第8講 找規律（二）

　　整數a與它本身的乘積，即a×a叫做這個數的平方，記作a²，即a²＝a×a；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a³，即a³＝a×a×a。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作aⁿ，即

　　本講主要講aⁿ的個位數的變化規律，以及aⁿ除以某數所得餘數的變化規律。

　　因為積的個位數只與被乘數的個位數和乘數的個位數有關，所以an的個位數只與a的個位數有關，而a的個位數只有0，1，2，…，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。

　　為了找出一個整數a自乘n次後，乘積的個位數字的變化規律，我們列出下頁的表格，看看a，a²，a³，a⁴，…的個位數字各是什麼。

　　從表看出，aⁿ的個位數字的變化規律可分為三類：

　　（1）當a的個位數是0，1，5，6時，aⁿ的個位數仍然是0，1，5，6。

　　（2）當a的個位數是4，9時，隨著n的增大，aⁿ的個位數按每兩個數為一周期循環出現。其中a的個位數是4時，按4，6的順序循環出現；a的個位數是9時，按9，1的順序循環出現。

　　（3）當a的個位數是2，3，7，8時，隨著n的增大，aⁿ的個位數按每四個數為一周期循環出現。其中a的個位數是2時，按2，4，8，6的順序循環出現；a的個位數是3時，按3，9，7，1的順序循環出現；當a的個位數是7時，按7，9，3，1的順序循環出現；當a的個位數是8時，按8，4，2，6的順序循環出現。

例1 求67⁹⁹⁹的個位數字。

　　分析與解：因為67的個位數是7，所以67ⁿ的個位數隨著n的增大，按7，9，3，1四個數的順序循環出現。

　　999÷4＝249……3，

　　所以67⁹⁹⁹的個位數字與7³的個位數字相同，即67⁹⁹⁹的個位數字是3。

例2 求2⁹¹+3²⁹¹的個位數字。

分析與解：因為2ⁿ的個位數字按2，4，8，6四個數的順序循環出現，91÷4＝22……3，所以，2⁹¹的個位數字與2³的個位數字相同，等於8。

　　類似地，3ⁿ的個位數字按3，9，7，1四個數的順序循環出現，

　　291÷4＝72……3，

　　所以3²⁹¹與3³的個位數相同，等於7。

　　最後得到2⁹¹+3²⁹¹的個位數字與8+7的個位數字相同，等於5。

例3 求28¹²⁸-29²⁹的個位數字。

解：由128÷4＝32知，28¹²⁸的個位數與8⁴的個位數相同，等於6。由29÷2＝14……1知，29²⁹的個位數與9¹的個位數相同，等於9。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數字為16－9＝7。

例4 求下列各除法運算所得的餘數：

　　（1）78⁵⁵÷5；

　　（2）5⁵⁵÷3。

分析與解：（1）由55÷4＝13……3知，78⁵⁵的個位數與8³的個位數相同，等於2，所以78⁵⁵可分解為10×a＋2。因為10×a能被5整除，所以78⁵⁵除以5的餘數是2。

　　（2）因為a÷3的餘數不僅僅與a的個位數有關，所以不能用求5⁵⁵的個位數的方法求解。為了尋找5ⁿ÷3的餘數的規律，先將5的各次方除以3的餘數列表如下：

　　注意：表中除以3的餘數並不需要計算出5ⁿ，然後再除以3去求，而是用上次的餘數乘以5後，再除以3去求。比如，5²除以3的餘數是1，5³除以3的餘數與1×5=5除以3的餘數相同。這是因為5²＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而

　　5³=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，

　　（3×8）×5能被3整除，所以5³除以3的餘數與1×5除以3的餘數相同。

　　由上表看出，5ⁿ除以3的餘數，隨著n的增大，按2，1的順序循環出現。由55÷2=27……1知，5⁵⁵÷3的餘數與5¹÷3的餘數相同，等於2。

例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時後，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？

分析與解：1時後有1×3=3¹（個）細菌，2時後有3¹×3=3²（個）細菌……20時後，有3²⁰個細菌，所以本題相當於「求3²⁰÷7的餘數」。

　　由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的餘數列表如下：

　　由上表看出，3ⁿ÷7的餘數以六個數為周期循環出現。由20÷6＝3……2知，3²⁰÷7的餘數與3²÷7的餘數相同，等於2。所以最後還剩2個細菌。

　　最後再說明一點，aⁿ÷b所得餘數，隨著n的增大，必然會出現周期性變化規律，因為所得餘數必然小於b，所以在b個數以內必會重複出現。