聊聊GIS中那些坐標系
從第一次上地圖學的課開始，對GIS最基本的地圖坐標系統就很迷。也難怪，我那時候並不是GIS專業的學生，僅僅是一門開卷考試的專業選修課，就沒怎麼在意。
等我真正接觸到了各種空間數據產品，我才知道萬里長征第一步就是：處理坐標系統。
想必各位從業人員多多少少都會聽說過幾個名詞，可能有那麼點印象吧。比如，高斯克呂格，北京54，西安80，WGS84，投影坐標系統等等。
今天就從頭說起，講講那些坐標系統的事情。
慣例，給個目錄：
- 經緯度與GCS（Geographic Coordinate System, 地理坐標系統）
- 平面坐標與PCS（Projection Coordinate System, 投影坐標系統）
- GCS和PCS的轉化問題（三參數與七參數問題）
- 火星坐標問題
- 在第一部分，我介紹一下以經緯度為準的地理坐標系統，也順帶提及一下我國的高程坐標系。主要涉及的內容有：大地水準面問題，橢球問題，常見的GCS（如北京54，西安80，CGCS2000，WGS84等），讓大家看到GIS數據中的GCS馬上就能知道這是什麼東西。
- 在第二部分，我介紹一下以平面直角坐標係為量度的投影坐標系統。主要涉及的內容有：PCS與GCS的關係，我國常見的PCS（高斯克呂格、蘭伯特/Lambert、阿爾伯斯Albers、墨卡托Mercator、通用橫軸墨卡托UTM、網路墨卡托Web Mercator）。
- 在第三部分，是實際操作過程中遇到的種種問題，如投影不對會出現什麼情況、如何轉換GCS、如何切換PCS（重投影問題）等問題，涉及一些數學轉換的思維，需要有一定的空間想像能力。
- 在第四部分，我簡單介紹一下所謂的火星坐標。
那麼我們開始吧！
1. 經緯度與GCS天氣預報也好，火箭發射也罷，地震、火山等事故發生時，電視台總會說東經XX度，北緯YY度。這個經緯度中學地理就學過了，我就不細說了。
我從如何描述地球說起。
1.1 凹凸不平的地球誰都知道地球表面不平坦，它甚至大概形狀都不是一個正球體，是一個南北兩極稍扁赤道略胖的胖子，胖度大概是20km，在外太空幾乎看不出來的，這也可能和星球長期受到潮汐引力、太陽引力以及自身旋轉的向心力有關。這裡不是地球科學，就不再深究了。
為了能讓地球出現在數學家的公式里，我們曾經走過了2個階段：用平靜的海面描述地球——用虛擬的旋轉橢球面描述地球表面。
這裡也不是地圖學，再深入下去其實還有似大地水準面等概念。就挑重點講。
「假設地球表面都是水，當海平面風平浪靜沒有波瀾起伏時，這個面就是大地水準面。」大家應該知道，在太空失重的環境下，水相對靜止狀態是個正球體，那麼肯定很多人就認為，大地水準面就是個正球面。不是的，還需要考慮一個問題：地球各處的引力不同。引力不同，就會那兒高一些，這兒低一些，儘管這些微小的差距肉眼難以觀測出來，可能隔了好幾千米才會相差幾厘米。所以，在局部可能看起來是個球面，但是整體卻不是。顯然，用大地水準面來進行數學計算，顯然是不合適的，至少在數學家眼中，認為這不可靠。
所以找到一個旋轉橢球面就成了地理學家和數學家的問題。（注意區分橢球面和旋轉橢球面這兩個數學概念，在GCS中都是旋轉橢球面）
給出旋轉橢球面的標準方程：
(x2+y2)/a2+z2/b2=1
其中x和y的參數相同，均為a，這就代表一個繞z軸旋轉的橢圓形成的橢球體。不妨設z軸是地球自轉軸，那麼這個方程就如下圖是一個橢球體，其中赤道是個圓。
這樣，有了標準的數學表達式，把數據代入公式計算也就不是什麼難事了。
由此我們可以下定義，GIS坐標系中的橢球，如果加上高程系，在其內涵上就是GCS（地理坐標系統）。其度量單位就是度分秒。
描述一個旋轉橢球面所需的參數是方程中的a和b，a即赤道半徑，b即極半徑，f=(a-b)/a稱為扁率。
與之對應的還有一個問題：就是坐標中心的問題。（地球的中心在哪裡？）
【注】十九世紀發現赤道也是一個橢圓，故地球實際應以普通橢球面表示，但是由於各種原因以及可以忽略的精度內，一直沿用旋轉橢球體作為GCS。
1.2 參心坐標系、地心坐標系上過中學物理的人知道，物體均有其質心，處處密度相等的物體的質心在其幾何中心。所以，地球只有一個質心，只是測不測的精確的問題而已。由地球的唯一性和客觀存在，以地球質心為旋轉橢球面的中心的坐標系，叫地心坐標系，且唯一。當然，由於a、b兩個值的不同，就有多種表達方式，例如，CGCS2000系，WGS84系等，這些後面再談。
【注】地心坐標系又名協議地球坐標系，與GPS中的瞬時地球坐標系要對應起來。
但是又有一個問題——政治問題，地圖是給一個國家服務的，那麼這地圖就要儘可能描述準確這個國家的地形地貌，盡量減小誤差，至於別國就無所謂。
所以，就可以人為的把地球的質心「移走」，將局部的表面「貼到」該國的國土，使之高程誤差盡量減小到最小。
這個時候，就出現了所謂的「參心坐標系」。即橢球中心不在地球質心的坐標系。如下圖：
綠色的球就是為了貼合赤道某個地方而產生了平移的參心系（這裡只是個例子，而且畫的有點誇張）。
我國常用的參心系及對應橢球：
我國常用的地心系及對應橢球：
為什麼CGCS2000和WGS84要略微有些偏差？這是因為WGS84系是GPS的坐標系，而我國北斗定位則是需要自己的坐標系，就搞了一波CGCS2000。
這幾個坐標系的介紹放在下一節，而這些橢球體的轉換將在第三部分介紹（主要就是數學中，空間直角坐標系旋轉的問題）。
1.3 我國常見GCS藉助以下4個常見坐標系及橢球體，就可以推及到世界各地不同的GCS及橢球體，完成數據的轉化問題。
1.3.1 北京54坐標系（參心）新中國成立以後，我國大地測量進入了全面發展時期，再全國範圍內開展了正規的，全面的大地測量和測圖工作，迫切需要建立一個參心大地坐標系。由於當時的「一邊倒」政治趨向，故我國採用了前蘇聯的克拉索夫斯基橢球參數，並與前蘇聯1942年坐標系進行聯測，通過計算建立了我國大地坐標系，定名為1954年北京坐標系。因此，1954年北京坐標系可以認為是前蘇聯1942年坐標系的延伸。它的原點不在北京而是在前蘇聯的普爾科沃。
1.3.2 西安80坐標系（參心）
改革開放啦，國家商量要搞一個更符合國用的坐標系——西安80坐標系，該坐標系的大地原點設在我國中部的陝西省涇陽縣永樂鎮，位於西安市西北方向約60公里。
1.3.3 WGS84坐標系（地心）
全稱World Geodetic System - 1984，是為了解決GPS定位而產生的全球統一的一個坐標系。
1.3.4 CGCS2000坐標系（地心）
2000國家大地坐標系是全球地心坐標系在我國的具體體現，其全稱為China Geodetic Coordinate System 2000，其原點為包括海洋和大氣的整個地球的質量中心。
【注】CGCS2000的定義與WGS84實質一樣。採用的參考橢球非常接近。扁率差異引起橢球面上的緯度和高度變化最大達0.1mm。當前測量精度範圍內，可以忽略這點差異。可以說兩者相容至cm級水平
最後一張表總結一下：
有趣的是，在ArcGIS的GCS文件夾下，找到了一個「新北京54坐標系」，這是為了使54和80之間方便轉化而產生的一個過渡坐標系。
2. 平面坐標與PCS說完了以經緯度為計量單位的GCS，那麼我再來說說以平面（空間）直角坐標係為度量衡的投影坐標系（PCS，Projection Coordinate System）。
說一個具體的問題以解釋為什麼要用PCS。
如何用經緯度表達一塊地的面積？
這沒辦法吧？經緯度本身不帶單位，度分秒僅僅是一個進位。
而且同樣是1度經度，在不同的緯度時代表的弧段長是不一樣的。
這就給一些地理問題帶來了困惑：如何建立一個新的坐標系使得地圖分析、空間分析得以定量計算？
PCS——投影坐標系就誕生了。
我要著重介紹一下我國的6種常用投影方式：
很多課本、博客都寫的很詳細了，我想從3D的圖形來描述一下他們是怎麼個投影的。
2.1 從投影說起
如上圖。光線打到物體上，使得物體產生的陰影形狀，就叫它的投影。這個不難理解。
這裡我想問一個問題：既然投影物體，是不變的，那麼我把投影的平面改為曲面呢？
這就產生了不同的投影，比如投射到一個圓錐面上，一個圓柱面上，一個平面上...等等。
不同的投影方式有不同的用途，也有了不同的投影名稱。
但是，PCS是基於存在的GCS的，這個直接規定。沒有GCS，就無從談PCS，PCS是GCS上的地物投射到具體投影面的一種結果。
即：
PCS=GCS+投影方式
2.2 我國常見投影2.2.1 高斯克呂格投影/橫軸墨卡托投影
英文名Gauss Kruger。在一些奇奇怪怪的原因中，又名橫軸墨卡托投影，英文名Transverse Mercator。
它的投影面是橢圓柱面，假設橢圓柱躺著，和地軸垂直，而且投影面與之相切，就是橫軸墨卡託了。
中央那條黑線就是投影中心線，與橢圓柱面相切。這條線逢360°的因數就可以取，一般多用3度帶、6度帶。
就是說，這個投影橢圓柱面可以繼續繞著地軸繼續轉，圖中還有一條經線，兩條相差6度。
橢圓柱面旋轉6度，繼續投影，直到360/6=60個投影帶投影完畢。
注意3度帶和6度帶的起算經線不同，以及Y方向（赤道方向）前需要加投影帶號。
高斯克呂格已經廣為熟知了，我就不作具體介紹，大家可以找比我解釋的更好的，我只是擺個圖希望大家看的更仔細。
這個投影的特點是，等角/橫/切橢圓柱/投影。
即
適用比例尺：1：2.5萬~1：100萬等使用6度分帶法；1：5000~1：10000使用3度分帶法。
【注】在ArcGIS中，不同的GCS的PCS是不同的，以CGCS2000、西安80和北京54為例：
CGCS2000_3_Degree_GK_CM_111E：CGCS2000的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，以中央經線為東經111度的投影帶的投影坐標系
CGCS2000_3_Degree_GK_Zone_30：CGCS2000的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，第30個投影帶的投影坐標系
Beijing_1954_3_Degree_GK_CM_111E：北京54的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，以中央經線為東經111度的投影帶的投影坐標系
Beijing_1954_3_Degree_GK_Zone_35：北京54的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，第35個投影帶的投影坐標系
Xian_1980_3_Degree_GK_CM_111E：西安80的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，以中央經線為東經111度的投影帶的投影坐標系
Xian_1980_3_Degree_GK_Zone_34：西安80的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，第34個投影帶的投影坐標系
不難發現，都是以GCS起頭的命名法。
2.2.2 墨卡托投影
英文名Mercator投影。
數學上，投影面是一個橢圓柱面，並且與地軸（地球自轉軸）方向一致，故名：「正軸等角切/割圓柱投影」。
既可以切圓柱，也可以割圓柱。
其實就是高斯克呂格的圓柱面豎起來。
2.2.3 通用橫軸墨卡托投影（UTM投影）英文全稱Universal Transverse Mercator。是一種「橫軸等角割圓柱投影」
和高斯克呂格類似，高斯克呂格的投影面是與橢球面相切的，這貨與橢球面相割。
實質上
其餘性質都和高斯克呂格投影一樣。
割於緯度80°S和84°N。中央經線投影后，是原長度的0.9996倍。
不過，起算投影帶是180°經線，174°W則是第二個投影帶的起算經線。
由於有以上優點，UTM投影被許多國家和地區採用，作為大地測量和地形測量的投影基礎。
【注】UTM投影是我國各種遙感影像的常用投影。
【注2】UTM投影在ArcGIS中的定義
例如：
WGS_1984_UTM_Zone_50N，就代表WGS1984的GCS下，進行UTM投影，投影帶是50N.
WGS_1984_Complex_UTM_Zone_25N，就代表WGS1984的GCS下，進行3度分帶UTM投影，投影帶是25N.
2.2.4 Lambert投影中文名蘭伯特投影、蘭博特投影。
我國地形圖常用投影，比如1：400萬基礎數據：
（GCS是北京54）可以看到授權是自定義，說明這個投影是自定義的，沒有被官方收錄。等到第三部分再說怎麼自定義投影。
我國的基本比例尺地形圖(1:5千，1:1萬，1:2.5萬，1:5萬，1:10萬，1:25萬，1:50萬，1:100萬)中，1:100萬地形圖、大部分省區圖以及大多數這一比例尺的地圖多採用Lambert投影。
蘭伯特投影是一種「等角圓錐投影」。
ArcGIS中的投影系一般帶有Lambert_Conformal_Conic等字樣，國際上用此投影編製1∶100萬地形圖和航空圖。
它就像是一個漏斗罩在乒乓球上：
更標準的畫法，見下圖，有切和割兩種。
它沒有角度變形。
這個漏斗的傾斜程度，就有三種：正軸、橫軸、斜軸。就是圓錐的方向和地軸的方向的問題。
2.2.5 Albers投影中文名阿伯斯投影。又名「正軸等積割圓錐投影」，常用於我國各省市的投影。
和上一個蘭伯特圖形類似，就是一個圓錐與橢球面切割，進行等積投影。
給了官方WKID：102025.
與Lambert投影的區別大概就在一個等角，一個等積投影了。
2.2.6 Web墨卡托（WebMercator投影）這是一個由Google提出的、為了自家GoogleMap而專門定義的一種投影，是墨卡托投影的一種變種。
主要是將地球橢球面當作正球面來投影，這就會導致一定的誤差。
直接看看ArcGIS中的定義：
給了WKID：3857，名字是WGS_1984_Web_Mercator_Auxiliary_Sphere，意思就是在WGS84的GCS下進行web墨卡托投影。
現在，經常被百度地圖等網路地圖採用，估計是Web程序員想省事吧。
3. GCS與PCS的轉換問題（ArcGIS實現）3.1 GCS轉GCS這就是屬於空間解析幾何里的空間直角坐標系的移動、轉換問題，還有個更高級的說法——仿射變換。
我們知道，空間直角坐標系發生旋轉移動縮放，在線性代數里再常見不過了。在攝影測量學中，旋轉矩陣就是連接像空間輔助坐標系與像空間坐標系的轉換參數（好像不是這倆坐標系，忘了）
欲將一個空間直角坐標系仿射到另一個坐標系的轉換，需要進行平移、旋轉、縮放三步，可以無序進行。
而平移、旋轉又有三個方向上的量，即平移向量=（dx,dy,dz）和旋轉角度（A,B,C），加上縮放比例s，完成一個不同的坐標系轉換，就需要7參數。
我們知道，地心坐標系是唯一的，即原點唯一，就說明平移向量是0向量，如果縮放比例是1，那麼旋轉角度（A,B,C）就是唯一的仿射參數，即3參數。
上圖左圖為坐標系平移，右圖為坐標系旋轉。縮放可以在任意階段進行。
——————以上為理論預備——————
說了這麼多理論，如何進行GCS轉換呢？假設一個數據源已經有了GCS，我們需要做的操作只有一個：
打開如下工具：數據管理工具/投影和變換/投影，設置界面如下（以WGS1984轉西安80為例）：
別選錯了，這裡輸入輸出都是GCS。然後出現以下警告：
這就告訴你，需要參數轉換。在這裡，WGS84轉西安80，是屬於7參數轉換（地心轉參心），但是缺少7參數，就需要自己去測繪局買或者自己粗略算。
那麼如何定義一個地理坐標變換呢？
使用投影的旁邊的工具：
即可。見下圖：
使用Position_Vector方法（即7參數法）即可輸入7參數。我就不輸入了，各位有數據的可以繼續做。
關於3參數和7參數，在ArcGIS幫助文檔里都寫有的，目錄如下：
3.2 GCS進行投影
這個就更簡單了。
隨便挑個GCS，喜歡什麼用什麼，如西安80投影到UTM投影，都可以的。
仍然是上節提及的「投影工具」：
這樣就可以了，這裡是以WGS84的GCS投影到UTM的第50分度帶上。
如果是進行柵格數據的投影，就用「柵格」文件夾下的「投影柵格」工具。
如果所需投影系沒有自己需要的GCS，就自定義一個：
這個窗口在Catalog浮動窗或者Catalog軟體里打開某個數據的屬性，找到XY坐標系的選項卡，就可以新建。
【注】如果在數據的屬性頁的XY坐標系選項卡，或者圖層數據框的XY坐標系選項卡中修改GCS，這僅僅是改個名，坐標值還是原來的坐標繫上的，這代表老坐標值並沒有轉換到新坐標繫上。形象的說，就是換湯不換藥，這是不對的。我這裡說的用投影的方法，才是真正的坐標仿射變換到新的坐標系，使之更改數值，形成在新的坐標系下的新坐標值。
3.3 PCS轉PCS（重投影）最常見的就是下載了谷歌影像圖，是Web墨卡托的投影，但是實際又需要高斯投影，那麼基於WGS84這個GCS，就可以進行重投影。
在這裡，我就以UTM投影轉Web墨卡托投影為例：
這次是用「柵格」文件夾下的「投影柵格」工具：
一般選好紅框的三個參數即可。
如果仍然提示需要地理坐標變換的警告，說明不是一個GCS的數據，需要3參數或者7參數轉換。
柵格數據類似，使用「投影工具」。
工具定位。
3.4 定義投影這不是定義一個投影坐標系，而是給有坐標值的矢量或者柵格數據添加一個投影坐標系而已。
使用「定義投影」工具即可，既可以定義GCS，也可以定義PCS（這軟體的中文翻譯有點毛病）。
3.5 地理配准與空間校正這個就不多說了，地理配准就是使屏幕坐標系的掃描地圖仿射、二次三次變換到真正投影坐標系的過程，自動加上目標數據的PCS。有了PCS後就會自動加上GCS。
地理配准主要是針對柵格數據。
空間校正則是針對矢量數據進行仿射、二次、三次變換。
3.6 可能出現的錯誤3.6.1 顯示幾十萬位數字的「經緯度」
如上圖。
這是有了PCS後，在Catalog的數據屬性頁的XY坐標系選項卡里，選中GCS，然後應用的結果。
原本是方里網的數字，變成了GCS才有的度分秒。
解決方法：Catalog屬性頁將GCS改回原來的PCS即可。
3.6.2 顯示三位數、兩位數的「米」這個暫時沒找到案例，曾經見過。
3.6.3 顯示一個幾乎是0，一個又很大很大位數的數字
如上圖。
這個屬於數據本身有GCS，但是在Catalog的XY坐標系選項卡里給它添加PCS然後應用後，可能會出現的錯誤。
解決方法：在Catalog屬性頁的XY坐標系選項卡里，選中原來的GCS然後應用即可。
如果數據本身沒有PCS，應該做的是投影操作。
3.6.4 大範圍的數據給了小範圍的投影例如，整個中國地圖理應跨越好幾個投影帶，卻給了某一個投影帶的投影坐標系，這就會出現負值。如下圖，紅框箭頭是滑鼠的位置。
這個按理說應該用蘭伯特投影，但是卻給了一個UTM第49區的PCS，所以在中央經線靠左很多的位置會出現負值。
解決方法：這個直接做重投影即可。
以上四種錯誤比較常見，但是手頭沒有案例，以後遇到再發上來吧。
總結一下：
4. 火星坐標
火星坐標這個東西很常見，出現在互聯網地圖上。例如百度、騰訊、谷歌等地圖。
出於保密等政治因素，地圖的GCS坐標值，會被一種特殊的數學函數加密一次，會偏離真實坐標數百米的距離，但是反饋到用戶端的卻是正確的位置信息（也就是說你拿到GCS坐標也沒用，拿GPS到實地跑跟拿著地圖定位，可能會偏出幾十米甚至一百米的距離）。
火星坐標系原名國測局坐標系（GCJ-02），有篇文章比我寫的透徹多了，甚至給出了還原代碼，我放到參考資料了，有興趣的可以看看。
參考資料你所不知的有趣投影方法
ArcGIS將WGS84坐標轉北京54或西安80
百度坐標（BD09）、國測局坐標（火星坐標，GCJ02）、和WGS84坐標系互轉
&ArcGIS 幫助文檔
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