，100，1000……的分數。原來是幾位小數，就在1後面寫幾個0作分母，把原來的小數點去掉作分子，能約分的要約分。

8、分數化成小數的方法：

①分母是10，100，1000……的分數化成小數，可以直接去掉分母，看1後面有幾個0，就在分子中從最後一位起向左數出幾位，點上小數點。

②分母不是10，100，1000……的分數化成小數，用分子除以分母，除不盡時，如果不作特殊要求，一般按「四捨五入」法保留兩位小數。

（請注意）把帶分數化成小數，方法與上面相同，帶分數的整數部分作為小數的整數部分，分數部分化成小數，作為小數的小數部分。例如1

＝1＋0.5＝1.5，2

＝2.1。

9、判斷一個最簡分數能否化成有限小數的方法：一個最簡分數，如果分母中只含有質因數2或5，這個分數就能化成有限小數；如果分母中除了含有質因數2或5以外，還含有其他的質因數，這個最簡分數就不能化成有限小數。

（請注意）判斷一個分數能不能化成有限小數，先看這個分數是不是最簡分數，再看它的分母中含有哪些質因數。

（請注意）在把帶小數化成分數時，不要丟掉整數部分；把帶分數化成小數時，也不要丟掉整數部分。

第五單元 圖形的運動（三）

一、旋轉

1、圖形旋轉的特徵：圖形旋轉後，形狀、大小都沒有發生變化，只是位置發生了變化。

2、圖形旋轉的性質：圖形繞某一點旋轉一定的度數，圖形中對應點、對應線段都旋轉相同的度數，對應點到旋轉點的距離相等，對應線段、對應角都分別相等。

3、在方格紙上畫簡單圖形旋轉90°後的圖形的方法：

①找出原圖形的幾個關鍵點所在的位置；②根據對應點旋轉90°對應線段長度不變來找出關鍵點旋轉後的對應點；③順次連接所畫出的對應點，就能得到旋轉後的圖形。

（知識巧記）圖形旋轉位置變，形狀、大小如從前，對應點、線隨圖轉，對應角度永不變。

圖形旋轉方向的辨別：順時針（向右往下轉），逆時鐘 （向左往下轉）

二、平移和旋轉在拼圖中的應用

（請注意）在對圖形變換進行分析時，不要認為一個圖形只能通過一種變換方式得到，一個圖形可以通過一種或兩種甚至三種變換方式得到。

圖形運動的3種方式是：軸對稱、平移、旋轉。

第六單元 分數的加法和減法

一、同分母分數加、減法http://w w w. xkb1. com

1、同分母分數連加，可以按照整數連加的計算順序從左到右計算，也可以直接把每個加數的分子連加起來作分子，分母不變。

2、同分母分數連減，可以按照整數連減的計算順序從左到右計算，也可以直接把被減數的分子連續減去減數的分子作分子，分母不變。

3、在計算過程中，「1」可以化成任意一個在計算中需要的分子和分母相同的分數，最後結果要化成最簡分數。

（知識巧記）分數相加減，過程很簡單。分母如相同，只把分子看。

分子相加減，分母不用變。如果連加減，按照順序算。

二、異分母分數加、減法

1、異分母分數相加、減，先通分，然後按照同分母分數加、減法的計演算法則進行計算。

2、運用拆分法解決複雜的分數加法問題：如果一個分數是由相鄰的自然數的積作分母，1作分子，形如

（a為不等於0的自然數），那麼可以把這個分數拆分成

－

，

即

＝

－

。

三、分數加減混合運算

1、分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的運算順序相同。沒有括弧的，按照從左到右的順序進行計算；有括弧的，先算括弧裡面的，再算括弧外面的。

2、計算沒有括弧的異分母分數的混合運算時，可以分步通過進行計算；也可以將幾個分數一次性通分進行計算。

3、整數加法的運算定律對分數加法同樣適用。 k B 1 .c o m

4、（簡單的分數問題）解決此題的關鍵是抓住純牛奶的總量不會改變這一特點進行分析推理，明確每次喝純牛奶的數量和加水的數量，從而解決問題。

第七單元 折線統計圖

一、單式折線統計圖

1、折線統計圖的特點：既可以反映出數量的多少，又能表示出數量的增減變化。

2、繪製折線統計圖的方法：①畫出橫軸和縱軸（補畫統計圖時此步驟已給出）；②確定一個單位長度表示數量多少（補畫統計圖時此步驟已給出）；③描點，描點時應注意先找准橫軸上的點，再找准縱軸上相對應的點，過兩點分別做橫軸、縱軸的垂線，兩條垂線的交點就是所要描的點，在交點處點上實心點；④用線段順次連接所有點，並標註數據；⑤標註好日期和標題。（日期也可不標註）

3、折線統計圖的應用：可以根據折線統計圖發現問題、解決問題，並進行合理地推測。

（知識巧記）統計圖，類型多，條形、折線一一說。

條形數量好比較，折線增減更明了。

繪製折線較簡單，描點連線來解決。

完成繪圖細分析，解決問題更容易。

二、複式折線統計圖X k B 1. c o m

1、複式折線統計圖：如果在統計過程中存在兩組（或多組）數據，且需要在一幅統計圖中表示這兩組（或多組）數據，就要用兩種（或多種）不同顏色（或不同形式）的折線來表示不同數量的變化情況，這種統計圖就是複式折線統計圖。

2、複式折線統計圖的特點：複式折線統計圖不但能表示出各組數據的多少，數據的增減變化的情況，而且可以比較各組數據的變化趨勢。

3、複式折線統計圖的繪製方法：與單式折線統計圖的繪製方法基本相同，只是用不同的折線表示表示不同的量，需標明圖例。

4、運用橫向、縱向、綜合、對比等不同的觀察方法，可以讀懂複式折線統計圖，從中獲取更多的信息，並能根據信息回答或提出相應的問題，同時進行簡單地分析和合理地推測。

第八單元 數學廣角——找次品

1、解決問題策略的多樣性：從解題的稱量過程中可以知道，在3瓶鈣片中找出1瓶次品，至少需要稱1次就能保證找出次品。

2、運用優化策略解決問題：在找次品時，把物體分成3份，每份數量盡量平均時，不能平均分，多的與少的只能相差1，可以保證找出次品的稱量次數最少。