廣義相對論誕生前夜——純粹理性的巔峰之作
摘要
廣義相對論是人類思想史上的傑作，是純粹理性思維的勝利。它是現代宇宙學的基礎，與狹義相對論一起構成了現代物理學的基石之一。通往廣義相對論之路展現了物理學史上一幅最激動人心最恢弘壯闊的圖景。本文介紹了愛因斯坦建立廣義相對論的偉大貢獻，回顧了廣義相對論誕生的歷程，探討了廣義相對論對現代物理學的影響，同時也扼要介紹了廣義相對論的基本理論。
關鍵詞
廣義相對論；愛因斯坦；彎曲時空；科學史
1 引言
去年是廣義相對論創建100周年，也是狹義相對論誕生110周年。廣義相對論是愛因斯坦繼狹義相對論後，對物理學作出的又一巨大貢獻，也是他一生科學成就的巔峰[1]。
1915年11月25日，36歲的愛因斯坦在普魯士科學院報告了「基於廣義相對論對水星近日點運動的解釋」[2]，而後在1916年第7期的物理年鑒上發表了「廣義相對論基礎」[3]一文，對廣義相對論作了系統的闡釋，這標誌著廣義相對論的誕生。廣義相對論以其深刻的物理思想、抽象的數學工具以及精確的實驗驗證，成為物理學史上具有劃時代意義的傑作。
廣義相對論是一個關於時間、空間和引力的理論，它指出萬有引力不同於一般的力，而是時空彎曲的幾何效應。愛因斯坦最早提出等效原理，並猜測萬有引力的幾何起源，他又引入了不為當時物理學家所熟悉的黎曼幾何作為自己理論的數學工具，並最終給出了廣義相對論的基本方程——場方程，從而構建起廣義相對論的理論大廈。愛因斯坦被稱為20世紀最偉大的科學家，他以及他所建立的廣義相對論深刻影響著物理學乃至數學的發展[4,5]，更是科學史上觀念性的重大變革[6]。廣義相對論是愛因斯坦歷經十年獨立思考後的純粹理性之巔峰之作，一個偉大的理論僅由一個人創建起來，這在科學史上是少見的，愛因斯坦也因此備受讚譽。
本文介紹了愛因斯坦創建廣義相對論的過程，以及在這一過程中愛因斯坦經歷的多次物理思想上的飛躍，從中我們可以了解一般科學研究的方法，這對現實的科學研究具有重要意義。我們還在文中展現了廣義相對論的基本理論，同時簡要探討了廣義相對論對現代物理學的影響。
2 廣義相對論的誕生
2.1 狹義相對論的困難
狹義相對論發表之後，受到了學術界的讚揚，但是也有一些反對的意見，不過愛因斯坦很清楚這些反對的人是因為沒有理解相對論。可是很快，愛因斯坦便認識到自己的狹義相對論確實存在問題，而且是很嚴重的問題，但並非是反對者所謂的問題[7,9,10,11]。他的理論面臨著兩個嚴重的困難：一個是「慣性系無法定義」；另一個是「萬有引力定律不能寫成洛倫茲協變的形式」[7]。
狹義相對論是建立在慣性系的基礎上的，然而現在慣性系卻無法定義了，這是一個嚴重的問題。在牛頓理論中，慣性系被定義為相對於絕對空間靜止或作勻速直線運動的參考系，但是狹義相對論拋棄了絕對空間，因此上述定義不再有效。愛因斯坦曾嘗試利用牛頓第一定律來重新定義慣性系，即一個不受外力的物體在其中保持靜止或勻速直線運動狀態的參考係為慣性系，但是「不受外力」意味著一個物體能在慣性系中保持靜止或勻速直線運動的狀態。很明顯這種定義造成了邏輯上的循環。可見，慣性系的定義問題是狹義相對論的一個基本困難。
狹義相對論的第二個困難是萬有引力不能納入相對論的框架。當時只知道兩種力，一種是電磁力，另一種便是萬有引力，狹義相對論把電磁定律寫成了洛倫茲協變的形式，即四維時空的張量方程，但是愛因斯坦做了許多嘗試，都不能將萬有引力寫成洛倫茲協變的形式。已知的兩種基本作用力中有一個就和相對論不相容，這顯然是嚴重的問題。
2.2 廣義相對性原理
在重新定義慣性系的多次努力失敗後，愛因斯坦產生了思想上的突破：既然慣性系無法定義，不如取消它在相對論中的特殊地位。在物理學中，定義慣性系是為了體現相對性原理，但是愛因斯坦認為慣性系不是最重要的，重要的是表述物理規律普遍性的相對性原理[8]。於是，他將相對性原理推廣到任意參考系，成為廣義相對性原理：一切參考系都是平權的，物理定律在任何坐標系下形式都不變，即具有廣義協變性[7]。
做這樣的推廣雖然避開了定義慣性系的困難，但卻遇到了新的問題，即如何處理慣性力，慣性力在慣性系中是沒有的，但是在非慣性系中卻是普遍存在的，慣性力也與普通的力不同，它不起源於物質間的相互作用，因而沒有反作用力，同時它還與物質的質量成正比。慣性力的後一個特點使人想到萬有引力，引力也是與物體的質量成正比的，這種相似性以及下面將要介紹的馬赫原理，促使愛因斯坦猜想慣性力與引力有著相同或相近的本質，因而提出了等效原理。
2.3 慣性力的起源與馬赫原理
慣性力不起源於物質之間的相互作用，那起源於什麼呢？ 這使得愛因斯坦想到了牛頓的水桶實驗。在這一理想實驗中，牛頓論證了絕對空間的存在，同時還論證了慣性力起源於物體相對於絕對空間的加速。牛頓認為，所有的勻速直線運動都是相對的，我們不可能通過速度來感知絕對空間的存在。但是，牛頓斷言，轉動是絕對的，或者說加速運動是絕對的。
通過水桶實驗，牛頓指出慣性離心力產生於水對絕對空間的轉動。牛頓認為，轉動是絕對的，只有相對於絕對空間的轉動才是真轉動，才會產生慣性離心力。推而廣之，加速運動是絕對的，只有相對於絕對空間的加速才是真加速，才會受到慣性力。牛頓以此論證了絕對空間的存在[7]。
奧地利物理學家馬赫堅持運動的相對性，他反對絕對空間的存在，並對水桶實驗給出了自己的闡釋。他認為慣性力起源於物體間的相對加速，起源於做相對加速運動的物體間的相互作用。他指出，加速物體受到慣性力，是由於它相對全宇宙所有物質加速，這相當於全宇宙的物質相對它做反向加速，從而對該物體施加一個作用。愛因斯坦贊同馬赫的觀點，認為不存在絕對空間，所有的運動都是相對的，慣性力起源於受力物體相對於全宇宙物質的加速，起源於物質間的相互作用，這一思想後來被愛因斯坦總結為馬赫原理。
馬赫原理使愛因斯坦意識到慣性力和萬有引力類似，都起源於物質間的相互作用，這促使他猜想慣性力和引力可能有著相同或相近的物理根源，二者可能存在著深刻的內在聯繫[7,10,12]。
2.4 引力質量與慣性質量
愛因斯坦注意到引力和慣性力還有一點相似，就是二者都與質量成正比。在牛頓力學中，質量有兩種定義，一種是用引力效應定義的，另一種是用慣性效應定義的。牛頓認為質量是物質的量，它反映物體產生和接受引力的能力，這樣定義的質量稱為引力質量
愛因斯坦注意到，實驗表明引力質量和慣性質量精確相等，這意味著慣性力和萬有引力可能正如馬赫原理所指出的那樣，是有著相似的物理根源的。最終，愛因斯坦認識到，狹義相對論所面臨的兩個困難很可能是同一個困難，應該放在一起解決。
2.5 等效原理
愛因斯坦在反覆思考引力質量和慣性質量相等，以及萬有引力和慣性力的相似後，再一次產生了思想上的飛躍，這便是愛因斯坦關於升降機的思想實驗。這一思想實驗把他引向了等效原理，進而引向了廣義相對論的構思。愛因斯坦的等效原理認為，引力場和慣性場局域等效，或者說在無窮小的時空範圍內，引力和慣性力是不可區分的。
應當指出，等效原理是一個局域性的原理。引力場和慣性場的等效只在無窮小的時空範圍內成立。等效原理可以分為弱等效原理和強等效原理[1]：
弱等效原理：無法用任何力學實驗在無窮小時空範圍內區分引力場和慣性場。
強等效原理：無法用任何物理實驗在無窮小時空範圍內區分引力場和慣性場。
需要說明的是，作為廣義相對論基礎的強等效原理，而不只是弱等效原理[7]。弱等效原理等價於「引力質量和慣性質量相等」，二者可以相互推出，
等效原理告訴我們，引力場中一個自由下落的、無自轉的、無窮小參考系可以看作慣性系，這在理論上是可以實現的，於是我們看到了明確定義的、在理論上存在的嚴格慣性系。
2.6 引力是時空的彎曲效應
等效原理意味著引力效應和慣性效應存在著本質聯繫，進一步講，當只有引力場或慣性場存在時，任何質點，不論質量大小，都將在時空中描繪出同樣的曲線，自由落體實驗已經表明了這一點[8]。這就是說，物體在純引力和慣性力作用下運動，和它的質量和成分無關。愛因斯坦意識到萬有引力不是一般的力，當他反覆思考這個問題時，他再一次做出了物理思想上的飛躍，他猜測引力可能是一種幾何效應，幾何效應是與物體的質量、成分無關的，這是一個非常大膽的猜想[12,16-20]。
由此，愛因斯坦認識到萬有引力是時空彎曲的表現，由於引力起源於質量，他認為時空彎曲可能起源於物質的存在和運動。這種猜測和黎曼等數學家曾得出的推測是一致的：真實的空間可能不是平坦的，而是彎曲的，而且真實的空間可能不是三維的，而是四維的，或者是更高維的。
物理學家福克曾說「偉大的以及不僅是偉大的發現都不是按照邏輯的法則得來的，而是由猜測得來，換句話說，大都是憑著創造性的直覺得來的。」邏輯推理推出的只會是已有結論的另一種表現形式，而所有真正的科學發現都是猜出來的，然後用實驗去驗證[15]。
2.7 黎曼幾何
愛因斯坦開始思考如何把時空幾何和物質運動聯繫起來，但是困於數學工具的尋找，於是，他求助於他的老友，也是他的大學同學格羅斯曼。那時格羅斯曼已經是蘇黎世工業大學的數學教授，應愛因斯坦之求，格羅斯曼放下手中的工作，開始幫助愛因斯坦。在查閱了一批文獻後，得知當時一些義大利數學家正在研究和發展黎曼幾何和張量分析，這或許對愛因斯坦有用，他建議並幫助愛因斯坦鑽研黎曼幾何的相關知識。
2.8 走向廣義相對論
愛因斯坦推測物質的存在會造成四維時空的彎曲，萬有引力正是時空彎曲的表現，由於萬有引力只是時空彎曲的幾何效應，所以不應把引力看作是真正的力。在純引力作用下運動的質點都應看作是不受外力作用的自由質點，即質點做慣性運動，應沿著時空中的「直線」行進。彎曲空間中的「直線」即所謂的短程線或測地線，因此，彎曲時空中，自由質點應沿測地線運動。
愛因斯坦認為建立新理論的關鍵是尋找兩個方程，一個是物質如何決定時空彎曲的方程，稱其場方程，另一個是描述不受外力的自由質點在彎曲時空中做慣性運動的方程，稱其為運動方程。愛因斯坦在格羅斯曼的幫助下很快掌握了黎曼幾何，並投入到尋找場方程的努力中，這一嘗試耗費了愛因斯坦很長的時間和精力，他設想方程的一端為描述時空幾何的項，而另一端是描述物質存在狀態的項，曲率項的猜想並不容易，愛因斯坦嘗試了很久，但是一直沒能得到場方程的正確形式。愛因斯坦到德國後，又與希爾伯特探討，希爾伯特不愧是一位數學大師，愛因斯坦和他作了短時間的討論，幾個月後愛因斯坦就給出了場方程的正確形式，從而建立起廣義相對論。
3 廣義相對論的基本理論
3.1 牛頓引力
根據牛頓引力理論，質量為
式中
式中
3.2 彎曲時空
對於彎曲時空，我們首先介紹黎曼幾何的相關知識。在仿射聯絡空間中引入度量，稱此時的仿射空間為黎曼空間。考慮無撓黎曼空間，空間中相鄰兩點間的距離
其中
四維時空中，空間是三維的，時間是一維的。時間坐標對應的度規分量和空間坐標對應的度規分量的符號相反，取度規的號差為
仿射聯絡（這裡指克里斯多菲符號）在描述矢量的平移時定義為[7,10,13,14]
式中
協變微商
其中
黎曼曲率張量由度規張量、克里斯多菲符號及其微商組成。常用的有曲率張量
其中里奇張量是對稱的：
自由質點（不受引力、慣性力之外的任何力作用的質點）的運動方程就是黎曼時空的測地線方程[7,10,14]
定義四維速度(簡稱四速)，
其中
3.3 愛因斯坦場方程
愛因斯坦引力場方程為[7,9,10,11,13,14,21,22]
式中
4 廣義相對論的影響
100年來，廣義相對論對現代物理學，特別是現代宇宙學產生了深遠的影響。人們開始利用廣義相對論去研究宇宙的大尺度結構。關於宇宙演化、黑洞、暗能量和時空理論等也因而成為研究的熱點。廣義相對論還廣泛地被應用於天文學、天體物理學、天體力學、天體測量學等學科。可以說，愛因斯坦的廣義相對論讓人們對宇宙圖景有了全新的認識。
廣義相對論還促進了幾何學的發展，如整體微分幾何、流形理論以及黎曼幾何等。同時還催生了統一理論，雖然最終的大統一理論尚未成功，但是強相互作用、弱相互作用和電磁相互作用的統一已取得長足的發展。由於目前還沒有完善的引力量子化方案，引力相互作用與其他三種相互作用的統一還有很長的路要走。
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