從場的意義說開去

　　今天在單位加班做測試（泥煤的我怎麼老加班！！！），測試最近做的東西的耗電情況如何。

　　這方面比較悲劇的是，為了可以得到不被干擾的數值，每次測試都是把手機的電充滿，然後干跑二十分鐘。於是算上充電的時間，折騰一次至少半小時沒了。

　　於是就想到，這次回學校，見到不少學弟，其中有一個學霸類型的學弟問了我老闆一個問題，關於量子場論中的場的。

　　大意就是說，薛定諤方程用的是哈密頓演算法，而路徑積分的作用量用的是拉氏量而非哈密頓量，同時我們又知道拉氏量和哈密頓量並不總能一一對應（有拉氏量必然可以通過變換得到哈密頓量，但對於非保守體系這反過來的過程就不一定能做到了），那這裡是否會有問題？

　　這個問題最後導師給的回答其實和原問題沒啥關係，主要集中在什麼是正則量子化什麼是路徑積分量子化這個更一般性的問題上。

　　於是我就在想了——你看，開場白這麼大一串終於引出正式的廢話了——場這貨到底是什麼？

　　正好我寫簡書這麼久了，還從來沒扯過我的專業，所以這２０１４年第一篇簡書就扯扯我的專業吧。

　　首先，我們需要明白一下，現代物理大概是什麼樣的。

　　有一個耳熟能詳的故事一直在民間流傳，那就是現代物理是在老物理大廈上空的兩朵烏雲上建立起來的。這兩朵烏雲最終一個導致了相對論，一個引出了量子論。

　　現代物理的兩個核心，就是這兩貨。

　　但，烏雲之所以是烏雲，最關鍵的要素就是——它夠烏。

　　於是乎，物理髮展到了現在，這兩朵烏雲依然可以說在那裡烏青著——相對論和量子論至今還沒有徹底揉合在一起。

　　這麼說其實並不能算全OK，這要看你怎麼說相對論和量子論了。

　　比如說吧，我們如果站在最原始的相對論的角度，即所謂的狹義相對論的角度，那麼相對論和量子論已經算是融合了的，那就是「相對論性量子力學」和「量子場論」，這兩貨都是狹義相對論和量子理論的雜交品。

　　那為什麼還說這兩朵烏雲沒有完全融合呢？怪就怪在這「狹義」兩字上——既然有狹義，那麼當然有廣義了。從英文原文的角度來說，狹義相對論是「特殊化相對性理論」，而廣義相對論是「一般化相對性原理」，所以光看名字就知道光有狹義相對論和量子理論的融合這不算個事。

　　問題就來了，這廣義相對論很不安分。

　　廣義和狹義的基本區別，在於：狹義相對論說的是時空整體總能和一個我們所熟悉的閔科夫斯基時空對應，而不管觀測者怎麼運動，而廣義相對論則說，哪怕只從時空的某個局部點來看，也是如此。

　　說得物理一點，就是狹義相對論認為，物理規律在（平直的）時空整體上總是各向同性的，而廣義相對論則認為即便在任意時空上，微觀上也是如此。

　　這兩個之所以有這麼一種看似很蛋疼的區別，就在於狹義相對論還沒開始考慮引力，而廣義相對論考慮了。

　　從狹義到廣義的思想再進一步，就是所謂的規範場思想了——不但在時空上如此，在內秉空間也是如此。

　　這太抽了，等下再說。

　　說場的意義為什麼要先說相對論？因為相對論開啟了一個物理哲學上全新的綱領——幾何綱領。而場綱領是幾何綱領的自然延續。

　　PS：所謂綱領，就和後來量子理論中的各種詮釋一樣，是你理解物理理論與物理觀念的一套概念體系。

　　在幾何綱領之前，力這個概念本身和幾何是一點關係都沒有的。力就是力，比如電力通過電力線來表示，磁力通過磁力線來表示，它們的傳遞和作用都看作是一種抽象的存在——通過可以被具象化的力線，我們清楚地「看到」了力的傳播和作用。這就是幾何綱領之前的力的圖景。

　　從廣義相對論開始，一個新的思維被引入了——力可以不是這麼抽象的存在，而是某種物理實在的幾何表現——比如說，時空作為一個物理實在，它的形變形成了引力——而這形變就是一種幾何屬性。

　　因此，幾何綱領的主要內涵，就是說，相互作用可以被表述為物理實在的幾何屬性。比如說，規範場論和廣義相對論，都是這麼一種思路。

　　但，即便是幾何綱領也分強弱兩個版本，強幾何綱領認為時空是幾何的，而弱幾何綱領則認為時空是時空，幾何只是正好描述了時空。這裡的差距可以自己感受一下。

　　我們跳躍一下，這裡就可以穿插正文之前的廢話中所提到的對場的理解了——場是物理實在還是物理描述？如果場是物理實在，那麼狄拉克方程和克萊茵方程就給出了這個物理實在的形態；而如果場是物理描述，那麼狄拉克方程和克萊茵方程所給出的其實只是真正的物理——粒子——的量子描述——幾率波。這兩個觀點中的物理實在不同，所以許多細節的理解就會變得很不一樣。比如在後一個觀點上我們才能說二次量子化，在前一個觀點中場還是經典產物，哪來的「第二次」量子化？場論只是對經典場的一次直接量子化而已。

　　然後再閃回到相對論中。

　　幾何綱領進一步發展，就是後來的場綱領。

　　就如前面所說，廣義相對論將狹義相對論的原理從平直時空推廣到了任意幾何形態的時空，從而也將結論從時空整體變成了在時空局部成立。

　　按照這個思路再進一步，我們就可以得到規範的思想——這最早就是Weyl在廣義相對論上所作的。我們認為一個屬性在時空局部上的變化應該依然是滿足物理的，於是Weyl將標度變換作為一個規範元素，得到了Weyl不變數和Weyl張量等等。但這個思想在廣義相對論上沒發展下去，因為實在沒看出有什麼苗頭，但這個想法卻在量子場論中得到了發展。

　　好，我們現在就穿越到兩朵烏雲的另一朵上了。

　　什麼是量子場論？

　　量子理論是一個很宏大的框架，而且，由於歷史上的原因，量子顧名思義就被理解為是「一份一份」的。

　　比如，能量是一份一份的，動量是一份一份的，粒子所在位置是一份份的，電荷也是一份份的。這就是最初展現給我們看到的量子——當然，人生若只如初見，這總是美好的，但事實卻不是如此。我們在以後會看到其實量子不一定是這種分立的，反而可能是超連續的，比如路徑積分。

　　量子理論的這一框架的主要思想，被稱為量子化——但，很可惜，我們其實不知道究竟什麼是量子化，我們只是知道怎麼去做量子化。

　　就好比一個古代人手上拿著計算器，不知道其原理，但能用來計算１＋１＝２。

　　是為「知其然不知其所以然」也。

　　量子理論的詮釋，一如力的綱領，有很多種，歷史上最有名的（但未必是最正確的）就是哥本哈根詮釋，將意識、觀測和量子態塌縮聯繫在了一起，這讓很多宗教人士浮想聯翩，到今天依然在往這上面浮想，而不願塵歸塵土歸土上帝的歸上帝凱撒的歸凱撒。

　　量子論在發展的過程中，有一道坎是繞不過去的，那就是相對論所預言的相對論效應。

　　為了解決這個問題，我們在傳統量子理論的基礎上發展出了相對論性量子力學——就是將量子理論結合了狹義相對論而搞出來的（作為對比，廣義相對論吸收了量子場論也搞了一個東西，不過是半成品，就是彎曲時空的量子場論，這貨我看到有民科把玩過，饒是驚人）。

　　相對論性量子力學還不是量子場論，雖然他們具有驚人相似的外表（也就是數學）。

　　大家最熟悉的，就是為了能得到相對論效應情況下的哈密頓量，兩個人從不同的角度出發，得到了兩個著名的公式——從等式左右平方一下玩玩出發，我們得到了克萊茵方程；從把根號硬開出來折騰出發，我們得到了狄拉克方程——由此可見，狄拉克的數學功底就是牛。

　　這裡，這兩個方程，連同最早我們所接觸的薛定諤方程（別誤會，薛定諤方程是一大類方程的通稱，狄拉克方程和克萊茵方程也屬於薛定諤方程的一種。這裡所說的「最早接觸的薛定諤方程」是說歷史上最早被推演出來的那個方程），計算中所用到的場算符的物理意義都是相同的，那就是描述粒子的量子幾率幅的幾率波，換言之本身都沒有物理意義，而只有描述物理實在的數學意義。

　　緊接著，我們發現光有這樣的薛定諤方程（注意上面的括弧所說的內容）還沒有用，我們無法描述粒子被創造或者消失掉的過程，因此，在傳統量子力學所熟悉的粒子數表象或者說Fock表象的基礎上，我們將其與相對論性量子力學結合，就有了所謂的「二次量子化」，描述粒子的波函數本身可以被產生湮滅算符所作用，也被量子化了。到這裡，我們就得到了最終版的粒子量子化理論。

　　當然，我們知道經典物理中也是有場的，並不只有幾率幅這種東西。

　　經典物理中的場是什麼？那就是電磁場——在量子理論發展的早期，我們也只知道電磁場是場。本來說不定會認為有電磁場和光場，但電磁力學統一了兩者。當然，引力場也是場，不過這不是相對論的天下么？

　　既然我們可以研究電子的量子行為，那我們自然會去研究電磁場的量子行為，於是經過一連串的折騰，我們鼓搗出了電動力學的量子形式，也就是對電磁場的量子化。

　　有趣的事情就這麼來了。

　　我們發現，電磁場的形式真的是太好了，太和諧了，以至於我們不得不去猜測長得非常接近的克萊茵方程中的那傢伙是不是也是一個場？

　　請注意，這是沒有什麼深刻道理的猜測，僅此而已，只不過日後發現這麼想似乎沒什麼錯而已，和實驗符合得挺好。

　　於是乎，直到現在，量子場論才終於和「量子幾率幅」這個數學貨沒了關係，自己具有了獨立的物理意義，或者說成了物理上的客觀實在，成了本體論的主角。

　　要注意，既然現在我們說前面克萊茵方程、狄拉克方程中的波函數是和電磁場理論中的電磁場是一樣的場，那就是說，這些場都是經典的東西——經典的場。

　　在我們將場的作用量丟到路徑積分的指數位置上以前，或者在我們將經典泊松括弧替換為量子泊松括弧以前（這兩個方法分別就是路徑積分量子化和正則量子化），場都是經典的，不是量子的。包括後面的規範場，也是經典的，不是量子的。什麼時候變數子了？我們把規範場的作用量丟去路徑積分，或者把泊松括弧換個意義，好，這回就從經典規範場變成了量子規範場。

　　可見，和相對論性量子力學截然不同，場論中到這裡為止的場和量子一點關係都沒有。

　　於是，後來的量子化，相對論性量子力學中是為了解決粒子的產生湮滅等動態問題，而在場論中則只是簡單的場的量子化。於是前者被稱為「二次量子化」，後者被稱為「場量子化」。

　　有人會說，為什麼場不用考慮「二次量子化」？場被量子化以後怎麼不用考慮產生湮滅問題？這是因為，我們發現場的解中有各種解（經典的），而這些解可以組合出各種你所要的場，因此場本身就包含了自身的出現和消失，不需要另行操作了。

　　從綱領的角度來說，相對論性量子力學肯定是談不上幾何綱領或者場綱領的，在它的世界體系中場純粹是數學道具，不具有本體性和實在性——當然，我們可以來看AB效應和AC效應，這裡其實所謂的勢就是場，不過是電磁場，因此在相對論性量子力學中我們必須精分地認為，電磁場的場是場，電子的場是幾率波，不是場。

　　而量子場論，則無疑是繼承自幾何綱領的——不過在規範場論之前，我們倒不能這麼嚴格地說它所遵從的就是幾何綱領，而只能說是幾何綱領的發展——場綱領。在這裡，場具有了本地地位，而且我們不需要精分地認為何者為場何者非場，一切都是場。

　　接下來，就是從廣義相對論就出現的規範的思想引入量子場論的時刻了。

　　量子場論說白了還是一個框架，就和之前所說的量子力學一樣，只是一個框架。

　　框架的好處就是青菜蘿蔔都能往裡扔，但壞處就是如果你就是想吃雞蛋餅，那框架是不會直接給你雞蛋餅的。

　　所以，我們想用量子場論來處理電磁問題、核力問題，以及各種別的問題，但我們卻發現這組框架太宏大了，以至於我們壓根不知道怎麼在這個籮筐里找到我們要吃的雞蛋餅。

　　而就在這個時候，規範場論出現了。

　　這貨還是一個經典理論，除非被量子化。

　　規範場論是場論的子類，多出來的內容是一類很有意思的限制，而且這類限制可以被很好地用幾何語言描述出來，那就是——內秉空間的規範變換不改變物理。

　　不改變是一個很有用的概念，術語一點就叫做不變性。

　　比如，如果時空中每個位置的場都做相同的變換，並且在這個變換下物理性質不發生改變，那我們就能得到物理上相關的守恆定律，比如大家熟悉的能量守恆，對應的就是時間平移不變性；動量守恆，就是空間平移不變性；角動量守恆，就是空間旋轉不變性。

　　而規範不變性，就是規範場論比量子場論多出來的那個東西，則和上一段所說的不變性差別在於——這裡只考慮局部。

　　比如，全局時間平移不變是全局不變性，那麼在局部做一個時間平移如果也不變，這就是規範不變性，由此得到的定律就是規範場的基本規律。

　　在規範場論中，這種規範不變性所作用的，就是各種內秉空間，比如說電磁學的內秉空間就是U(1)群所描述的。如果我們做內秉空間的一個轉動，要求全局做相同的轉動物理不變，那麼就得到了電荷守恆（或者說U(1)群的力荷守恆）；如果要求全局做不同的轉動物理不變，也就是規範不變，那我們就得到了電動力學中的電磁場作用量，從而也就得到了電動力學。

　　好，用通俗一點的話來說。

　　我們可以想像這麼一個時空，其中時空每個點上都有一個微型時空門，通往一個個彼此獨立但完全相同的小宇宙。這些小宇宙之間都有聯繫，而規範不變性則等於是說：一個位置上的小宇宙發生了變化，那麼這種變化必然會改變這種聯繫，而這種聯繫的改變又會反過來影響其所連接著的小宇宙，從而向外擴散出去。這小宇宙的性質就是電荷，而小宇宙之間的聯繫就是勢場，這種聯繫的分布性質就是場強。

　　而用幾何的話來說，就是時空作為一個幾何體，同時也是更大的幾何體「纖維叢」的基底。每個時空點上的「纖維」就是內秉空間，而纖維叢的聯絡就是勢場，纖維叢的曲率就是場強。

　　或者，我們甚至可以用M理論的觀點來看——時空是１１維的，但只有４個維度是展開的，７個維度是捲成一圈的。這捲成一圈的７個維度就可以看作是上面所說的纖維，那麼時空的彎曲就可以分解為展開維度的彎曲——引力，和蜷縮維的彎曲——規範場。這種彎曲在足夠小的時候，可以得到和纖維叢觀點一致的結論，從而讓抽象的難以理解的數學名詞「纖維叢」被「翻譯」為容易直觀想像的極小的蜷縮維的幾何。

　　這就是非常幾何的觀點了。

　　那麼，場綱領和幾何綱領到底有什麼分別呢？

　　我們並不能簡單地將場理解為某種特定的幾何客體，因為場綱領的場事實上還有更豐富的內涵。事實上，場是這麼一種物理實在，其代表了同一類對象的各種可能物理狀態的集合與分布。因此，場不僅僅是幾何的，更多是物理的。也因此，在場綱領中，幾何是描述的語言，算是弱幾何綱領的思路。但和相對論性量子力學的綱領要求不同，場綱領的場具有獨立的實在性，而不是只是附庸。

　　更進一步，和量子場論中的場不同，現在規範場論中的場都能找到幾何對應，至少也是很明確的數學對應。比如電磁場這樣的規範勢能場，對應的就是纖維叢的聯絡，而帶有規範力荷的粒子的場則是纖維叢對應群的生成元（從規範場論來說，先是引入的群，然後再賦予群一個幾何圖像纖維），等等等等。

　　規範場論當然也不是沒有問題的。就如規範場論的出現是為了解決量子場論無法給出踏踏實實的物理的問題，規範場論的發展也遇到了一個很糟糕的問題，就是規範場論要求規範場的媒介粒子（比如電磁場的媒介粒子就是光子）是無質量的，或者說其靜質量必須為０，而我們知道除了光子，強弱作用力的媒介粒子的靜質量都不是０。

　　為了解決這個問題，就引入了對稱性自發破缺和Higgs機制。可見，Higgs機制是規範場論的必然結果——而如果沒有Higgs機制，規範場論就和現實一點關係沒有。我們去年已經基本算是確定找到了Higgs粒子，所以規範場論這一套基本算是被確認了。

　　可Higgs機制也只是解決了規範場論乃至量子場論諸多問題中的一個問題，剩下的問題只能說是路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索。

　　在對稱性自發破缺後，人們進一步發散思維，開始想這麼一個問題——對稱性，就是群嘛，規範場論的核心也是群嘛，所以是否可能所有的力都其實是同一個群的，然後這個群破缺了，產生了一系列的碎片，這些碎片就是電磁力、若相互作用力和強相互作用力。

　　這個思想就給出了大統一，也即給出了標準模型——乃至最後包含引力的TOE。

　　上面基本算是大致科普了一下整個脈絡，介紹了一些綱領的基本想法。

　　下面來扯一點扯淡的東西。

　　比如說，在上面整個圖景中，有一個很重要的問題還沒有解決，那就是廣義相對論和規範場論目前沒法融合。

　　從數學的角度來說，廣義相對論是流形聯絡的動力學，而規範場論是纖維叢聯絡的動力學，後者的纖維叢的底流形是前者。這兩者基本算是風馬牛不相及的。因此規範場論的框架不能作用於廣義相對論，而廣義相對論的框架也不能作用於規範場論。更細緻一點，廣義相對論探討的是外部對稱性，而規範場論則是內部對稱性。我們自然可以硬做，將外部對稱性當內部對稱性來做（為什麼不是反過來？因為規範場論我們知道如何量子化，廣義相對論我們不知道如何量子化），這就是局部彭加萊規範的規範場論。但這貨不是什麼好東西，６０～７０年代就有人研究過，沒什麼好的發展。不過近來暗物質興起，彭加萊規範說不定可以和暗物質有聯繫這也難講。

　　另一條路，就是擴大時空維度然後做緊緻化，比如歷史上的超引力就是如此。將時空從４維拓展到５維後發現緊緻化掉第五維得到的理論自然包含了麥克斯韋的電動力學（存在於被緊緻化的蜷縮維中，而緊緻化基本可以被視為將外部維度「縮」到纖維中，從而將纖維和底流形、內部對稱性和外部對稱性聯繫在了一起），於是大家很開心地將維度拓展為１１維，發現４個廣延維容納了廣義相對論，７個蜷縮維容納了標準模型的規範場論。一切都很美好，除了這樣算出來的荷質比不對。

　　再再另一方面，我們發現一些數學手段是可以將外部對稱性和內部對稱性結合起來的，比如大名如雷貫耳的超對稱。超對稱不但可以結合外部對稱性和內部對稱性，它還可以將費米子和玻色子統一起來，使得從一個被超對稱作用一下就變到另一個。更神奇的是，幾乎所有現實的量子場論都面臨的重整化與發散問題，在超對稱作用下是可以得到緩解的（發散分紅外和紫外，超對稱對紫外發散具有很好的修正）。再加上超對稱後的理論會有自旋２的無質量粒子，被人認為是引力子，於是就和弦論以及上面所說的拓展引力理論融合，得到了超弦和超引力，並最終得到了M理論。

　　只不過，有這麼一個問題——我們至今都沒證明超對稱的正確性。事實上，LHC已經基本證明了N=1的超對稱理論是錯誤的。我們當然可以找比最簡單的N=1複雜的N=2或者更高的理論，但在奧卡姆剃刀下我們一邊堅持極簡主義一邊放棄最簡的N=1，這要麼是物理學家很精分，要麼就是上帝很精分。

　　同樣的，弦所預言的大尺度額外維也基本被槍斃了——我們只能在「不那麼大」的大尺度下找額外維，也就是提高LHC能級。

　　幾個振奮人心的東西里，超對稱很尷尬，大尺度被玩小了，大概也就全息原理還能堅挺，但我們其實也只理論證明了AdS／CFT，距離Grivity／Gauge還很遠（最近看到有人發文說證明了某類特殊時空中的G/G全息對偶，這倒是很有意思），而且這貨其實現在主要是凝聚態的人用來算東西的（思路就是這裡算規範場太難了？行，我們換到對偶的情況下算引力去，一算，嘿，真變容易了！）。

　　還有一些比這些都更基本的問題，就是其實我們到目前也不知道什麼是正則量子化。

　　我們知道正則量子化就是把玻色子的經典泊松括弧換成量子對易子關係，或者把費米子的經典泊松括弧換成量子反對易子關係——這麼做下來的結果基本總是對的，但問題是我們並不知道我們為何要這麼來做。

　　就這點來說，或許路徑積分更好一點，因為它的意義至少比什麼是正則量子化要來得明顯，但路徑積分從數學上來說卻是完全的一團糟，我們甚至寫不出一個通用的積分體元，而Wick轉動也只是為了保證能算下去而做的胡搞，數學家看了吐槽不止。

　　當然了，經典泊松括弧被視為傳統幾何空間（也就是傳統群的群流形）中運動（體系演化）所對應的相空間，一個辛流形（算上時間的話就是切觸流形），而有人提出量子化以後的情況其實對應了量子群的群流形上體系演化的相空間。但這個說法本身有點雞蛋問題循環論證的味道，沒多大物理意義。

　　附帶一提，Finsler如果從經典時空的彭加萊群的破缺的角度來看的話，這種破缺給出的群的確和量子群有一定的關聯，從而Finsler流形說不定和量子化背後的時空背景有一點點的聯繫。但這貨本身的邪惡程度實在是爆表，更何況真的做量子化以後，時空流形本身的結構已經不是特別重要了。

　　站在當下的理論物理角度，其實上面這些問題都不是很重要。

　　不知道什麼是正則量子化這一個量子理論的基礎並不重要，重要的是你計算出來的東西能和實驗對得上——不管你的計算在數學家看來多麼充滿槽點。

　　所以，我們可以看到，無論是弦還是圈，現在基本都不談物理意義。比如圈談物理談到Wilson圈就結束了，但Wilson圈能算物理么？反正在我看來這還是數學。

　　實驗跟上來以前，我們也的確只能談數學，這倒也是沒辦法的事情。

　　站在這個角度來說，現代物理其實還是回到了盲人摸象的時代，只不過現在我們不是用手摸，是用筆算。