宇宙學常數、超對稱及膜宇宙論

- 中篇：超對稱 -

- 盧昌海 -

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四. 零點能

在 上一節 中我們講到， 最新的天文觀測表明宇宙中約有 70% 的能量密度是由所謂的暗能量組成的。 在廣義相對論中， 描述這種暗能量的是由 Einstein 提出， 卻又令他後悔、 被他放棄的宇宙學項。

需要說明的是， 雖被 Einstein 本人所不喜， 但宇宙學項在廣義相對論中的出現其實並不是一件很牽強的事情。 在廣義相對論中與 Newton 引力理論中的引力勢相對應的是時空的度規張量， 如果我們假定廣義相對論的引力場方程 (張量方程) 與 Newton 引力理論中的 Poisson 方程一樣為二階方程， 並且關於二階導數呈線性， 那麼在滿足能量動量守恆的條件下， 場方程的普遍形式正好就是帶宇宙學項的廣義相對論場方程^[注一]。 因此宇宙學項在廣義相對論的數學框架中是有一席之地的， 它最終的脫穎而出正好應了一句老話： 天生我材必有用。

宇宙學項的存在表明即便不存在任何普通物質 (即 T_μν=0)， 宇宙中仍存在由宇宙學常數所描述的能量密度。 在物理學中人們把不存在任何普通物質的狀態稱為真空， 從這個意義上講宇宙學常數描述的是真空本身的能量密度， 暗能量則是真空本身所具有的能量。

但是號稱一無所有的真空為什麼會有能量呢？

這個問題是不該由廣義相對論來回答的， 因為廣義相對論描述的是能量動量分布與時空結構之間的關係， 至於能量動量分布本身的起源與結構， 則是物理學的其它領域——比如電磁理論、 流體力學等——的任務。 因此， 為了回答這一問題， 我們先把 Einstein 發動的這場直搗物理世界中最大研究對象——宇宙——的人隻影單的 「斬首行動」 擱下， 到 20 世紀上半葉物理學的另一個著名戰場——量子戰場——去看看。 那裡的情況與宇宙學戰場正好相反， 研究的是物理世界中最小的對象——微觀粒子， 戰況卻熱鬧非凡， 簡直是將星雲集， 就連在宇宙學戰場上孤膽殺敵、 勇開第一槍的 Einstein 本人也在這裡頻頻露面。 不用說， 這一番大兵團作戰所獲的戰利品是豐厚的， 我們所尋找的有關暗能量物理起源的蛛絲馬跡也混雜在了那些來自微觀世界的玲琅滿目的戰利品中。

它就是微觀世界中的零點能 (zero point energy)。

依照我們對微觀世界的了解， 組成宏觀世界的普通物質——即廣義相對論中由 T_μν 描述的物質——都是由基本粒子構成的， 而這些基本粒子則是一些被稱為量子場的量子體系的激發態。 當所有激發態都不存在時， 量子場的能量處於最低。 量子場的這種能量最低的狀態被稱為基態， 它對應的是宏觀世界中不存在任何普通物質——即 T_μν=0——的狀態， 也就是我們通常所說的真空。 微觀世界的一個奧妙之處， 就在於當一個量子場處於基態時， 它的能量並不為零。 這種非零的基態能量被稱為零點能， 它也正是真空本身的能量。 更妙的是， 這種真空本身所具有的零點能正好具備我們前面所說的暗能量的特點， 因為它的能量動量張量正好可以用宇宙學項來描述。

物理學就像一條首尾相接的巨龍， 宇宙之大與粒子之小探求到最後竟然交匯到了一起， 實在很令人振奮。 可惜好景不長， 物理學家們計算了一下由零點能給出的宇宙學常數的數值， 結果卻大失所望。假如普通量子場論適用的能量上限為 M (或等價地， 距離下限為 1/M)， 則計算表明， 在這一適用範圍內量子場的零點能密度大約為 (這裡我們採用了光速與 Planck 常數都為 1 的單位制)：

ρ ~ M⁴

由此對應的宇宙學常數約為：

Λ ~ Gρ ~ M⁴ / M_p²

其中 M_p 為 Planck 能量 (約為 10²⁸ eV， 或 10¹⁹ GeV)。

另一方面， 由宇宙學觀測所得的宇宙學常數大約為 Λ ~ R^-2 ~ 10^-52 m^-2[注二]。 為了讓兩者相一致， 量子場論所適用的能量上限 M 必須在 milli-eV (即 10^-3 eV) 的量級。 這無疑是荒謬的， 因為我們知道， 氫原子的能級在 eV 量級， 原子核的能級在 MeV (即 10⁶ eV) 量級， 電弱統一的能區在 10² GeV (即 10¹¹ eV) 量級…… 量子場論在所有這些能區都得到了大量的實驗驗證， 因此其適用的能量範圍顯然遠遠地超出了 10^-3 eV。

此外， 由於 Λ ~ R^-2， 我們還可以反過來由零點能推算出宇宙半徑， 即：

R ~ Λ^-1/2 ~ M_p / M²

這一結果表明量子場論所適用的能量 M 越高， 由零點能反推出的宇宙學常數就越大， 相應的宇宙半徑則越小。 據說 Wolfgang Pauli 曾做過那樣的推算， 他假定量子場論所適用的距離下限為電子的經典半徑 (相當於 M ~ 10⁸ eV)， 結果發覺宇宙半徑竟比地球到月球的距離還小得多 (對物理學中能量與距離的換算比較熟悉的讀者可以用上文介紹的推算方法驗證一下 Pauli 的結果)。 如上所述， 量子場論適用的能量範圍顯然要比 Pauli 所假定的還高得多， 許多物理學家甚至認為它可以一直延伸到量子引力效應起作用為止——也就是 Planck 能量。 若果真如此， 則 M~M_p， 由此所得的宇宙學常數比觀測結果大出 120 個數量級以上！ 相應的宇宙半徑則在 Planck 長度 (約為 10^-35 m) 的量級。

這樣荒謬的結果表明量子世界的零點能雖在概念上支持宇宙學常數， 在具體數值上卻與觀測南轅北轍。 這一結果使得人們在很長一段時間內對零點能的引力效應——即它對宇宙學常數的貢獻——不得不採取 「睜一眼閉一眼」 的態度， 或者乾脆予以否定。 比如剛才提到過的 Pauli 就懷疑零點能對宇宙學常數的貢獻 (也難怪， 誰願意生活在一個比地月系統還小的宇宙中呢？)， 後來 Yakov Zel"dovich 等人提出零點能的最低階效應——即我們上面的計算——對宇宙學常數沒有貢獻， 真正的貢獻只能來自跟引力有關的高階效應。 這些消極否定的觀點就算不是 「事後諸葛」， 起碼也有點 「狐狸吃不到葡萄就認為葡萄是酸的」 的意味。 零點能的一些物理效應——比如 Casmir 效應——已被實驗證實， 單單否定其——或其最低階效應——對宇宙學常數的貢獻並不能夠令人信服， 而且 Zel"dovich 基於高階效應所作的計算同樣與實驗大相徑庭 (雖然程度比最低階效應要輕微些)。 因此零點能初看起來給了人們一點揭開宇宙學常數之謎的希望， 這點希望卻很快就像肥皂泡一樣破滅了——不僅破滅了， 反而產生了尖銳的矛盾。

除零點能外， 量子場論中還有一些其它效應會對真空的能量密度產生貢獻， 比如粒子物理標準模型中的 Higgs 勢， 量子色動力學 (QCD) 中的手征凝聚 (chiral condensation) 等^[注三]， 這些貢獻與實驗結果的比較也有幾十個數量級的出入， 同樣令人失望。

很明顯， 在這些來自微觀世界的有關宇宙學常數物理起源的線索中還缺了些東西。

缺了的究竟是什麼呢？

五. 超對稱

宇宙學常數與量子場論的零點能之間所存在的尖銳矛盾， 早年曾引起過包括 Niels Bohr、 Werner Heisenberg 和 Pauli 在內的許多著名物理學家的注意， 不過在總體上並未對物理學界造成太大的困擾。 這一來是因為物理學家們很清楚自己對許多東西還知道得太少， 許多問題——尤其是將量子與引力聯繫在一起的問題——的解決時機還未成熟。 二來也是因為在很長一段時間裡宇宙學常數本身的名份——如我們在前文中所述——還不怎麼正， 所謂 「名不正則言不順」， 大家也就沒把它太當回事。 時間過去了幾十年， 到了 20 世紀 70 年代， 情況發生了一些變化， 一種新的對稱性——超對稱——在物理學中誕生了。

我們知道， 基本粒子按照自旋的不同可分為兩大類： 自旋為整數的粒子被稱為玻色子 (boson)， 自旋為半整數的粒子被稱為費米子 (fermion)。 這兩類粒子的基本性質截然不同， 然而超對稱卻可以將這兩類粒子聯繫起來——而且是能做到這一點的唯一的對稱性。 對超對稱的研究起源於 20 世紀 70 年代初期， 當時 P. Ramond、 A. Neveu、 J. H. Schwarz、 J. Gervais、 B. Sakita 等人在弦模型 (後來演化成超弦理論) 中、 Y. A. Gol"fand 與 E. P. Likhtman 在數學物理中， 分別提出了帶有超對稱色彩的簡單模型。 1974 年， J. Wess 和 B. Zumino 將超對稱運用到了四維時空中， 這一年通常被視為超對稱誕生的年份^[注四]。

在超對稱理論中， 每種基本粒子都有一種被稱為超對稱夥伴 (Superpartner) 的粒子與之匹配， 超對稱夥伴的自旋與原粒子相差 1/2 (也就是說玻色子的超對稱夥伴是費米子， 費米子的超對稱夥伴是玻色子)， 兩者質量相同， 各種耦合常數間也有著十分明確的關聯。 超對稱自提出到現在已經幾十年了， 在實驗上卻不僅始終未能觀測到任何一種已知粒子的超對稱夥伴， 甚至於連確鑿的間接證據也沒能找到。 但即便如此， 超對稱在理論上的非凡魅力仍使得它在理論物理中的地位有增無減。 今天幾乎在物理學的所有前沿領域中都可以看到超對稱的蹤影。 一個具體的理論觀念， 在完全沒有實驗支持的情況下生存了幾十年， 而且生長得枝繁葉茂、 花團錦簇， 這在理論物理中是不多見的。 它一旦被實驗證實所將引起的轟動是不言而喻的——或者用 Steven Weinberg (電弱統一理論的提出者之一) 的話說， 將是 「純理論洞察力的震撼性成就」。 當然反過來， 它若不幸被否證， 其骨牌效應也將是災難性的， 理論物理的很多領域都將哀鴻遍野。

超對稱在理論上之所以有非凡魅力， 其源泉之一乃是在於玻色子與費米子在物理性質上的互補。 在一個超對稱理論中， 這種互補性可以被巧妙地用來解決高能物理中的一些棘手問題。 比如標準模型中著名的等級問題 (hierarchy problem)， 即為什麼在電弱統一能標與大統一或 Planck 能標之間有高達十幾個數量級的差別^[注五]？ 超對稱在理論上的另一個美妙的性質是普通量子場論中大量的發散結果在超對稱理論中可以被超對稱夥伴的貢獻所消去， 因而超對稱理論具有十分優越的重整化性質。

關於超對稱的另外一個非常值得一提的特點是， 它雖然沒有實驗證據， 卻有一個來自大統一理論 (GUT) 的 「理論證據」。 長期以來物理學家們一直相信在很高的能量 (即大統一能標， 約為 10¹⁵ - 10¹⁶ GeV) 下， 微觀世界的基本相互作用——強相互作用、 弱相互作用和電磁相互作用——可以被統一在一個單一的規範群下， 這樣的理論被稱為大統一理論。 大統一理論成立的一個前提是強相互作用、 弱相互作用和電磁相互作用的耦合常數在大統一能標上彼此相等， 這一點在理論上是可以核驗的。 但核驗的結果卻令人沮喪： 在標準模型框架內， 上述耦合常數在任何能標上都不會彼此相等。 這表明標準模型與大統一理論的要求是不相容的， 這對大統一理論是一個沉重打擊， 也是對物理學家們追求統一的信念的沉重打擊。 超對稱的介入給大統一理論提供了新的希望， 因為計算表明， 在對標準模型進行超對稱化後， 那些耦合常數可以在高能下非常漂亮地匯聚到一起。 這一點不僅給大統一理論提供了希望， 也反過來增強了物理學家們對超對稱的信心——雖然它只是一個理論證據， 而且還得加上引號， 因為這一 「理論證據」 說到底只是建立在物理學家們對大統一的信念之上才成之為證據的。

超對稱理論的出現極大地改變了理論物理的景觀， 也給宇宙學常數問題的解決帶來了新的希望。

這一線希望在於玻色子與費米子的零點能正是兩者物理性質互補的一個例子， 因為玻色子的零點能是正的， 費米子的零點能卻是負的。 當然， 這一點在標準模型中也成立， 只不過標準模型中的玻色子與費米子參數迥異， 自由度數也不同， 因此這種互補性並不能對零點能的計算起到有效的互消作用。 但超對稱理論中的玻色子與費米子的參數及自由度數都是嚴格對稱的， 因此兩者的零點能將會嚴格互消——而且非獨零點能如此， 其它對真空能量有貢獻的效應也都如此。 事實上， 在嚴格的超對稱理論中可以證明真空的能量密度——從而宇宙學常數——為零。

假如時間退回到十幾年前 (那時還沒有宇宙學常數不為零的確鑿證據)， 宇宙學常數為零不失為一個令人滿意的結果， 可惜時過境遷， 現在我們對這一結果卻是雙重的不滿意。 因為我們現在認為宇宙學常數並不為零， 因此對宇宙學常數為零的結果已不再滿意。 另一方面， 實驗物理學家們辛辛苦苦做了許多年的實驗， 試圖發現超對稱粒子 (順便拿下諾貝爾獎)， 結果卻一個也沒找到， 因此現實世界根本就不是超對稱的， 從而我們對以嚴格的超對稱理論為基礎的證明本身也並不滿意 (這後一個不滿意放在十幾年前也成立)。

讀者可能會奇怪， 既然實驗不僅未能證實， 反而已經否定了超對稱， 物理學家們為什麼還要研究超對稱？ 而且還研究得有滋有味、 樂此不疲？ 那是因為物理學上有許多對稱性破缺機制可以協調這一 「矛盾」， 一種對稱性可以在高能下存在， 卻在低能下破缺。 標準模型本身——確切地說是其中的電弱統一理論——便是運用對稱性破缺機制的一個精彩範例。 物理學家們心中的超對稱也一樣， 嚴格的超對稱只存在於足夠高的能量下， 低能區的超對稱是破缺的。 因此前面關於宇宙學常數為零的證明必須針對超對稱的破缺而加以修正。 可惜的是， 這一修正之下原先的雙重不滿意雖然可以消除， 原先受嚴格的超對稱管束而銷聲匿跡的種種 「不良」 效應卻也通通捲土重來。 宇宙學常數雖可以不再為零， 卻又被大大地矯枉過正， 可謂是 「前門拒虎， 後門進狼」。

那麼考慮到超對稱破缺後的宇宙學常數究竟有多大呢？ 這取決於超對稱在什麼能量上破缺， 目前的看法是對標準模型來說超對稱的破缺應該發生在 TeV (即 10¹² eV) 能區。 這相當於在前面提到的零點能密度的計算中令 M~TeV (因為雖然量子場論本身的適用範圍遠遠高於 TeV， 但 TeV 以上的零點能被超對稱消去了)， 由此所得的宇宙學常數約為 ρ ~ (TeV)⁴/M_p²。 這一結果比觀測值大了約 60 個數量級 (由此對應的宇宙半徑在毫米量級)， 比不考慮超對稱時的 120 個數量級略微好些， 卻也不過是 「五十步笑百步」 而已， 兩者顯然同屬物理學上最糟糕的理論擬合之列。

連銳氣逼人的超對稱都敗下陣來了， 我們還有希望嗎？ 本文的 下篇 將做進一步討論。

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注釋

1. 假如我們對廣義相對論場方程的形式作更嚴格的限定， 即限定它不僅與 Poisson 方程一樣為二階方程， 而且與後者一樣只含二階導數， 或者限定其弱場近似嚴格等同於 Poisson 方程， 則宇宙學項將不會出現。 但在推廣一個理論時是否有必要如此嚴格地模仿舊理論的結構是大可商榷的。
2. 細心的讀者也許注意到了， Λ~R^-2 正是 第一節 中提到的 Einstein 靜態宇宙模型中宇宙半徑與宇宙學常數之間的關係式 (只不過 "=" 變成了 "~")。 這不是偶然的， 因為這一近似關係式適用於所有宇宙學常數為正， 且其貢獻與普通物質可以比擬的宇宙模型。
3. 從這個意義上講， 本節的標題換成 「真空能」 要比 「零點能」 更準確， 因為零點能只是真空能的一部分。 不過後面我們會看到， (依照本文所介紹的理論) 零點能扮演的角色才是真正關鍵的， 因此我們以它為標題。
4. 值得注意的是， Gol"fand 及 Likhtman 的工作其實已經將超對稱運用到了四維時空中， 且比 Wess 和 Zumino 的工作早了三年， 可惜這一工作就像前蘇聯的其它許多開創性工作一樣， 鮮為西方世界所知， 從而只落得個 「此情可待成追憶」。
5. 這一點之所以成為問題， 是因為在標準模型中 Higgs 質量平方的重整化修正是平方發散而非對數發散的， 這種情形下 Higgs 場——以及由 Higgs 場所確定的其它粒子——的 「自然」 能標應該由大統一或 Planck 能標所確定， 而非比後者低十幾個數量級的實驗觀測值。 不過需要提醒讀者的是， 這一類的問題是所謂的 「自然性」 問題 (naturalness problem)， 是現有理論顯得不夠自然的地方， 而不是像實驗反例那樣無法解決的 「硬傷」。

參考文獻

1. S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (III)(Cambridge University Press, 2000).
2. J. A. Bagger (ed), Supersymmetry, Supergravity and Supercolliders - TASI 97(World Scientific, 1999).

二零零三年九月九日寫於紐約二零零三年九月九日發表於本站http://www.changhai.org/

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