從巴西的蝴蝶到德克薩斯的颶風

從巴西的蝴蝶到德克薩斯的颶風

- 盧昌海 -

本文系應《科幻世界》雜誌的約稿而寫， 但內容略多於提交給《科幻世界》的版本 (即 發表稿)， 並且包含了後者因篇幅所限而略去的注釋。 本文在行文結構上與 發表稿 也有一定差異。

一. 決定論

在 「時間旅行: 科學還是幻想？」 一文的 第 4 節 中， 我們曾提到混沌理論中的一個概念： 蝴蝶效應 (butterfly effect)。 這個效應也被稱為對初始條件的敏感依賴性， 指的是在某些——通常是非線性的——物理體系中， 初始條件的細微改變有可能對體系的未來演化產生巨大影響。 它的一種很富詩意的形容， 是說巴西的一隻蝴蝶拍動翅膀產生的空氣擾動， 有可能演變成美國德克薩斯州的一場颶風。 這也是蝴蝶效應這一名稱的主要由來。 本文將對這一概念及其歷史做一個簡單介紹。

我們知道， 人類描述自然的努力， 很大程度上體現在對自然現象的時間演化進行描述上。 這種描述在許多方面都取得了很大的成功。 早在 300 多年前， 英國科學家牛頓 (Isaac Newton) 就建立了我們稱為牛頓力學的理論體系， 對小至鐘擺、 陀螺， 大至行星運動的各種自然現象的時間演化做出了極為精確的描述。 1846 年， 天文學家們在牛頓力學所預言的位置近旁發現了幾十億公里之外的太陽系第 8 大行星——海王星， 成為牛頓力學最輝煌的成就之一^[注一]。

牛頓力學的成功， 除了體現在對某些自然現象時間演化的極為精確的描述外， 還留下了一個非常重要的遺產， 那就是決定論的思想。 按照這一思想， 從一個物理體系在某一時刻的狀態， 可以推算出它在任何其它時刻的狀態。 人們後來知道， 牛頓力學本身只適用於描述一定範圍內的力學現象， 但它所留下的決定論思想卻適用於幾乎所有已知的物理定律， 甚至在一定程度上包括了被公認為是非決定論性的量子力學^[注二]。

那麼， 決定論思想所具有的如此廣泛的適用性， 是否意味著我們在原則上可以對物理現象作出精確預言呢？ 在很長一段時間裡， 答案被認為是肯定的。 但是， 與這種被認為原則上可以做到的精確預言形成鮮明對比的， 是實際上能精確求解的物理問題的稀少。 以天體運動為例， 人們能精確求解的只有二體問題。 一旦把太陽、 地球和月球這三個最熟悉的天體同時考慮進去， 就沒法精確求解了^[注三]。 又比如流體運動， 能精確求解的只有一些非常理想的情形， 一旦把象粘滯性那樣最常見的現實性質考慮進去， 也就沒法精確求解了。 物理學家們能精確求解的問題， 大都附加了各種簡化條件。 而真正的自然現象幾乎從來都不滿足那些條件， 從而幾乎沒有一個是能精確求解的。

幸運的是， 在那些無法精確求解的問題中， 有一部分非常接近於某些能精確求解的問題。 比如地球繞太陽的運轉， 所有其它天體的影響都相當微小， 因此這一問題非常接近於能精確求解的二體問題。 而且這兩者的差異還可以通過各種手段加以彌補。 正是由於這些近似手段——包括數值近似——的存在， 使得物理學家們雖然很少能精確求解問題， 卻依然能對很多自然現象的演化做出非常成功的描述。

二. 早期研究

但是， 任何近似手段都必然有誤差， 因此近似手段的有效性有賴於對誤差的控制。 隨著研究的深入， 物理學家們開始遇到了一些無法用近似手段來有效處理的問題。 這些問題中有許多都具有蝴蝶效應， 它使誤差變得不可控制。 19 世紀末， 法國科學家龐加萊 (Henri Poincaré) 在對三體問題的研究中發現了一些這樣的問題。 他在《科學與方法》一書中寫道： 「初始條件的微小差異有可能在最終的現象中導致巨大差異」， 「預言變得不可能」。 這或許是對蝴蝶效應最早的明確描述^[注四]。 除三體問題外， 流體力學中的湍流問題也是一種無法用近似手段來有效處理的問題。 據說德國物理學家海森堡 (Werner Heisenberg) 曾經表示， 有機會向上帝提問的話， 他想問上帝為什麼會有相對論？ 以及為什麼會有湍流？ 他並且補充說： 「我確信上帝知道第一個問題的答案」——言下之意是上帝也未必知道為什麼會有湍流。

當科學家們接觸到包含蝴蝶效應的問題或現象時， 科幻小說家們也在用自己獨特的方式描述著類似的現象。 比如 1955 年， 美國科幻小說家阿西莫夫 (Isaac Asimov) 寫了一部小說， 叫做《永恆的終結》(The End of Eternity)。 在這部小說中， 阿西莫夫描述了一群生活在物理時間之外的人， 他們可以對人類歷史進行修正， 使其更加完美。 但他們企圖為人類創造一個完美歷史的努力， 在無形中扼殺了人類的創造與探索能力， 使其在與外星生命的競爭中一敗塗地。 幸運的是， 人類後來發現了這一點， 並通過時間旅行的手段挽回了一切。 在這部小說中阿西莫夫提到： 對歷史的每一次微小改變， 都有可能以一種無法精確預言的方式改變數百萬人的人生軌跡， 這與蝴蝶效應的表述顯然有著極大的相似性。 這種出現在科幻小說中的近乎先知先覺的描述， 初看起來很令人吃驚， 其實並不奇怪。 因為現實世界本身就是一種最複雜的自然現象， 象蝴蝶效應那樣的東西， 遠在它成為科學研究的對象之前， 就早已出現在了人們的日常經驗中。 所謂 「差之毫厘， 謬之千里」、 「牽一髮動全身」 等， 都在一定程度上體現了這種效應。

但從那些日常體驗上升為明確的理論表述， 則是一個困難得多的問題。

從 19 世紀末到 20 世紀中葉， 經過龐加萊、 利雅普諾夫 (Aleksandr Lyapunov)、 弗蘭克林 (Philip Franklin)、 馬科夫 (Andrei Andreevich Markov)、 伯克霍夫 (George David Birkhoff) 等人的一系列研究， 人們對這個困難得多的問題終於有了一定的認識。 人們發現， 對於滿足一定條件的物理體系來說， 只有周期性或近周期性 (near periodic) 的運動才不會因為初始條件的細微改變而產生劇烈變動。 依照這個結果， 如果運動是非周期性的， 那麼初始條件的細微改變就會對體系的演化造成巨大影響。 因此， 這個結果不僅確立了蝴蝶效應的存在， 而且還對它的產生條件給出了一定的描述。 但是， 那時侯人們最感興趣的只是周期運動， 因此有關非周期運動的結果雖可作為推論得到， 在當時的學術文獻中卻極少提及。 正因為如此， 十幾年後當美國科學家洛倫茲 (Edward Norton Lorenz) 在數值計算中再次遭遇蝴蝶效應的時侯， 依然感到了極大的驚訝。 也正因為如此， 發現蝴蝶效應的榮譽在很大程度上被後人歸到了洛倫茲的頭上。

三. 模擬天氣

洛倫茲是一位資深的氣象學家， 早在二戰時期就在美國軍方機構從事氣象預測研究。 戰爭結束後， 洛倫茲來到了麻省理工學院 (MIT)， 繼續從事研究工作。 從理論上預測氣象變化——尤其是給出長期預測——是氣象學家們夢寐以求的目標。 但這一目標的實現卻始終困難重重。 這種困難是不難理解的， 因為地球的大氣層是一個巨大的流體系統， 所有流體力學所具有的複雜性， 包括那個連上帝也未必知道起源的湍流問題， 都會出現在大氣層中。 更何況， 大氣層的行為與海洋、 地表、 日照等各種複雜的外部條件都有著密切關係； 而且大氣層的組成相當複雜， 其中有些組成部分——如水汽——的形態還常常會在氣態、 液態、 及固態之間變化。 所有這一切， 都使得氣象預測成為了一個極其困難的課題。

在洛倫茲從事氣象研究的時侯， 從理論上預測氣象變化主要有兩類方法。 一類被稱為動力氣象學 (dynamic meteorology)， 這類方法主要是把大氣層看作一個流體系統， 然後選取一些重要的物理量——如溫度、 風速等——進行研究。 由於問題的高度複雜， 人們還把大氣層像切蛋糕一樣分割成許多區域， 每個區域都用一個點來代表。 顯然， 這是極其粗糙的近似， 但即便如此， 整個大氣層的狀態往往還是需要幾百萬甚至更大數目的變數來描述^[注五]。 換句話說， 即便是求解一個非常粗糙的氣候模型， 往往也需要處理帶有幾百萬個未知數的方程組。 這無疑是極其困難的 (但不是完全沒有希望的)。 除了動力氣象學外， 還有一類方法被稱為天氣學 (synoptic meteorology)， 這類方法的特點是把對氣候影響最大的一些大氣結構， 比如各種氣旋， 直接作為研究對象。 天氣學所使用的規律， 有許多是描述那些大氣結構的經驗規律， 而不是象流體力學那樣系統性的物理理論。 從這個意義上講， 天氣學不如動力氣象學那樣基本。 但天氣學的優點， 是把從動力氣象學角度看非常複雜的某些大氣結構作為了基本單元， 從而有著獨特的簡化性。

洛倫茲所採用的主要是天氣學方法。 經過大量的簡化後， 洛倫茲得到了一個含有 14 個變數， 且其中有一到兩個變數的影響可以忽略的模型。 但即使那樣的模型用手工計算也是非常困難的， 於是洛倫茲決定藉助計算機的幫助。 當時是 1959 年， 距離個人計算機的問世還有二十幾年。 洛倫茲所使用的機器用今天的標準來衡量是極為簡陋的： 體積龐大， 噪音驚人， 內存卻只有今天普通個人計算機內存的百萬分之一。 經過幾個月的努力 (主要是編程)， 洛倫茲終於在那台機器上運行起了他的模擬天氣。

四. 奇怪的結果

日子平靜地流逝著， 洛倫茲與同事們間或地就模擬天氣的演變打上一些小賭， 聊以消遣。 終於有一天， 洛倫茲決定對某一部分計算進行更為仔細的分析。 於是他從原先輸出的計算結果中選出了一行數據——相當於某一天的天氣狀況——作為初始條件輸入了程序。 機器從那一天的數據開始了運行， 洛倫茲則離開了辦公室， 去喝一杯悠閑的咖啡。 中國的神話故事中有所謂 「洞中方一日， 世上已千年」 的傳說， 洛倫茲的那杯咖啡就喝出了那樣的境界。 一個小時後， 當他回到實驗室時， 他的模擬世界已經運行了兩個月。 洛倫茲一看結果， 不禁吃了一驚！ 因為新的計算結果與原先的大相徑庭。

這一結果為什麼令人吃驚呢？ 因為這次計算所用的初始條件乃是從舊數據中選出來的。 既然初始條件是舊的， 所得的結果——在與舊數據可以比較的範圍內——理應也跟舊數據相同， 卻怎麼會大相徑庭呢？ 洛倫茲的第一個反應是機器壞了——這在當時是經常發生的事情。 但是， 當他對結果做了更仔細的檢驗後， 很快排除了那種可能性。 因為他發現， 新舊計算的結果雖然最終大相徑庭， 但在一開始卻很相似， 兩者的偏差是在經過了一段指數增長過程之後才徹底破壞相似性的。 如果機器壞了， 是沒有理由出現這種 「有規律」 的偏差的。

既然機器沒有問題， 那麼究竟是什麼原因造成了新舊計算之間的巨大偏差呢？ 洛倫茲很快找到了答案。 原來， 洛倫茲的程序在運行時保留了十幾位有效數字， 但在輸出時為了讓所有變數的數值能列印在同一行里， 他對每個變數都只保留了小數點後 3 位有效數字。 因此， 當洛倫茲把以前輸出的數據——即所謂舊數據——作為初始條件輸入新一輪計算時， 它與原先計算中保留了十幾位有效數字的數據相比， 已經有了微小的偏差。 洛倫茲的計算表明， 在他的模擬系統中， 這些微小的偏差每隔 4 天就會翻一番， 直至新舊數據間的相似性完全喪失為止。

這正是蝴蝶效應！

由於蝴蝶效應的存在， 洛倫茲意識到長期天氣預報是註定不可能有高精度的。 因為我們永遠不可能得到絕對精確的初始條件， 而且由於任何計算設備的內存都是有限的， 我們在計算過程中也永遠不可能保留無限的精度， 所有這些誤差都會因蝴蝶效應的存在而迅速 (指數性地) 擴大， 從而不僅使一切高精度的長期氣象預測成為泡影， 而且葬送了建立在決定論思想之上的對物理現象進行精確預言的夢想^[注六]。

蝴蝶效應的發現還讓洛倫茲回憶起一件他念本科時發生的事情。 那是在 20 世紀 30 年代， 當時他所在的鎮上有許多學生迷上了彈球遊戲 (pinball game)， 那是一種讓小球在一張插有許多小針的傾斜桌子上經過多次碰撞後進入特定小孔的遊戲。 當地政府曾想以禁止賭博為由禁止這種遊戲， 但遊戲的支持者們爭辯說這不是賭博， 而是一種有關擊球準確度的技巧比賽。 他們的理由一度說服了政府官員， 因為當時大家並不知道彈球遊戲其實包含了蝴蝶效應， 從而無論多高明的技巧都是無濟於事的。

五. 從蝴蝶到颶風

發現蝴蝶效應後的第二年， 即 1960 年， 洛倫茲在一次學術會議上粗略地提及了自己的發現， 但沒有發表詳細結果。 會議之後， 洛倫茲感到自己的模型仍然太複雜， 他決定尋找更簡單的模型。 1961 年， 他從同事索茲曼 (Barry Saltzman) 那裡得到了一個只含 7 個變數 (即比他自己的模型少了一半的變數) 的流體力學模型^[注七]。 經過研究， 洛倫茲很快發現， 在索茲曼的模型中， 有 4 個變數的數值很快就會變得可以忽略。 因此， 這一模型的真正行為可以用一個只含 3 個變數的方程組來描述， 這個只含 3 個變數的方程組後來被冠上了洛倫茲的大名， 稱為洛倫茲方程組 (Lorenz equations)。 利用這一方程組， 洛倫茲再次確認了蝴蝶效應的存在^[注八]， 並於 1963 年在《大氣科學雜誌》(Journal of the Atmospheric Sciences) 上發表了題為 「確定性非周期流」 (Deterministic Nonperiodic Flow) 的論文， 正式公布了自己的結果。

不過， 無論是洛倫茲的原始論文， 還是此後若干年內的其它有關著作， 都沒有直接使用 「蝴蝶效應」 這一名稱。 洛倫茲本人有時用海鷗造成的大氣擾動來比喻初始條件的細微改變。 「蝴蝶」 這一 「術語」 的使用是在 9 年後的 1972 年。 那一年洛倫茲要在華盛頓的一個學術會議上做報告， 卻沒有及時提供報告的標題。 於是會議組織者梅里利斯 (Philip Merilees) 「擅作主張」 地替洛倫茲擬了一個題目： 「巴西的蝴蝶拍動翅膀會引發德克薩斯的颶風嗎？」 (Does the flap of a butterfly"s wings in Brazil set off a tornado in Texas?)。 就這樣， 美麗的蝴蝶隨著梅里利斯的想像飛進了科學術語之中^[注九]。

除上述原因之外， 「蝴蝶效應」 的得名還有另外一個原因， 那就是洛倫茲模型中有一個所謂的奇怪吸引子 (strange attractor)， 它的形狀從一定的角度看很象一隻展翅的蝴蝶 (見右圖)。 不過 「蝴蝶效應」 這一名稱的最終風行， 在很大程度上要歸因於美國科普作家格雷克 (James Gleick) 的科普作品《混沌：開創新科學》(Chaos: Making a New Science)。 這部作品被譯成了多國文字， 對混沌理論 (蝴蝶效應是混沌理論的一部分) 在世界範圍內的熱播起了極大的促進作用的作品的第一章的標題就是 「蝴蝶效應」。 2004 年， 蝴蝶效應甚至被搬上了銀幕， 成為一部科幻影片——雖然是不太成功的影片——的片名。

蝴蝶效應及混沌理論在世界範圍內的風行， 一度使許多人產生一種錯覺， 以為物理學的又一次革命到來了。 在這種 「激情」 的鼓舞下， 這一領域湧現出了大量文章， 其中包括不少低水平及浮誇的工作。 從物理學的角度講， 蝴蝶效應及混沌理論並不包含新的原理性的東西， 它們對物理學的最大啟示是： 形式上簡單的物理學定律有可能包含巨大的複雜性， 從而有可能解釋比我們曾經以為的更為廣闊的自然現象。 這一點早在洛倫茲的論文發表之前， 就已經被一些物理學家注意到了。 20 世紀 60 年代初， 美國物理學家費曼 (Richard Feynman) 在給本科生講課——那些課程的內容後來彙集成了著名的《費曼物理學講義》(The Feynman Lectures on Physics)——時， 就非常清晰地闡述了這一點。 他在介紹了流體力學中的若干複雜性之後這樣寫道：

對物理學懷有莫名恐懼的人常常會說， 你無法寫下一個關於生命的方程式。 嗯， 也許我們能夠。 事實上， 當我們寫下量子力學方程式 Hψ = i?ψ/?t 的時候， 我們很可能就已在足夠近似的意義上擁有了這樣的方程式。 我們剛才就看到了事物的複雜性可以多麼容易且富有戲劇性地逃脫描述它們的方程式的簡單性。

費曼曾經希望人類的下一次智力啟蒙會帶給我們理解物理定律複雜內涵的方法。 混沌理論的發展部分地體現了費曼的希望， 但今天我們對這一領域的了解， 在很大程度上依賴於計算技術的發展， 與真正的智力啟蒙還有一定的距離。 真正的智力啟蒙究竟會出現在什麼時候？ 也許就像洛倫茲的天氣一樣， 誰也無法準確預測， 但我們會拭目以待。

注釋

1. 不過後來的研究表明， 海王星在距離理論預言非常近——相差不到 1°——的位置上被發現有一定的偶然性。 關於這一點， 可參閱拙作 尋找太陽系的疆界 的 第 20 節。
2. 量子力學的狀態演化是決定論性的， 但量子測量過程是否也是決定論性的， 則有一定的爭議 (雖然非決定論性的觀點明顯佔優)。
3. 這還是在假定引力是由牛頓萬有引力定律所描述的情況下， 如果改用廣義相對論， 則連二體問題也無法嚴格求解。
4. 不過《科學與方法》是一部科學哲學著作， 龐加萊在自己的學術論文中並未明確表述過類似的結論。
5. 舉個例子來說， 如果把大氣層用長、 寬、 高分別為 100 公里、 100 公里、 及 100 米的單元進行分割， 則描述整個大氣層——假定高度為 30 公里——的溫度與風速所需的變數總數大約為 500 萬。 分割越細、 引進的物理量越多， 所需的變數數目也就越大。
6. 嚴格地講， 由於無法得到精確的初始條件， 以及無法在計算過程中保留無限的精度， 即便沒有蝴蝶效應， 絕對精確的預言也是不可能的。 但在沒有蝴蝶效應的情況下， 誤差的影響往往是可控制的， 蝴蝶效應的出現使誤差的影響變得不可控制。 另外需要說明的是， 這裡所說的 「葬送了建立在決定論思想之上的對物理現象進行精確預言的夢想」 與建立在微分方程解的存在及唯一性基礎之上的決定論本身不是一回事， 後者不會因為蝴蝶效應而破滅。
7. 索茲曼與 20 世紀上半葉的那些科學家一樣， 對周期運動更感興趣， 因此沒能在自己的模型上做出像洛倫茲那樣的發現， 雖然他在自己的模型中也已經發現了一些非周期性的解。
8. 在這一點上， 洛倫茲很受幸運女神的眷顧。 他的方程組中含有一個被稱為普朗特常數 (Prandtl constant) 的參數， 這個參數對於水大約為 10， 對於空氣則大約為 1。 洛倫茲與索茲曼都是氣象學家， 他們採用的數值原本應該是對應於空氣的 1， 但實際上兩人卻都採用了對應於水的 10。 後來的研究發現， 如果當時他們採用了對應於空氣的普朗特常數， 那個模型的解將是周期性的， 洛倫茲將不可能得到他所需要的結果。
9. 不過那篇演講的全文當時並未發表。 另外需要提醒讀者的是： 蝴蝶效應的這一通俗表述有一定的誤導性， 容易讓人以為在 「蝴蝶拍動翅膀」 與 「德克薩斯的颶風」 之間存在直接的因果聯繫。 事實上， 「蝴蝶拍動翅膀」 和 「德克薩斯的颶風」 只是泛指初始條件的細微改變和體系未來演化的巨大變化， 「德克薩斯的颶風」 的物理起因有賴於無數的因素， 絕非只是 「蝴蝶拍動翅膀」。

參考文獻

1. E. A. Jackson, Perspectives of Nonlinear Dynamics vol.1 (Cambridge University Press, 1989).
2. E. N. Lorenz, The Essence of Chaos(University of Washington Press, 1995).

二零零六年七月二十三日寫於紐約二零零六年十一月九日發表於本站二零一四年九月二十四日最新修訂http://www.changhai.org/

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