「正態分布」教學設計

唐昌榮 貴州省實驗中學

內容和內容解析

本節課是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》選修2—3中的2.4「正態分布（第一課時）」，屬於新授概念課．正態分布是選修2—3第二章隨機變數及其分布的最後一節，本節課內容是在學生學習了離散型隨機變數及其分布的基礎上進行研究的，正態分布的隨機變數是一種連續型隨機變數，這讓學生對隨機變數由離散到連續有一個深入的認識.正態分布是高中學習內容中唯一一種連續型分布，它反映了連續型隨機變數的分布規律，離散型隨機變數的概率分布規律用分布列描述，而連續型隨機變數的概率分布規律用分布密度函數（曲線）描述，本節課是對本章知識體系的一個完善，也是教材必修3「統計和概率」知識的一種拓展.同時本節課內容反映了數形結合的思想方法，以及統計思維與確定性思維的差異.

生活中除了離散型隨機變數更多的是連續型隨機變數的例子，因此正態分布在統計中是很常用的分布，它能刻畫很多隨機現象，廣泛存在於自然現象、生產和生活實際之中.從形式看，它屬於概率論的範疇，但同時又是統計學的基石，它在概率和統計中佔有重要的地位.一方面，本節課內容為學生初步應用正態分布知識解決實際問題提供了理論依據；另一方面，正態分布具有許多良好的性質，許多分布都可以用正態分布來近似描述，因此在理論研究中，正態分布佔有很重要的地位.

教學目標設置

（1）通過卡西歐圖形計算器統計出生活中學生身高、體重、測量誤差、用水量等隨機變數的樣本頻率分布直方圖，作出概率密度曲線，感受正態曲線的特徵。

（2）理解連續型隨機變數的特徵，能描述出概率密度函數的作用，藉助圖形計算器利用正態分布密度函數的圖象對性質進行合情猜想，部分學生能從代數推理證明正態曲線所具有的某些性質。

（3）通過數學史介紹正態分布密度函數，感受數學文化。

學生學情分析

本班學生人手一台卡西歐圖形計算器FX-CG20，已經能熟練的運用圖形計算器統計數據、作出所給數據的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖及概率密度曲線，能根據頻率分布直方圖和頻率分布折線圖初步分析數據的分布規律，具有一定的統計思想.部分學生會用數形結合思想方法研究一些簡單的數學問題，能夠收集、整理和分析一些簡單的統計問題.但是，本節課需要學生由離散型隨機變數到連續型隨機變數，由離散型隨機變數的分布列得到連續型隨機變數的分布密度函數，這對學生來說是一個挑戰，如何認識正態曲線的特點及其表示的意義也是學生學習的難點.正態曲線的特點和意義，學生通過畫頻率分布直方圖和頻率分布折線圖以及圖形計算器的探究活動來學習，正態分布密度函數的得出需要教師給予適度的指導.

基於以上分析，確定本課的教學難點和教學重點

教學難點：探索正態分布密度曲線性質；

教學重點：正態分布密度曲線的性質。

教學策略分析

傳統的教學過程困難在於學生缺少技術手段，缺少工具去發現、去猜想。圖形計算器FX-CG20的統計及函數圖象功能和動態演示功能為學生探究這個課題提供了很好的技術支持。本節課學生藉助圖形計算器畫頻率分布直方圖和頻率分布折線圖的活動。通過組距不斷縮小；樣本容量增大，引出連續型隨機變數的概率密度曲線，藉助於圖象數形結合探求正態曲線特點及其所表示的意義。

教學路線圖（如圖1所示）：

Ⅳ 上台展示成果，結合圖形計算器作圖驗證

教學過程設計

1.引入導出概率密度函數（預估十分鐘）

（1）情境引入。

展示德國10馬克鈔票上高斯的頭像及正態曲線，介紹數學家高斯，板書課題。

【設計意圖】滲透數學史知識，引出研究的課題，

（2）學生展示課前收集的生活中隨機事件的樣本頻率分布直方圖；教師展示高爾頓板試驗。

【設計意圖】以實際生活的例子激發學生學習探究的興趣，直觀感受正態分布中間高、兩邊低的特點。

（3）教師總結：一個隨機變數如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態分布

（4）從樣本頻率分布直方圖中我們可以得到什麼信息？

預估回答：樣本的分布。

追問：如何做會使我們預報更精確？

【設計意圖】引出兩點：組距不斷縮小；樣本容量增大，引出離散型隨機變數，與連續型隨機變數的區別。

教師講解：取定具體的數時，隨機變數x的取值是可數可列的，隨機變數x為離散型隨機變數，當樣本樣本容量增到無限大時，x的取值可能會是無限種且不可列的情況，當隨機變數x可以取某個區間的任意一個值時，隨機變數x為連續型隨機變數。

（5）若x可取[a,b]

之間的任何一個值時，組距不斷縮小，頻率分布折線圖會有什麼樣的變化？

教師展示。

【設計意圖】這個步驟實現了由離散型隨機變數到連續型隨機變數的過渡，突破學生由離散到連續認知上的障礙，引出概率密度曲線, 概率密度函數的概念。

2.正態曲線的圖象性質研究（預估二十五分鐘）

推薦閱讀：