最新發現 素數通項公式

引言「2000多年前歐幾里德在證明素數無窮多時就埋下了尋求素數普遍公式[1]的伏筆，以布勞維爾為首的直覺主義學派認為：「你沒有給出第n個素數是如何構造的，就不能算是好的證明」。2000多年來，數論學[2]最重要的一個任務，就是尋找素數普遍公式，為此，一代又一代數學精英，耗費了巨大的心血，始終未獲成功。」

一些當代數學家甚至於認為不可能存在這樣的公式。

作者認為，這個詞條說明了該問題是世界頂級難題。素數通項公式價值連城，遠比哥德巴赫猜想[3]珍貴、功用大[4]。

勞維爾們的直覺錯了。因為素數的構成單一，不可改變，無法解析，只能夠反向探究合數結構、自然數運算。

研究進展、吸人眼球的成果：費馬素數猜想式2^(2^n)+1[5]，梅森質數猜想式2^p-1 [6]。

這兩個數的指數不大時，已知素數都很少，更多是合數；指數稍大就無法計算、判斷。不僅如此，而且公式沒有給出證明。再有，類似這兩個代數式的式子很多。例如把其指數改變成奇數、偶數，2改變成3、5、7···。這樣，根本無法一一研究，研究成果、功用難言重要，或許不值得研究。因此，一些數學家把這兩個公式作為了研究課題，偏失了方向，收穫難言碩大。

這兩個公式，不過是指數特殊的普通代數式而已。素數的判定定理證明了它們表計素數的純粹性、該代數式只能表計極少部分自然數，證明了它們表計素數的有限性。

其實p=2n+1(或減1)就是素數通項公式[7]，剩下探索的問題、任務，就是解析n的構成形式、種類、性質、規律罷了。

這麼原始、平常、簡單的公式，數學家們都熟視無睹、證明束手無策，其原因就是他們沒有解析合數的構成、自然數運算。

筆者研究的經驗證明，數論探討者，既要當數學家，又要做哲學家。以哲學的邏輯思維、方法,先粗略做宏觀戰略分析，預判目標方向、範圍，再詳細做微觀戰術考證，選准道路、方法。即先粗略分析自然數「排列組合」的客觀實際，預判公式存在於哪種（不言而喻是和差）運算中，再詳細解剖加數、減數、和差構成及規律、形式、條件，最後歸納總結、升華，迎刃而解難題。

相反，連取得研究進展、成果的不少著名數學家也南轅北撤在非整數界尋找，踏破鐵鞋無覓處，失敗告終。作者希望論文發表，從而避免大量探索者誤入歧途，白做無用功，耗費無窮精力時間。

提要所謂素數通項公式，要滿足三個條件：

1、以自然數表計。

2、每個表計結果必是素數。

3、公式能夠表計出全部奇素數。

作者發現，2n+1(或減1)是奇自然數的通項代數式=〉2n+1(或減1)也是奇素數的通項代數式=〉2n+1(或減1)表素數的完善性；=〉解析n的構成、根據素數判定定理即可證明2n+1(或減1)表素數的純粹性=〉素數通項公式。

關鍵詞素數 通項公式

定義令pr、px、py表素數,n、r、x、y、k表自然數,且｛n｝=｛1、2、3、4、5···n｝,k≥ pr，｛k｝=｛1、2、3、4、5···k｝，｛r｝=｛1、2、3、4、5···r｝,√px≥py＞pr。「|」為整除號，「?」為不整除號,（因為沒有，作者暫時在此文以）「i」為素因子指數任意改變號（簡稱變冪號）。

定理2n加上或減去1，當n=自然數前k項之積（其積即k!）,和或差都不被大於k的素數、小於或等於和或差的平方根的素數整除時，必為素數；任意改變k!各項素因子的指數(改記積為k!i，顯然k!∈k!i)，定理依然成立；k！空缺若干項（非全部項）時(因為空缺項可以視為改其指數為0，所以依然改記積為k!i)，和或差不被所缺項的素因子整除時，定理依然成立。其表計公式即為：

素數通項公式px=2n+1=2pr!i+1px=2n-1=pr!i-1py?px、缺項素因子?px時，px必為素數；px值集就是奇素數集；當和與差都為素數時，即是孿生素數。

例如當n=k!時，由px=2k!+1(或減1）得：

k=1px=2(1x1)+1=3

k=2px=2(1x2)+1=5px=2(1x2)-1=3(孿生素數）

k=3px=2(1x2x3)+1=13px=2(1x2x3)-1=11(孿生素數）

k=4px=2(1x2x3x4)-1=47

k=5px=2(1x2x3x4x5)+1=241px=2(1x2x3x4x5)-1=239(孿生素數）

k=6px=2(1x2x3x4x5x6)-1=1439

任意改變例式中k!的各項素因子指數時，由px=2pr!i+1(或減1）得：

k=1px=2(1x1x1)+1=3

k=2px=2(1x2x2)-1=7px=2(1x2x2x2)+1=17

px=2(1x2x2x2x2)-1=31px=2(1x2x2x2x2x2)-1=127

k=3px=2(1x2x2x3)-1=23px=2（1x2x3x3）+1=37

px=2(1x2x2x3x3)+1=73px=2(1x2x2x3x3)-1=71(孿生素數）

k=4px=2(1x2x2x3x4)+1=97px=2(1x2x2x2x3x3x4)+1=577

px=2(1x2x3x3x3x4)+1=433px=2(1x2x3x3x3x4)-1=431 (孿生素數）

k=5px=2(1x2x2x3x4x5)-1=479

px=2(1x2x3x3x4x5)-1=719

px=2(1x2x3x3x3x4x5)+1=2161

px=2(1x2x3x4x5x5)+1=1201

k=6px=2(1x2x2x3x4x5x6)-1=1439

px=2(1x2x2x2x3x4x5x6)+1=2801

當例式中k!i缺項時( 舉例恕未指出缺項），由px=2pr!i+1(或減1）得：

k=3px=2(1x3)+1=7px=2(1x3)-1=5(孿生素數）

px=2(1x3x3)+1=19px=2(1x3x3)-1=17(孿生素數）

px=2(1x2x2x2)+1=17px=2(1x3x3x3)-1=53

k=4px=2(1x2x3)+1=13px=2(1x2x3)-1=11(孿生素數）

px=2(1x2x2x4x4)-1=127px=2(1x3x4)-1=23

k=5px=2(1x3x5)+1=31px=2(1x3x5)-1=29(孿生素數）

px=2(1x2x3x5)+1=61px=2(1x2x3x5)-1=59(孿生素數）

px=2(1x4x5)+1=41px=2(1x2x4x5)-1=79

px=2(1x3x3x5)-1=89px=2(1x4x5x5)-1=199

k=6px=2(1x2x3x5x6）+1=181px=2(1x3x5x6)-1=179(孿生素數）

px=2(1x5x5x5)+1=251px=2(1x5x6x6)-1=359

非上列例式 k!i缺項舉例，依然由px=2pr!i+1(或減1）得：

k=7px=2(1x3x7)+1=43px=2(1x3x7)-1=41(孿生素數）

px=2(1x7)-1=13px=2(1x2x3x7)-1=83

px=2(1x7x7)-1=97

k=8px=2(1x3x8)-1=47px=2(1x2x3x8)+1=97

px=2(1x3x3x4)+1=73px=2(1x3x3x4)-1=71(孿生素數）

k=9px=2(1x5x9)-1=89px=2(1x7x9)+1=127

px=2(1x2x5x9)+1=181px=2(1x2x5x9)-1=179(孿生素數）

k=10px=2(1x3x10)+1=61px=2(1x3x10)-1=59(孿生素數）

px=2(1x3x3x10)+1=181 px=2(1x3x3x10)-1=179(孿生素數）

k=11px=2(1x2x11)-1=43px=2(1x3x11)+1=67

px=2(1x3x3x11)+1=199px=2(1x3x3x11)-1=197(孿生素數）

······

k=19px=2(1x19)-1=37px=2(1x2x5x19)-1=379

px=2(1x3x19-1)=113px=2(1x5x19)+1=191

······

k=97px=2(1x97）-1=193px=2(1x5x97)+1=971

證明:當n=k!時,k!中的合數分解質因數後轉化成若干個≤k的素數積、空缺了該合數項=〉k!=pr!i

（例如k!=1x2x3x4=pr!i=1x2x3x2x2pr!=1x2x3空缺了4)

=〉n=k!+1(或減1)=pr!i+1(或減1)

=〉pr|pr!i、k!又，pr?1=〉pr?px，已知k≥ pr、py?px

py﹥pr≤ √px=〉＜√px的素數都?px。

假定有＞py的素數|px，已知pr≤kpr＜py≤√px=〉必有一個pr或py|px。這與pr?pxpy?px矛盾=〉假設不能成立。

=〉公式成立[8]。

同樣可證任意改變k!的素因子指數時，公式依然成立；當k!i缺項時，px不被缺項素因子整除，公式依然成立。

2n+1、2n-1可以表計奇自然數列、奇素數列，n只有公式中的三類客觀存在形式=〉任意一個素數的構成必是其一=〉px的值集就是奇素數集。

此公式以奇自然數通項公式表計=〉公式能夠表計出全部奇素數；每個表計結果都是素數=〉公式名稱（舉例計算所得素數集，就包含了100內的全部奇素數）。

（待定新符號問題：以pr!i表代n的三種類型，還是分類表代？確定i為變冪號？）

討論：雖然各種素數公式都是素數通項公式的子公式，或曰推論，但是同一素數可能有一、二、三類、各類多種表計法，順理成章產生以下問題：

1、還有其他形式素數通項公式嗎？

2、兩素數(n+x)+(n-x)=2n,其值集是偶數集？

3、素數px=m+npx=m-n ,m、n的構造類型？

4、除開2外的偶數集，是奇素數兩兩之和集的子集？

5、還有其它形式孿生素數公式？

6、還有其它形式對偶素數公式？

7、還有其它形式特殊素數公式？

8、素數研究的基本思路、原理、方法是是么？

9、合數構成有哪些類型？

10、各公式的功用價值、意義？尋找困難程度、等級可以鑒定嗎？發現者的功績、級別怎樣評價？

參考文獻

[1]百度百科[詞條]「素數普遍公式」」[DB/OL]

[2] 華羅庚著《數論導論》［M］1957年7科學出版社

[3] 百度百科[詞條]「哥德巴赫猜想」[DB/OL]

[4]徐馳著《哥德巴赫猜想》[N] 1978年2月17日《人民日報》[5]百度百科[詞條]「費馬數」[DB/OL]

[6]百度百科[詞條]「梅森素數」[DB/OL]

[7]百度百科[詞條]「奇數的代數式」[DB/OL]

[8]百度百科[詞條]「素數的判定定理」[DB/OL]