有趣的數字分拆法

06-19

　　我們先來看一個有趣的現象：　　先選擇一個整數60，因為60的因數相對較多，我們選60這個數字作為研究對象。　　把數字60除以２,分成30+30,這時30*30=900；　　把60除以３，分成20+20+20，20*20*20=8000；　　把60除以４，分成15+15+15+15，15*15*15*15=50625；　　　......　　可以發現，把６０分拆開的數字越小，所分數字的個數越多，這些數字相乘所得的積也越大，那麼這個現象是不是無止境地成立呢？　　我們知道，如果把６０分成６０個１，就是60=1+1+1+...+1，那麼這些１相乘所得的積就只能是１了；如果再分得數多一些，使得每個所分的數字小於１，那麼這些數的乘積將會小於１了。再進一步說，把６０分成無窮個相同的數時，這些數將趨近於０，那它們的乘積就會趨近於０了。　　這說明，上述現象不是無止境地成立，到某個時候就會向反方向變化的。　　那麼，把６０分成n個怎樣一個數，才能使這n個數相乘得到最大的積呢？　　現在設任意整數為N，拆分的數字為x,這樣所分的數字個數n=N/x,可列出： y=x^(N/x) ，x^(N/x)表示x的(N/x)次方，y就是這n個相同的數字相乘的積。兩邊取自然對數，得：lny=(N/x)*lnx,兩邊對x求導數，(1/y)*y"=-N/x^2*lnx+(N/x)*(1/x) 化簡得：y"=[N(1-lnx)*x^(N/x)]/x^2 為求駐點，令y"=0,得 1-lnx=0 就是：x=e=2.71828　可見，當拆分的n個相同的數字為e這個無理數時，乘積為最大，還以60為例，取e=2.7,則有60/e=60/2.7=22.22，就是分拆成22.22個2.7,這22.22個2.7相乘的積是：2.7^22.22=3845057508，竟然達到38億之多！這還只是取的近似值，實際上e^(60/e)>3855499742。因為３是最接近e的正整數，所以我們如果取整數時，以分拆成n個3時,乘積為最大。這時,60/3=20,20個３相乘得：3^20=3486784401，可以證明，這是60拆分成n個數(n為自然數)，再相乘所得的最大值。