長江學者羅懋康教授： 數學應該是什麼？

2010-02-19 23:38:31 　　來自: 拜大五郎 (San Francisco Bay Area) 　　從羅老師那拷來的PPt，整理後帖在這裡。邏輯性強，別有創見。 　　　　 　　　　數學應該是什麼？ —— 對數學學生　　　　　　　　（南京大學/山東大學報告稿）　　　　羅懋康 川大數學系　　　　　　　　一、數學應該是什麼？ 　　二、學了數學幹什麼？ 　　三、數學之長是什麼？　　四、數學之短是什麼？ 　　五、現在怎麼學數學？ 　　六、將來怎麼用數學？　　　　　　　　　　　　一、數學應該是什麼？ 　　為什麼不說「數學是什麼」？　　 不存在公認一致的定義　　 也難以作出公認一致的定義　　但卻可以從自己的需求出發提出　　問題：對於我（們）自己的目標、需求而言，數學應該是什麼？　　四個方面的功用：　　知識　　方法　　藝術　　樂趣　　　　 　　　　 　　　　二、學了數學幹什麼？　　1. 知識 　　知識— 對思維對象或行為對象的性質或規律的認識或經驗。　　 — 要求：　　 ◆描述某種思維框架的內涵：　　 唯一要求：邏輯自洽　　 典型實例：純粹數學，智力遊戲，思維方式　　 ◆描述或作用某些客觀實際：　　 兩個要求：邏輯自洽&符合實際　　 典型實例：工程技術，社會科學，軍事科技　　 問題：有否「符合實際」而又不「邏輯自洽」的「知識」？　　 實例：工程技術中對δ函數的定義和使用　　 —共同的要求：邏輯自洽　　原因：邏輯—正確、有效地進行理性思維的最基本規則　　原因的原因：邏輯，實踐經驗的符合實際的總結。 　　　　　　最基本規則－公理：　　 同一律，　　 矛盾律，　　 排中律，　　 充足理由律 ～因果律　　 不確定性：　　 隨機性 因果律　　 模糊性 排中律　　 不穩定性 同一律　　 不完全性 充足理由律　　 不一致性 矛盾律　　然而，現實中需要進行理性思考的問題如此紛繁複雜，僅有公理顯然遠遠不夠　　 數學：針對結構、關係及其變化進行細化以後的邏輯　　 因此，數學能給我們進行理性思維所必需的關於對象的結構、關係及其變化的最基本的知識 — 基本保障。　　 不僅如此，很多問題中，對結構、關係及其變化的把握不僅是必要條件，也幾乎構成充分條件（依賴於對該問題領域已有知識和經驗的掌握）。　　2. 方法　　 數學當然同時也給我們提供了處理對象的結構、關係及其變化方面的方法；但還不僅如此：當我們進行理性思維時，提煉最主要的性質和關係、暫時排除冗餘信息，顯然是提高思維效率的必要方式 — 　　 數學：提高理性思維效率的模式和方法。　　 例如：微積分 局部與整體、有限與無限之間的變化關係　　 抽象代數 個體之間結合、對應等運算關係確定的結構　　 幾何 曲率、度量、連通等內蘊性質確定的結構　　 ……　　數學之外的「例如」：　　L-正確抽象準則：一個概念或模型對一類現實背景的抽象是正確的, 如果該類現實背景的總體可以（定性或定量地）無限逼近該概念或模型。　　L-完備抽象準則：一個概念或模型對一類現實背景的抽象是完備的, 如果該類現實背景的總體總是（定性或定量地）無限逼近該概念或模型。　　L-極端性命題：社會現實中，任何具有傾向性的言論或行為 T，對於其傾向的極端 P，均有 P 的鄰域 U，使得 T 進入 U 之後 T 的正確性便不再成立。　　L-適度性推論：社會現實中，任何具有傾向性的言論或行為的正確性只能在其正反極端之間一個範圍更小的區域中成立。　　L-萬有性命題：社會現實中，對於任何具有傾向性的言論或行為或事件，對於與之相關的任何一方，都存在使之向於自己有利的方向解釋或發展的可操作、可實現方法。　　L-絕對性定理：任何一個基於或對於個體人的社會屬性的全稱命題都不能絕對成立。　　L-絕對性推論：任何一個基於或對於個體人的社會屬性的全稱命題都存在反例。　　L-道德性命題：賦以道德品性序的社會成員個體的集合在任何時候都呈正態分布。　　L-利害性推論：全稱命題「人不為己，天誅地滅」、「人都是自私的」、「人為財死，鳥為食亡」、「人的行為都由其自身利益驅動」、「人性本惡」及其等價命題在任何時候都存在反例。　　3. 藝術 　　 藝術：為人們所需（理性）或所悅（感性）的某一方面能力的具有獨創性、難以重複的極致表現。　　戰爭藝術：　　　　長勺之戰（齊魯，「曹劌論戰」）　　　　赤壁之戰　　　　淝水之戰（前秦伐東晉，　　 苻堅： 「投鞭斷流」；　　 謝安 「草木皆兵」，「風聲鶴唳」　　 四渡赤水；　　 淮海戰役；　　 朝鮮戰爭第二次戰役（朝鮮戰爭：美國的朝鮮戰爭紀念碑：　　 美軍＋聯軍（不含美軍）：死亡、失蹤－1,161,523　　 美軍＋聯軍（不含美軍）：負傷－1,167,737　　 美軍＋聯軍（不含美軍）：戰鬥損失－2,329,260　　在這些人員損失中，聯合國軍方面承認由志願軍造成的損失將近2/3；因此，志願軍以39萬餘人的總損失，對敵人造成的60餘萬人的死亡、失蹤損失，總計殲敵則在140萬人以上！）　　馬拉松戰役（希波戰爭，腓力庇德，　　 42.195公里）；　　 坎尼之戰（公元前3世紀布匿戰爭，　　 漢尼拔，迦太基，全殲羅馬軍團，羅馬統帥、執政官瓦羅率370人逃脫，7萬人被殺；10萬士兵，翻越比利牛斯山脈，深入羅馬境內作戰13年！「費邊主義」)　　 奧斯特里茨戰役（拿破崙大破俄奧聯軍）　　　　　　數學作為藝術：對人類抽象思維能力的具有獨創性、難以重複的極致表現。　　費馬大定理：a^n b^n=c^n 358年，全世界無數專業和業餘的數學家為此耗盡畢生心血……　　龐卡萊猜想：單連通3維閉流形同胚於3維球面　　四色定理：1852，倫敦的大學生Francis Guthrie向老師Morgen提出。1976，美國伊利諾斯大學Kenneth Appel和Wolfgang Haken用電子計算機證明「四色問題」。將四色問題轉化為2000個特殊圖形的四色問題，然後在電子計算機上計算1200個小時，完成上百億次判斷。　　　　 　　　　4. 樂趣 　　 數學（主要是純數學）作為幾乎完全依賴於純粹的抽象思維的體系（更為抽象的哲學尚有部分「符合實際」的要求），有著非常純粹的結構美 —　　 黎曼ζ函數　　　　 此外，人都希望自己聰明；而數學這種思維的純粹很符合人們心目中「檢驗、提高聰明程度」的印象，因此，思考數學問題也是一種樂趣。　　　　 認識理性思維與客觀世界在結構、關係及其變化層次上的規律 — 增長知識。　　 數學作為知識，為什麼獨獨不需要實際的檢驗？如此，數學豈不就是數學家心靈的自由創造物了嗎？　　 已有的無數事實：對科學技術的重大推動，對自然規律的深刻揭示。　　 無論數學的結構如何令人頭暈目眩，都是建立在邏輯的基礎上。　　　　　　 這樣，數學實際上也就在本質上具有了客觀性。　　 原因：數學要告訴我們的是「若如何，則如何」　　向我們保證在前提符合要求的情況下，一定會有怎樣的結果發生。　　 這種保證的客觀正確性由邏輯的客觀正確性保證。　　 至於前提是否現實存在，不屬數學的關心職責；數學只負責保證（盡量窮盡）所有這種結構、關係及其變化方面的因果關係。　　　　　　4. 基於數學發展自己更廣泛的思維能力 　　 — 數學化的邏輯思維　　 這一點在前面「數學的『方法』功用」和「『知識』功用」中已有敘述；這裡再作示例：　　 智能的行為定義—　　 對於輸入信息或激勵，系統自動或自　　 主地，按照預定價值取向，以並不現　　 成確定的處理方式，作出具有一定確　　 定性的相應反應的能力。　　 思維的行為定義—　　 從已有信息或激勵到所作結論或反應之間的並不現成的建立關係系統的過程。　　　　 　　　　三、數學之長是什麼？　　　　既然已知數學的特點就是自洽的抽象邏輯思維，那麼數學之長也就已經可以推知：　　數學有助於理性的、抽象的、嚴密的、邏輯的思維，有助於摒棄冗餘的信息、把握問題的本質，能最大程度地保證在分析、演繹的「過程」階段不出錯誤，有助於提煉觀點、結論、思路和方法。　　經過合格的數學訓練，思路容易清晰化、條理化、嚴密化，在各種邏輯可能能夠窮盡的情況下做到「算無遺策」。　　　　 　　　　四、數學之短是什麼？　　　　嚴格地說，這裡要討論的「短」並非「數學之短」，而是「學了數學的人易有之短」；因為，這些方面非數學所應負責。　　實際情況中所需要的思維特性，除了嚴密、精確、深入外，同樣需要靈活、容差、廣泛；而這些，是數學（經典數學）本身並不能直接提供給我們的。　　例如：工程技術，經濟貿易，軍事對抗（戰場反應、作戰指揮），政治決策，行政領導，……　　　　 這些方面，最好是同時具有兩種類型的思維能力：　　 嚴密、精確、深入；　　 靈活、容差、廣泛。　　 如果不能，靈活、容差、廣泛的思維在這些方面往往更為重要。　　 學了數學的人，有時容易陷入一個思維誤區：感覺其他需要思維的事情也都可以用數學般嚴密的邏輯分析解決，原因就在於沒注意到：　　 無論是「思維」本身還是實際情況對「思維」的要求，都並不限於「邏輯思維」，更不限於「嚴密思維」、「深入思維」！　　　　 　　　　五、現在怎麼學數學？　　　　相信這是大家現在最為關心的問題。　　這個問題的回答首先需要確定自己的目標：　　1. 研究數學本身；　　2. 以數學為工具、方法研究其他學科；　　3. 以數學為工具、方法解決實際問題；　　4. 以數學為基礎、為手段，提高自己全面的、一般性的思維能力。　　本來，邏輯上還應有「享受數學」這一可能性，不過，猜想大家現在還不會將它作為目標選項，至少這種可能性還實在太小。　　　　1. 研究數學本身　　 對於這個目標，學習階段要做到：　　 多作練習（起碼），　　 換位思考（良好），　　 強制提煉（優秀），　　 橫向聯繫（傑出）。　　 純數學是最純粹的科學理論研究（姑且如此歸類），因此，這方面學習對思維的要求也很純粹：　　 初期階段：技能熟練，理解透徹；　　 後期階段：把握本質，洞察深遠。　　　　2. 以數學為工具、方法研究其他學科　　 這個目標主要是指進行其他科學、技術學科的理論性方面的研究。　　 由於科學、技術學科的理論性方面的研究對思維的要求仍然首重邏輯嚴密，因此，對於前面的數學學科之間的「橫向聯繫」與思維的「洞察深遠」的要求，可以適度降低，以節省出來的精力加強「提煉本質」的能力。　　　　3. 以數學為工具、方法解決實際問題　　 這個目標對數學深入性的要求可以更低一些；但若希望成就突出，對「強制提煉」和「把握本質」的要求仍不能降低，因為，這兩方面素質是保證你勝過你要進入的其他專業領域的專業人員的必要條件。　　 不僅如此，還需要同時有意識加強自己思維的靈活性、容錯性和廣泛性的鍛煉，這是保證「不負於」他們的必要條件。　　 如果可能，最好還涉獵一些相關的知識、技能，熟悉一下相關的思維方式。如此，可以做到「後發先至」、「事半功倍」。　　 做到這些，你就會發現數學使你具有了在非數學專業領域勝過專業人員的良好可能性。　　　　4. 以數學為基礎、為手段，提高自己全面的、一般性的思維能力　　 對於這樣的目標，相信擁有者不會太多。　　 不過，如果目標是這樣，對數學的學習就只須有「邏輯嚴密」、「提煉本質」這兩條了，而把節省下來的時間、精力用於全面提高自己知識、技能和靈活、廣泛的思維能力，特別注意加強歸納、概括、綜合、提煉的能力，最好還經常進行「細化」、「實現」的訓練。　　　　 　　　　六、將來怎麼用數學？　　　　 事實上，關於這一點，通過前面的討論，應該已經可以有結論：　　 數學專業：—　　 非數學專業：以自己數學知識、特別是數學思維之長，補自己非數學知識、非數學思維之短，並以之勝過其他非數學專業人員。（前提條件：相關主要知識、技能不能弱於他人。）　　　　 　　　　 基於相應領域主要知識和思維方式，學了數學後將為你　　　　 帶來直接優勢的工作領域：　　 計算機，信息安全，通信，雷達，電子，光電，電氣，機械，物理，哲學，經濟，金融，商貿，社會學，管理，……　　 帶來間接優勢的工作領域：　　 化學，材料，教育，心理，法學（廣義），歷史，語言，……　　 帶來潛在優勢的工作領域：　　 政治，軍事，行政，新聞，文學，美術，音樂，……　　 數學，將給你獲勝的優勢…　　　　 　　　　謝謝！　　　　　　 PS：文字較少，理解起來可能不太容易，敬請原諒。
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