韻律中的分形藝術

唯一 2012-03-21 16:10:43Daniel Levitin 教授是一位腦神經科學家，同時也是一個音樂家。他率領的研究團隊最近發現，音樂的節奏中也存在著分形結構，且節奏中的分形模式，可以用來區分不同的音樂流派和作曲風格。聲音，紛繁多變。有時被稱為樂音，有時被稱為噪音，其區分標準一般在於，是否能夠給收聽者帶來身心愉悅的感受，是否具有一定的藝術性。然而這樣寬泛的概念，是不是也能用數學量化的標準予以清晰地呈現呢？ 來看看下面這些用圖像來呈現音樂的嘗試[1] ：

早已有研究表明，美妙的音樂篇章，尤其是古典音樂和交響樂中，蘊含著許多奇妙的分形藝術。首先，我們來介紹一下，白雜訊、紅雜訊和粉紅雜訊，由此引出 「音樂中的分形」 這一概念。樂音中的分形白雜訊 白雜訊（white noise）是功率譜密度在整個頻域內均勻分布的聲音類型。就像光學中的白光，是由所有頻率的可見光混合得到的一樣。理想的白噪音，就是把人耳能接收到的所有頻率的聲音同時發出。最為我們所熟悉的白雜訊，就是在收聽廣播時候，在有節目的頻段上所聽到的電波聲，還有磁帶空白處的聲音。類似於，沙沙沙，沙沙沙。這樣的聲音聽起來，前後基本一致，可預測性最強，隨機性最弱。紅雜訊 與之對應，另外一個極端的聲音現象是布朗雜訊（brown noise），也叫做 「紅雜訊」。與物理中布朗運動的概念類似，這種聲音的前後音程差，是微小的、隨機的、無規律的變化。可以設想，就像是第一次見到鋼琴的小孩子，他用一個手指在琴鍵上亂彈一通。這種聲音毫無規律可循，也沒有美感可言，隨機性最強，可預測性最弱。

（圖 1）從左到右邊分別為：白雜訊、紅雜訊（布朗雜訊）、粉紅雜訊（1/f 雜訊）；上排表示聲波分布，下排表示在頻域的分布情況。[2]就像世界上的諸多事物一樣，美好的東西總是尋求一個平衡（balance）。那麼，在可預測性和隨機性之間，是不是也存在一個平衡的界限，對應著美妙的樂音呢？答案是肯定的。這就是 「1/f 雜訊」（1/f noise），又稱為 「粉紅雜訊」（pink noise）。粉紅雜訊 從時間域的波形來看，粉紅雜訊的聲波圖像具有分形的結構。從頻域—能量的角度分析，其能量從低頻向高頻不斷衰減，曲線為 1/f，通常為每 8 度下降 3 分貝。最初的科學研究中，常利用 「1/f 雜訊」 模擬出瀑布、颳風或是下雨，這種自然界中渾然天成的聲音。對大量樂譜的分析也早已證實，多數猶如天籟之音的世界名曲，均屬於粉紅雜訊。節奏中的分形上面所考慮的分形都是對於 「音高」（pitch）而言。近日，PNAS 上刊發了一篇文章，Daniel Levitin 教授率領的研究團隊，對於音樂的 「節奏」（rhythm）進行了研究。他們發現，在諸多樂曲的節奏中，也蘊含著類似的分形結構[2] 。作者在論文開頭寫道： 「音樂中有拍子，並且拍子出現的規律會有一定的重複性。我們通常無法預測下一個旋律的轉折點會怎樣演繹，但卻能夠在靜靜聆聽的過程中，感覺到音樂的轉折點何時將要到來。」 於是，可以猜測，在看似無跡可尋的韻律中，或許也有類似的分形結構。

（圖 2）對貝多芬四重奏的樂段節選進行節奏分析，A 為樂譜，B 為 1/f 分布，C 為 1/f 的指數化處理，得到類似於正態分布的結果。[2]如上面（圖 2）中的樂譜，可以看到樂曲中各音符之間的間隔並無規律可循。但是，如果從頻域的角度來考慮，就會得到不一樣的結果。通過對進一個世紀以來的大量音樂作品進行分析，研究人員發現，音符和休止出現的頻率和持續的時間（temporal / rhythmic），也遵循 「1/f 分布」（1/f distribution）。而在頻域上的 「1/f 分布」，對應在時間域上即為分形曲線。節奏中的分形結構聽起來或許有些抽象，但它卻可以用來區分不同的音樂流派和作曲風格。研究人員稱，他們分析了不同的音樂流派及不同作曲者的大量作品，得到各自的 「1/f 分布」，再將其做進一步的指數化處理，可以得到一個類似於正態分布，有對應的均值和方差。結果發現，不同的 「均值」 對應著不同的音樂風格。大的 「均值」 對應著較強的可預測性，而均值較小則表明樂曲節奏較為平穩。這與直觀上的聽覺體驗基本一致。例如，滑稽音和詼諧曲的均值，比交響樂和抒情曲要大，表明其曲風多變，無章可循，從而營造出始料未及的藝術效果。同樣，貝多芬、海頓和莫扎特同為一個時期的作曲家，但他們樂譜的分形特徵卻各不相同；而間隔了幾個世紀的作品，比如蒙特威爾第和喬普林的樂譜，則呈現出類似的節奏模式。

（圖 3）上下兩組圖片分別表示不同作曲家和不同音樂流派所對應的 「均值」。主要看 E 這一列，縱軸代表流派，橫軸代表均值大小。均值越大，音樂節奏的可預測性就越大，反之預測性就越小。可見，作曲家中，貝多芬的可預測性最強，而莫扎特則是隨機性很強；在不同的音樂流派中，交響樂的可預測性最強，而拉格泰姆調（Ragtime）的隨機性最強。[2]從（圖 3）中可以看出，莫扎特和喬普林作品的 「均值」 都比較低，風格也就類似； 貝多芬和維瓦爾第的 「均值」 都較高，其作品節奏變化也較為接近。這一結果表明，音樂節奏的分形變化，可能是植根於人類大腦中的作曲能力的基本屬性。研究人員稱，不同作曲家獨特的風格特徵，很可能是他們各自讓節奏的分形發生變化的嘗試。根據這一結果，我們可以進一步大膽設想，開發出一套自動編曲的軟體，先通過 「1/f分布」 曲線創作出對應節奏，再隨機填入音符，是否一定能得到曼妙的樂章呢？ 不過，該路數的創作結果，一定與之前僅考慮音高上的創作出的 「分形音樂」 截然不同。至於孰優孰劣，當然要由聽眾來做評判。順便說一句，這位 Daniel Levitin 教授，不僅是一位音樂家，還是著名的腦神經科學家。那句著名的 「一萬小時學習理論」，就是他提出來的： 「要在一個範疇里成為專業人士，至少要經過 1 萬個鐘頭的反覆訓練」。或許正是擁有這般孜孜以求的律己精神，才有可能發現隱藏在美好事物背後的那些神秘的魅力。最後，就用一段視覺化音樂作品 [1]，來結束節奏中的分形故事：

參考資料:[1]Tatiana Plakhova,CHAOS AND STRUCTURE[2]Daniel J. Levitin, Parag Chordia and Vinod Minon: Musical rhythm spectra from Bach to Joplin obey a 1/f power law圖片來源:Tatiana Plakhova, via behance.net
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