你所沒意識到的地球章動（兼談有趣的剛體運動）

人所周知地球在自轉。地球的自轉定義了很多地理概念，如南北極點，赤道，南北回歸線等。

但是如果是學過大學理論力學的話，可能會意識到，地球的轉動可能沒那麼簡單，準確地講，地球的自轉軸可能不是固定的，相應地，地球的南北極點，赤道，南北回歸線等都不是固定的。

假設地球是個剛體（這個假設是否成立另說）。如果地球是完全球對稱或者至少具有軸對稱的話，沒問題，在忽略其他天體的影響的情況下，自轉軸應該是不變的。但是地球顯然不是嚴格球對稱或者軸對稱的，那麼問題就複雜了。問題的關鍵在於，對於一個一般形狀的剛體（如一雙鞋），當其繞某個通過其質心的軸轉動時，其角動量一般來講不會平行於轉動軸。用數學的語言講，一個一般形狀的剛體的轉動慣量缺乏對稱性，因此它只有三個非簡併的，彼此垂直的慣量主軸。只有當剛體繞這三個軸轉動時，其角動量才會恰好在自轉方向上。這便暗示著剛體的轉動不是那麼簡單。這一點可以進一步通過考慮這樣一個特殊情形有所體會。對一個一般形狀的剛體，在空間取任意一條通過其質心的軸，讓剛體繞此軸勻速轉動。這個剛體的角動量不恰好在軸上，而是隨著剛體繞軸作同步轉動。而一個自由剛體對其質心的角動量是守恆的。所以，上面這種簡單的運動一般來講不是一個自由剛體的轉動。

最早系統研究剛體轉動的應該是歐拉。歐拉是天才，其才能堪比牛頓。他得到了著名的歐拉方程，這組方程描述了在剛體自身坐標系下，其自轉軸和角速度的時間演化。作為地球的居民，我們關心的是地球自轉軸的演化，也即極點的移動，我們自然地會選擇地球自身坐標系，所以歐拉方程正好滿足我們的需要。歐拉當時已經知道地球是扁平的，他給出的極點移動周期是305天。不過，一百多年後，美國人chandler確認地球章動存在後，發現其周期是433天。其中差異可能因為地球並非完美剛體。當然，真實的地球還受到月球太陽等天體的影響，這些因素也導致地球極點的移動，所以地球極點移動的準確周期大概是7年。極點移動引起的北回歸線的移動有圖為證：

圖中地點在墨西哥。從圖中可以看到，極點的移動大概在米的量級。北回歸線也穿過我們中國，我肇慶的同學總吹噓肇慶是北回歸線上唯一的綠洲。也許我們也可以類似墨西哥豎幾個牌子科普大眾？

所以剛體轉動不是那麼簡單的。歐拉的方程完整地描述了剛體自由轉動在自身坐標系下的行為，但是在剛體之外的觀察者看來，剛體轉動是個什麼圖景？這個問題被法國人Poinsot完整解決。Poinsot提供了一個非常簡單的幾何圖像，在實驗室坐標系下看，一個剛體的自由轉動對應其能量橢球在某個平面上的無滑滾動。Poinsot留下的工作不多，不過這個工作讓他不朽。

所以對一個自由剛體的轉動，我們既有基於其自身坐標系的歐拉方程，又有基於絕對空間的poinsot構造，問題似乎被完全解決。不過，這些都還是太數學。一個展示剛體轉動的非平庸性的著名效應是所謂的dzhanibekov effect。這裡的視頻是在空間站失重環境下做的。這裡有我自己在辦公室用書演示的。

後記：小學的時候，一直不懂刻舟求劍故事的寓意。如果你也曾經跟我一樣愚笨，希望這個博文能夠給你點啟發。我們總想找一個一成不變的東西作為標準，可是當你發現連地球的自轉都不是一成不變的時候，你是否會死心？