重排求差中6、7位黑洞數的理論探索
重排求差中六、七位黑洞數的理論探索
鄔金華
前面已詳細介紹了四位數和五位數的重排求差規律，所用方法大體相同，都是三個步驟：第一步，通過最大數減最小數的豎式得到基本關係式；第二步，按基本關係式揭示的差數特徵寫出所有可能的差數；第三步，對所有差數反覆重排求差或逆推，得到差數的步進關係和黑洞數。下面也按此三步進行。已知五位數和四位數的差數具有承襲關係，即將四位數差數中間插進「9」就變成了五位數差數，同樣，六位數和七位數也有相同的關係，即將六位數差數中間插進「9」也會成為七位數的差數，故這裡只對六位數作詳細介紹，對七位數只給出最終結果。
一、基本關係式
仍用大寫和小寫字母ABCDEF和mnstpk分別表示最大數和差數。按最大數中間2個或4個數字是否相同，可將六位數分為3種類型，其基本關係式各不相同。
類型1：中間2個數字不同，即有A≥B≥C> D≥E≥F（可以同時取等號），基本關係式和差數特徵見下圖：
類型2：中間2個數字相同（但中間4個數字不同）即最大數具有ABCCEF的形式，各數字間的關係為A≥B≥C≥E≥F（不同時取等號，或可同時取不超過3個的等號），其基本關係式和差數特徵見下圖：
類型3：中間4個數字相同，即最大數具有ABBBBF形式（A≥B≥F，不同時取等號），其基本關係式和差數特徵為：
上述關係式表明，任何差數都是由某個數核（由並排的「9」構成）和若干個數偶所構成（類型1表面上沒有數核，稱0數核，有關問題將在後續文章中專門介紹），數偶中的兩個數都對稱地分布在數核的兩側，這是差數極為重要的構成特點，在以後的討論中將會有很多用處。
二、六位差數
對照4位數和六位數的差數發現，6位數類型2和類型3的差數與4位數的類型1和類型2的差數具有完全相同的數偶，而差數的多少也只與數偶有關，因此，與4位數相比，六位數差數個數就是在4位數差數個數（54個）基礎上增加了這裡類型1的差數個數，而這裡類型1的差數個數為
1+(1+2)+(1+2+3)+……+(1+2+3+……+9)=165
故六位數差數共有165+54=219個，歸併成等效差數數組後仍有115個，詳細情況可參看後附的步進圖。
三、六位黑洞數和差數步進關係
雖然可以參照4位數和5位數，用方程法或逆推法求六位黑洞數，但均太繁瑣，這裡只用順推法（即反覆重排求差法）求解。具體做法是，首先按一定規律（可自定）寫出所有等效數組，然後從第一數組開始，反覆重排求差，記下所得差數，直到所得差數與已經出現過的差數相同時為止。接下來再對第二個數組反覆重排求差，記下所得差數，也是直到所得差數與已經出現過的差數（包括由其它數組求得的差數）相同時為止。如此做下去，直到所有數組全部做完。在這一系列操作過程中，如果某次重排求差所得差數與它的最大數具有完全相同的構成數字，那麼該差數就是單一黑洞數（一次循環黑洞數）；如果沒有這樣的差數，那就證明沒有單一黑洞數。由於每次重排求差都是出現2個差數相同時為止，故可將這2個相同的差數作為「橋樑」將有關差數串接起來，最後就可得到循環黑洞數和所有差數的步進關係。按上述方法得到的所有結果都總結在後附的步進圖中。
六位數有2個單一黑洞數631764和549945，還有一個由7個差數構成的循環黑洞數。有意思的是，631765是4位黑洞6174插進了數偶3-9，549945是3位黑洞數495是594相間插入的結果。有關單一黑洞數的變化問題也將在後續文章中介紹。
反覆重排求差雖然不難，但也麻煩，這裡介紹一種快速心算求差法——「定前配後法」，可不必寫豎式而直接由上一個差數寫出下一個差數。因為任何差數都是由數核和數偶構成，故只須心算確定差數的前幾位（位數為2N或2N+1時，為前N位），後幾位按數偶規律搭配就行了。這裡三種類型的「定前配後」可分別參看下面的實例：
四、六位數的逆推
六位數的逆推很繁瑣，這裡不打算對所有差數都進行逆推，只從2個黑洞數逆推它們的1步數。
黑洞數631764屬於類型1的數（排成最大數後中間2數不等），從類型1的基本關係式可推得它的逆推公式為：
A=m+α(α=0, 1,2……, 9-m)
B=n+β(β=α,α+1,α+2,……α+m-n)
C=s+1+γ(γ=β,β+1,β+2,……,β+n-s-1)
D=γ
E=β
F=α
這時m=6，n=3，s=1，將αβγ的取值和相應得到的ABCDEF列成數表：
ABCDEF
6+α 3+β 2+γγβα
632000
633100
643110
644210
654220
655320
665330
666430
743111
744211
754221
755321
765331
766431*
776441
777541
854222
855322
865332*
866432
876442
877542
887552
888652
965333
966433
9 76443
977543
987553
988653
998663
999763
共有32個解，它們都是黑洞數631764的1步數。帶星號者可重排成符合差數條件的數，繼而逆推出它的2步數等等（參看後附6位數步進圖）。
黑洞數549945屬於類型2的數（排成最大數後中間2數相同），由類型2的基本關係式可推得它的逆推公式為：
A=m+α(α=0,1,2,……,9-m)
B=n+1+β(β=α,α+1,α+2,……,α+n+1)
C=β，β+1，β+2，……，β+n+1
E=β
F=α
這時的m=5，n=4，也將αβ的取值和相應得到的ABCCEF列成數表：
ABCEF
5+α 5+ββα
5500C=0,1,2,3,4,5
6611C=1,2,3,4,5,6
7722C=2,3,4,5,6,7
8833C=3,4,5,6,7,8
9944C=4,5,6,7,8,9
寫成正規最大數ABCCEF的形式為
550000551100552200 553300 554400555500
661111662211663311 664411 665511666611
772222773322774422 775522 776622777722
883333884433885533 886633 887733888833
994444995544*996644997744998844999944
共30個解，他們都是黑洞數549945的1步數。帶星號者為549945的最大數。注意，所有這些數都不能重排成符合差數條件的數，故都不能由重排求差得到，因此，549945隻有1步數，沒有多於1步的數存在。
五、七位黑洞數和差數步進關係
仍用豎式法求出七位數三種類型的基本關係式。
很明顯，這3種類型的差數都是在6位數差數的基礎上插進了數核」9「的結果。實際上，任何位數為2N和2N+1的差數都有這樣的關係。所以，7位數的差數個數也是219個，等效數組也是115個。用順推法發現，7位數沒有單一黑洞數，但有一個由8個差數構成的循環黑洞數（8次循環黑洞數），它們的步進關係可參見後附的步進圖。
6位數步進圖
推薦閱讀：