為什麼焦耳定律算出流過銅絲的能量與銅的比熱容不能匹配？

06-20

工作中遇到這個問題。
具體如下：
有一個線圈阻值為0.42Ω，流過的電流和兩端的電壓通過一個電源輸出，分別為33A和14v左右，導通時間在4.5s左右。這樣通過公式Q=I2Rt，計算出Q=33x33x0.42x4.5s=2058J。此時線圈由於通電時自身發熱，由室溫35℃左右達到設定的82℃，表面漆融化粘合成線圈。（溫差與通電時間成正比）
但是銅的比熱容為0.386x103J/kg℃，結合線圈的重量為1g，那麼1g銅升高1℃需要0.386J，從35℃升高到82℃只需要47x0.386=18.142J。
結合前面通電的數據，升高47℃卻需要2058J。這其中那麼多的熱量都流失到哪裡去了呢？還是本計算方法和方向有誤？ @Patrick Zhang 望翻牌指點一二，謝謝！

我們看下圖：

我們看到這裡有三個熱量。

第一個熱量，就是電流流過線圈電阻產生的熱量Q1，它的表達式為：

$Q_1=I^2RDelta t$

這裡的I就是流過線圈的電流，R是線圈電阻， $Delta t$ 是時間。

此表達式就是焦耳定律。

第二個熱量，就是線圈溫度升高產生的熱量Q2，它的表達式為：

$Q_2=Cm( heta _2- heta _1)$

這裡的C就是比熱容，m是質量， $heta$ 是溫度。

第三個熱量，就是線圈散失的熱量Q3，它的表達式為：

$Q_3=K_TA au Delta t$

這裡的Kt叫做綜合散熱係數，A是線圈表面積， $au$ 是溫升。

三個熱量之間的關係是： $Q_1=Q_2+Q_3$ ，式1

從題主描述看，他只知道其二卻忽略掉了最重要的第三。

當線圈的溫度上升到恆溫時， $Q_2=0$ ，也即：

$Q_1=Q_3Leftrightarrow I^2RDelta t=K_tA auDelta tLeftrightarrow I^2R=K_tA au$

線圈的溫升為：

$au =frac{I^2R}{K_tA}$ ，式2

注意：溫升指的是線圈溫度與環境溫度之差。

我們看到，當線圈溫度趨於平穩後，線圈的溫升與導線的比熱容一點關係也沒有！

由於題主未給出線圈的詳細資料，因此我們無法深入下去討論。但不管怎麼說，我們能看出，題主的討論是不充分的，他完全沒有考慮到線圈的散熱。這就是題主的問題所在。

需要著重指出的是：從題設看，題主的這個線圈圈數是很少的。但即便圈數很少，甚至只是單根的導線，式1依然成立。也就是說，式1屬於系統特性。

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我們把問題繼續深入下去。不過先聲明，以下內容對於中學生會有點吃力。

Q3這個式子的提出者是一位著名人物，他就是牛頓，也因此這個式子又叫做牛頓散熱公式。

科學巨匠的影響是無所不在的。

我們把式2寫成更加一般的表達式，如下：

$au =frac{I^2 ho_0(1+alpha heta)L}{K_tSA}$ ，式3

式3中，S是繞組導線的截面積， $ho_0$ 是導線在零度時的電阻率，括弧內的 $alpha$ 是銅材料的電阻溫度係數，一般取值為0.0043， $heta$ 是線圈的溫度。

對於線圈而言，關鍵的是它的散熱表面A。

我們看下圖：

我們看到，線圈的散熱表面由四個部分構成，分別是上表面，下表面，外表面和內表面。

我們知道了線圈的外部直徑D和內部直徑d，還有線圈高度H，當然能寫出它們的表達式。考慮到本貼只是說明問題而已，並非深入討論，這些表達式從略，留給題主吧。

提醒一下，注意到線圈的四個表面的散熱面積不同，綜合散熱係數也不同！需要認真測算。

如果線圈的溫度正在升高過程中，還沒有達到穩定溫升，那麼此時Q2就不可以忽略，式1會變成什麼樣？

我們把時間因素dt考慮進去，由式1得到：

$pdt=cmd au+K_TA au dt$ ，式4

當線圈的發熱達到穩定狀態時，根據牛頓散熱公式，有： $p=K_TA au_w$ ，這裡的 $au _w$ 是穩定溫升。我們把它代入到式4中，得到：

$au _wdt=frac{cm}{K_TA}d au+ au dt$

令 $T=frac{cm}{K_TA}$ ，我們把T叫做時間常數。

我們來看T的單位： $frac{kg(frac{Wullet s}{kgullet K})}{m^2 (frac{W}{Kullet m^2})}=s(秒)$

時間常數T決定了總熱容量與散熱情況的比值。

經過求解整理，我們得到一個有趣的式子，如下：

$au = au_w(1-e^{-frac{t}{T}})$ ，式5

好熟悉的表達式，它不就是指數函數嗎？

下圖是任何一本有關電器理論的書籍以及電器設計手冊中都有的圖：

其中曲線1就是從溫升為零開始的升溫曲線，而曲線2則從溫升為一定值開始的升溫曲線。

對於題主來說，我們只要測量出時間常數T，當時間超過4倍T後，線圈的溫度就達到了穩定值，題主的溫度也就達到了解答。

給題主的解答就到這裡吧，已經夠題主喝一壺了。

那麼題主該如何簡化分析呢？很簡單，操作過程如下：

第一步：記下當前的時刻，以及環境溫度。把線圈通電，測量線圈的溫度。

第二步：當線圈的溫度不再上升後，記下此時的時刻和線圈表面溫度。

第三步：把線圈最後溫度減去環境溫度就是穩定溫升 $au_w$ 。把兩個時刻之差再除以4，得到的就是時間常數T。

有了上述第三步的結果，結合式5，這個線圈一切表現，都在題主的掌控之中了。笑！

看到題主資料，似乎題主是某大學的學生。提個建議：這個題目是很好的設計題材，它涉及到計算機模擬。我們可以通過MATLAB做模擬處理，看看結果與模擬後的效果有何不同。

另外，再次提醒題主：哪怕這裡的線圈圈數極少，甚至只有單根，上述關係依然存在。時間常數是系統特性，與圈數多少無關。

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看到評論區中有人提出反對意見，他認為線圈的圈數很少，故而系統不存在時間常數。

我們想想日常使用的電飯煲就知道了，即便它的發熱體只有一圈，但電飯煲一定有時間常數存在。我們可以在某個穩定溫升設定值下測量出時間常數T，然後調高或者降低溫控值，我們會發現溫升達到穩定值的時間t也隨之改變。

因為： $frac{ au}{ au_w}=1-e^{-frac{t}{T}}$ ，我們看到穩定溫升 $au_w$ 改變了，t也隨之改變，但T是不會變的，除非改變了電飯煲繞組或者系統的結構，T才會改變。

反對@Patrick Zhang的答案。

由銅重1g，電阻0.42Ω，結合電阻率和密度，可以求得銅線長度約1.6m，直徑0.3mm。稍有常識的都知道，0.3mm的銅線長時間走33A的電流，100%會燒斷。作為參考，銅熔化溫度1000度左右。換言之，此體系的平衡溫度超過1000度！那麼，當溫度到82度時，別說時間遠遠沒到@Patrick Zhang所說的4T位置，顯然連1T都差得遠。

從另一個角度考慮，不超過82度的溫度，只用一克銅，在4.5秒內散熱2058-18=2040J，平均散熱功率超過450W！我只想說，中國散熱器的崛起就交給@Patrick Zhang您了！您用區區一克銅就散掉450W功率，您讓那些重達幾十上百克，吹著風扇，散熱功率僅100餘瓦的CPU散熱片情何以堪！辯不過就拉黑，我也是服了您了！

那麼，多餘的能量那裡去了？答案很明顯，就是表面的漆啊。

我不知道你的漆有多厚，但估計比銅的體積會大一些，雖然漆密度小，但漆的比熱比銅大不少，最終漆的總熱容很可能要超過銅不少的。然後還有最關鍵的，漆會融化，我們知道，相變所需的能量是遠大於升溫幾度所需的能量的……

感謝評論區 @靈劍的提醒，綜合考慮如下：

電壓、電流測量精度：如果是採用恆壓源輸出，14V是電源輸出的電壓，還是線圈兩端的電壓？畢竟兩個觸點的電阻和細銅線相比，並不是可以忽略不計的。（所以銅線產熱小於14*33=462W。）
溫度測量問題：測量溫度顯然是表面溫度，銅芯溫度一定顯著高於表面，表面82度時，銅芯沒準都150度了。畢竟才4.5秒的時間，溫差不夠大的話，表面不會這麼快熱上來。
漆的熱容和液化熱。
環境散熱
線圈將部分電能轉化為磁場能

在本問題條件下，4和5基本可以忽略，張工認準了4是主要因素，他就沒從實際問題出發考慮過，無風扇一克銅散熱450W，下圖這貨無風扇被動散熱都不敢標稱80W……

其實在包含溫度參數的實驗中,誤差最大的地方是溫度的測定, 這是很多理論很好但是沒做過實驗的人不太容易想到的, 翻了一圈答案里都是在分析各種內能的去向什麼的, 我倒是更好奇這個82℃的數據是怎麼測出來的.

(1). 因為是線圈, 所以感測器很大可能是點接觸 , 感測器的加熱速度肯定會慢於銅線.

(2). 通過描述判斷表面還有漆, 更別說溫度感測器的表面一般也還有塑料什麼的包裹, 漆的導熱相比於銅來說是慢得多的, 這更加劇了感測器升溫的滯後

(3). 漆在融化過程相變還要吸熱, 而感測器又在漆外面的話,相當於在鍋和火之間加了一道散熱裝置啊.

(4). 升溫速度太快了, 如果感測器不太好的話, 自身還有一定的滯後特性.

從實驗的角度來說, 這 4.5s 你只能是認為電流把一個溫度感測器的溫度從35升到了82, 而不是銅絲.

不要小看點接觸和面接觸所帶來的誤差, 也不要小看漆和銅的傳熱速度差異

好奇題主的電流是測得的還是算得的……確實不太了解什麼工作情況會用這麼大電流通在那麼細的導線上。

張工的答案顯然是錯的，錯誤已經有人指正了。散熱確實是一個因素，假設數據是對的，這麼多熱量流失散熱肯定不是主導因素。但那麼多能量應該也不止是流到漆里了…懷疑題主測錯了電流或者忘了算內阻…

說個個人觀點把 @Patrick Zhang @飛fei

剛才看了一下這兩個答案，其實杠上的兩個大神倆說的是一回事，一個這個是理想散熱條件(理想環境和理想介質)下的公式，就是周圍介質有無限的比熱容以及本身導熱率極高，實際上在空氣或者真空中散熱率可能不那麼高未散出的熱量可能會導致銅的相變，跟保險絲熔斷一樣(我是猜的，沒研究過材料學)，他說的意思就是用漆的相變來完成多餘熱量的收集。

你倆討論的東西邊界條件不一樣。可能在低電流起情況下理想公式好用一些，在極端條件下要考慮環境和本身材質的特性才能定奪。

打個比方同樣是一個人在冬天赤身裸體和在冬天穿棉襖站著，他的體溫可是完全不同的，然而推導人的冬天散熱公式可能就要假設人類赤身裸體站著了，因為方便。但這個公式你肯定不能形容穿衣服的人

自然在夏天光身子和穿褲衩的就差不多一個公式了。

怎麼說的課本上很多東西的邊界條件是極端理想的邊界條件，現實中不可能達到，所以第二個人會用耗熱率說問題。

我也湊個熱鬧，算一下平衡溫度。

把銅絲當成黑體，溫度為T時輻射功率為 $P=sigma AT^4$

其中功率P已經知道是33A*14V=462W，σ是斯特凡-波爾茲曼常數 $5.67 imes10^{-8}{ m J s^{-1}m^{-2}K^{-4}}$ ，A是銅絲表面積。

這個銅絲的長度和直徑題主沒說，不過根據質量1g可以算出體積是 $1.12 imes 10^{-7} m m^3$

根據阻值0.42Ω，長度l/截面積A=電阻R/電阻率ρ，算出 $frac{l}{A}=2.47 imes 10^7 m m^{-1}$ ，於是l=1.66m，A= $6.72 imes10^{-8} m m^2$ ，直徑d=0.29mm。於是銅絲表面積為 $pi dl=0.0015 m m^2$ 。

最後代到前面的熱輻射公式，算出T=1527K，也就是1254℃。而銅的熔點只有1083℃.

這裡有兩個很大的問題：

一是銅的電阻率並不是常數，而是隨溫度升高而增大，高溫下銅絲的電阻會比室溫時大很多。

然而題主沒說給銅絲供電的電源是電壓源還是電流源。如果是電壓源，電阻大了，電壓不變，功率會減小；電流源則相反，功率會更大。估計前者的可能性大一些。

二是只考慮了輻射，沒考慮空氣對流帶走的熱量。

有效散熱面積和熱阻的關係為 $R_{sa}=23.3A^{-0.39}$ ，其中A單位為cm2。這個公式在A為25~500cm2時有效，稍微外推到15cm2，估計也差不太多，可得Rsa為8.1K/W。於是當溫差為1000K時能得到123W左右的散熱能力。

綜合以上兩點，估計平衡時銅絲不至於熔化，但是幾百度的高溫肯定是有的。要精確求解，得把上面幾者聯立解方程來算，估計也不會很難，我就懶得算了。

同樣材質在升高不同的溫度比熱容並不一定是恆定的，中學的比熱容應該是某一條件下的平均比熱容。當然這應該不是最主要的，而是根據熱力學第二定律，作為一台熱機，很大一部分能量作為光和熱散失掉了，所以用比熱容算出的能量消耗，不會是實際的能量消耗