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第8講 找規律(二)

8講 找規律(二)

  整數a與它本身的乘積,即a×a叫做這個數的平方,記作a2,即a2=a×a;同樣,三個a的乘積叫做a的三次方,記作a3,即a3=a×a×a。一般地,n個a相乘,叫做a的n次方,記作an,即

  本講主要講an的個位數的變化規律,以及an除以某數所得餘數的變化規律。

  因為積的個位數只與被乘數的個位數和乘數的個位數有關,所以an的個位數只與a的個位數有關,而a的個位數只有0,1,2,…,9共十種情況,故我們只需討論這十種情況。

  為了找出一個整數a自乘n次後,乘積的個位數字的變化規律,我們列出下頁的表格,看看a,a2,a3,a4,…的個位數字各是什麼。

  從表看出,an的個位數字的變化規律可分為三類:

  (1)當a的個位數是0,1,5,6時,an的個位數仍然是0,1,5,6。

  (2)當a的個位數是4,9時,隨著n的增大,an的個位數按每兩個數為一周期循環出現。其中a的個位數是4時,按4,6的順序循環出現;a的個位數是9時,按9,1的順序循環出現。

  (3)當a的個位數是2,3,7,8時,隨著n的增大,an的個位數按每四個數為一周期循環出現。其中a的個位數是2時,按2,4,8,6的順序循環出現;a的個位數是3時,按3,9,7,1的順序循環出現;當a的個位數是7時,按7,9,3,1的順序循環出現;當a的個位數是8時,按8,4,2,6的順序循環出現。

1 求67999的個位數字。

  分析與解:因為67的個位數是7,所以67n的個位數隨著n的增大,按7,9,3,1四個數的順序循環出現。

  999÷4=249……3,

  所以67999的個位數字與73的個位數字相同,即67999的個位數字是3。

2 求291+3291的個位數字。

分析與解:因為2n的個位數字按2,4,8,6四個數的順序循環出現,91÷4=22……3,所以,291的個位數字與23的個位數字相同,等於8。

  類似地,3n的個位數字按3,9,7,1四個數的順序循環出現,

  291÷4=72……3,

  所以3291與33的個位數相同,等於7。

  最後得到291+3291的個位數字與8+7的個位數字相同,等於5。

3 求28128-2929的個位數字。

:由128÷4=32知,28128的個位數與84的個位數相同,等於6。由29÷2=14……1知,2929的個位數與91的個位數相同,等於9。因為6<9,在減法中需向十位借位,所以所求個位數字為16-9=7。

4 求下列各除法運算所得的餘數:

  (1)7855÷5;

  (2)555÷3。

分析與解:(1)由55÷4=13……3知,7855的個位數與83的個位數相同,等於2,所以7855可分解為10×a+2。因為10×a能被5整除,所以7855除以5的餘數是2。

  (2)因為a÷3的餘數不僅僅與a的個位數有關,所以不能用求555的個位數的方法求解。為了尋找5n÷3的餘數的規律,先將5的各次方除以3的餘數列表如下:

  注意:表中除以3的餘數並不需要計算出5n,然後再除以3去求,而是用上次的餘數乘以5後,再除以3去求。比如,52除以3的餘數是1,53除以3的餘數與1×5=5除以3的餘數相同。這是因為52=3×8+1,其中3×8能被3整除,而

  53=(3×8+1)×5=(3×8)×5+1×5,

  (3×8)×5能被3整除,所以53除以3的餘數與1×5除以3的餘數相同。

  由上表看出,5n除以3的餘數,隨著n的增大,按2,1的順序循環出現。由55÷2=27……1知,555÷3的餘數與51÷3的餘數相同,等於2。

5 某種細菌每小時分裂一次,每次1個細茵分裂成3個細菌。20時後,將這些細菌每7個分為一組,還剩下幾個細菌?

分析與解:1時後有1×3=31(個)細菌,2時後有31×3=32(個)細菌……20時後,有320個細菌,所以本題相當於「求320÷7的餘數」。

  由例4(2)的方法,將3的各次方除以7的餘數列表如下:

  由上表看出,3n÷7的餘數以六個數為周期循環出現。由20÷6=3……2知,320÷7的餘數與32÷7的餘數相同,等於2。所以最後還剩2個細菌。

  最後再說明一點,an÷b所得餘數,隨著n的增大,必然會出現周期性變化規律,因為所得餘數必然小於b,所以在b個數以內必會重複出現。

練習8

  1.求下列各數的個位數字:

  (1)3838; (2)2930

  (3)6431; (4)17215

  2.求下列各式運算結果的個位數字:

  (1)9222+5731; (2)615+487+349

  (3)469-6211; (4)37×48+59×610

  3.求下列各除法算式所得的餘數:

  (1)5100÷4; (2)8111÷6;

  (3)488÷7。


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