神奇的數字----從數字賞數學之美

今天，讓我們共同走進數學世界，去感受數學的美。有的同學可能會提出質疑：數學美嗎？美在哪裡呢？這裡，我想先請大家聽聽歷史上一些著名的科學家、數學家及學者們是如何回答這個問題的：

數學是上帝用來書寫宇宙的文字（伽利略）；

數學，如果正確地看，不但擁有真理，而且也具有至高的美（羅素）；

這個世界可以由音樂的音符組成，也可以由數學的公式組成（愛因斯坦）；

哪裡有數，哪裡就有美（Proclus）；

只有音樂堪與數學媲美（A.H.懷海德）；

數學和詩歌都具有永恆的性質（R.D,Carmichael）……

象這樣的描述數不勝數。同學們對數學的認識固然達不到這些偉人們的認識高度，也許在大家眼中，數學無非是1、2、3等數學的排列，a、b、c等字母的組合而已，太平凡，也太枯燥。然而正是在這些平凡、枯燥中，數學無時不刻折射出其獨特的美的光芒。數學的博大精深，讓個人無法窮盡其美妙之所在。數學，簡而言之，即數字的科學，今天，我們就從這些大家看似平淡無奇的數字出發，通過幾個小故事一起去感受數學之美。

數字陷阱：有三個人去餐廳吃飯，每人各出十元錢，餐廳找回五元錢，讓服務員轉交給這三個人。服務員有點貪小便宜，他一想，三個人分五元錢，怎麼也不能做到平均分，於是就自己拿出二元，剩下的三元錢正好退給每人一元。暫且不說這個服務員的品質如何，我們來算一算這個帳：每人事先出了十元錢，共計三十元。後又每人找回一元，相當於每人各出了九元錢，共計二十七元，加上服務員拿走的二元，計二十九元。怎麼出現了29=30的情況呢？還有一元錢到哪裡去了？其實，在這個問題中，有一個陷阱——「每人各出了九元錢」。細想一下，每人應交餐費25/3元，而不是九元。這個九元又是怎麼來的呢？被服務員拿走的二元錢，若三人分攤，各應出2/3元，加上每人的餐費25/3元，剛好是九元。這樣，在二十七元中，就已經計算了服務員的這兩元，若又加上二元的話，豈不是把這個二元算了兩次，而把退回的三元未算在內，這樣，就不明不白地少了一元錢，而且讓我們毫無察覺地掉進了這個陷阱。

若說陷阱只是暫時地矇騙了我們，那麼黑洞的威力就比陷阱大得多。這裡我給大家列舉兩個最簡單的數字黑洞的例子。

一是數字黑洞1。相傳這個遊戲最早是由日本的一位叫角谷的人引入東方，所以它又叫角谷遊戲。遊戲規則是這樣的：任取一個正整數，如果它是偶數，就除以2，如果它是奇數，就用它乘3再加1。將所得到的結果不斷地重複上述運算，最後的結果總是1。不妨舉兩個例子試一試：如7，它是一個奇數，按規則，先乘3加1，得22，22是個偶數，除以2得11，11是奇數，乘3加1，得34，34是偶數，除以2，得17，17是奇數，乘3加1，得52，52是偶數，除以2，得26，26是偶數，除以2得13，13是奇數，乘3加1，得40，40是偶數，除以2，得20，20是偶數，除以2，得10，10是偶數，除以2得5，5是奇數，乘3加1，得16，16是偶數，除以2，得8，8是偶數，除以2得4，4是偶數，除以2得2，2是偶數，除以2得1。若還想繼續算下去，1是奇數，乘3加1，得4，4是偶數，除以2得2，2除以2得1，又還原了。看來，最簡單的數字1也蘊含著不簡單。

第二個例子是數字黑洞123。任取一個整數，將組成這個數的偶數的數字個數，奇數的數字個數和這個數人數字位數依次寫下來，組成一個新的數，重複上述步驟，你會發現，最後的結果始終是123。如518054—336—123；13246670125—6511—134—123。

數學中這樣的數字黑洞絕不止這兩個，只要你有心去發現，你也可以找到很多。黑洞以其神秘而激起無數人的探究慾望，從某種意義來說，這種神秘不就是一種美嗎？

若在這些數字遊戲中，還不足以讓你認識美，那麼另外一些看起來並不起眼的數字，它所表示的數據之神奇則會讓你感到吃驚，不可思議……

一張薄紙，不斷對摺，折30次後，紙疊得有多厚？說起來你也許不信，它比喜馬拉雅山還要高。這是可以切實算得的。一張紙，折一次有二層，折二次有四層，折三次就有八層……依此，當折到第30次時，有2³⁰層，而2³⁰等於1073741824，就按這張紙的厚度為0.01毫米計算，它也有10737.41824米高，而喜馬拉雅山脈的最高峰珠穆朗瑪峰的高度也只有8844.42米高。

印度北部的聖城貝拿勒斯城的一座神廟裡，佛像前面有一塊黃銅板，板上插著三根寶石針，其中一根針自上而下放著從小到大的64片圓形金片（它在當地被稱為「梵塔」）。按教規，每天由值班僧侶把金片都移到另一根寶石針上，每次只能移動一片，且小片必須放在大片上——當所有的金片都移到另一根針上時，所謂的「世界末日」就到了。看上去，又似乎是聳人聽聞，故弄玄虛！可是經計算髮現，按照上面規定，當把全部金片移到另一根寶石會上時，需移動2⁶⁴-1次。寫起來簡單，但操作起來卻不是那麼輕鬆。2⁶⁴-1次是個什麼概念呢？倘若每秒移動一次，即使日夜不停地移動金片，仍大約要585億年（按每年365天，每天24小時，每小時60分，每分60秒計算）。按現代科學推測，太陽系的壽命約200億年，移完金片，地球乃至太陽系或許不復存在了。

由此可以看出，那些「貌不驚人」的數，竟會大得使人難以置信。若說象2³⁰、2⁶⁴之大你還可以理解，那麼象1、2、3這樣比較小的數的神奇會讓你更難以置信。

有一根很長很長的繩子，恰好可以繞地球赤道一周，如果把繩子再接長15米後，繩子就會繞著地球一周懸在空中（如果可能做到的話）。你能想像出嗎：在赤道的任何一個地方，一個身高2米39以下的人,都可以從繩子下面自由穿過。比如姚明，他的身高是2米23，他完全可以不低頭、不彎腰地在繩子下面來去自由。是不是難以置信，想想偌大一個地球，赤道總長四萬多千米，區區15米又能改變什麼呢？它的道理只須稍加計算便可明了。設地球半徑為R，則繩子的原長為2πR，當繩子長為2πR+15時，繩子所圍半徑為（2πR+15）/2π=R+2.39。那麼繩子可圍成一個與地球相距2.39米的大圓圈。

這些事實，單憑直覺、想像無論如何也難體會到這些數的「驚人之處」，然而，嚴謹的數學計算告訴我們：這是千真萬確的。可是誰又能親身去體驗一下呢？正是因為數學，讓我們一次次地認識到這些數的神奇，這難道不是一種美的體驗嗎？

近日，偶然讀到一首七絕《晚秋即景》，

煙霞映水碧迢迢，

暮色秋聲一雁遙。

前岑落輝殘照晚，

邊城古樹冷蕭蕭。

這首詩反過來念也能成詩：

蕭蕭冷樹古城邊，

晚照殘輝落岑前。

遙雁一聲秋色暮，

迢迢碧水映霞煙。

這種詩稱為「迴文詩」。有趣的是數學當中也有「迴文質數」的研究。所謂迴文質數就是指某數為質數，把該數的各個數字倒過來寫，所得到的數仍是質數。如13倒過來是31，13和31都是質數，它們就是一對迴文質數。人們還找到了17和71，113和311，347和743，769和967等迴文質數。究竟有多少對這樣的迴文質數，至今仍是未揭開的謎。

圓周率（圓的周長與直徑的比值）是數學中經常用到的一個重要數值。瑞士數學家歐拉是最早倡導用希臘字母π來表示這個數，1761年法國數學家蘭伯特證明了「π不是有理數」。正因為它是一個無限不循環小數（無理數或超越數），因而計算它是十分麻煩的，特別是在電子計算機問世以前。關於π的計算，我國古代數學家在這一方面曾做出過領先世界的貢獻。東漢初年的數學專著《周髀算經》中，已有「周三徑一」的記載，這是最早的圓周率叫「古率」。爾後南北朝的祖沖之在《綴術》一書中，用割圓法給出了22/7和355/113兩個用分數表示的圓周率，它們分別被稱為「約率」和「密率」，又稱「祖率」，分別精確到小數點後第三位和第六位。這比國外同類結果要早一千多年。其後，在西方國家的一些數學家也在π的計算上做了大量的探索：葉維塔（Yeavita）用割圓法算至圓內接393216邊形，得到π的十位小數；荷蘭數學家魯道夫（C.Rudolff）花了畢生的精力算得π的第35位小數……當然，計算π的值也不需要那麼多位，美國天文學家紐科布說：π的十位小數就足以使計算地球的周界（如果把地球想像為絕對的球體）精確到一英寸之內，若用π的30位小數能使可觀宇宙的四周計算精確倒連最強大的顯微鏡也不可能分辨的一個數量級。儘管如此，人們還是在計算π的數位上進行角逐（這不僅僅是計算技術的角逐，也是π自身的美感而使得人們對它的偏愛，表面上看這種計算似無意義，實際則不然）——特別是電子計算機出現後，。下面的表格恰好說明這一點：

圓周率計算進展情況表

如今計算π的位數，已成為檢驗計算機性能包括它的軟體（即計算方法）的一種手段。

計算π的這麼多數位一方面說明科學可幫助人們突破極限、改寫進程，另一個目的是人們期待從這些數字中尋覓那些使人感到奇妙的數字現象，比如，π計算到小數點後第710100位時，連續出現七個數字3：3.141…353733333338638…；又如π的前兩位數字31，前六位數字314159組成的數是兩個迴文質數等等。再如用數字0，1，2……8，9（每個數字都用且僅用一次）組成的分數中，有不少可作為π的近似值，如：37869/12054；39480/12567，49270/15683；67389/21450；76591/24380；83159/26470；95147/30286；95761/30842，97468/31025；……當然，其中97468/31025=301415954875……已精確到小數點後第五位。我們也許無法理解直覺的本質，但現象背後必定隱蔽著某種奧秘。

在我國的國旗和國徽上都有一種共同的圖案，就是五角星。自然界中的圖案千千萬，萬萬千，為何對五角星情有獨鍾呢？因為五角星中除了形象美之處，它裡面還包含了許多有趣的比。幾何中，我們學過「黃金分割」，即把線段AB分成AC和CB兩段，使其比滿足AC∶BC=BC∶AB=k，這樣解得k= ，這種分割史稱「中外比分割」。而在五角形中：AB∶BD=BD∶AD= CD∶AC= AC∶AD= ，進一步計算還可知它們的比值均為0.618…。0.618…這是被中世紀學者、藝術家達芬奇譽為「黃金數」的重要數值（因而中外比分割亦被譽為「黃金分割」）。它也曾被德國天文、物理、數學家開普勒贊為幾何學中兩大「瑰寶」之一（另一件即為「勾股定理」）。

事實上，黃金比值一直統治著古代中東、中世紀西方建築藝術，無論是古埃及的金字塔，還是古雅典的巴特農神廟；無論是印度的泰姬陵，還是今日的巴黎埃菲爾鐵塔，這些世人矚目的建築中都蘊藏著0.618…這一黃金數(這顯然展示著數學美感)。

一些珍貴的名畫佳作、藝術珍品中也處處體現了黃金比值——這些作品的主題大都在畫面的黃金分割點處，這些樂章的高潮往往在全曲的0.618…前後……。

《蒙娜麗莎的微笑》是畫壇巨匠達芬奇的一幅作品，在這幅畫中，黃金比值的應用可見一斑。以畫框為界，確定一條水平線段，她的右眼正處在黃金分割點上，它的右手的中心點也處在黃金分割點處……所有這些，使得整幅畫顯得是那麼和諧自然而又富於神秘感，令人揣摸不透。多少年來，人們醉心於對這幅畫的研究，從未間斷過。

我們知道：植物葉子在莖上的排布是呈螺旋狀的，你細心觀察一下，不少植物葉狀雖然不同，但其排布卻有相似之處，比如相鄰兩片葉子在與莖垂直的平面上的投影夾角是137度28分，科學家們經計算表明：這個角度對植物葉子通風、採光來講，都是最佳的（正因為此，建築學家們依照植物葉子在莖上的排列方式設計，建造了新式仿生房屋，不僅外形新穎、別緻、美觀、大方，同時還有優良的通風、採光性能）。也許你不曾想到：這個角度正是把圓周分為1：0.618…的兩條半徑的夾角，人們通常稱之為「黃金分割角「。

更有趣的是，人體中有著許多黃金分割的例子，比如：人的肚臍是人體長的黃金分割點，而膝蓋又是人體肚臍以下部分體長的黃金分割點。有人意以此標準去衡量一個人的體形是否標準或健美，雖過於機械，但標準應該是普遍適用的。

什麼是美？有人這樣分析，美字的上面是個羊字，下面是個大字，意思就是說把羊養大，就是美。套用這種解釋，對數學中的那些已知或者未知的問題進行孜孜不倦探索，這種對科學的真和善的追求不就是一種美嗎？

數學的美還體現在很多方面。

比如提到組成物質的原子，人們會覺得它小，它到底有多小？很難說清楚。如果作個比方：「一個原子與一滴水的比」就如「一滴水與整個地球的比」一樣，你就會覺得形象了。我們的生活中充滿了哲理。哲理是抽象的，常常使人感到枯燥，難以理解，但是用數學知識來做比喻就能使哲理富有形象，生動感人，發人深思。

時間就是生命，但有些人卻不知不覺地白白浪費。德國詩人歌德（J.W.von Goethe）稍作計算，就使人們大吃一驚：「一個鐘頭等於60分鐘，一天就超過了1000分鐘。明白這個道理後就可知道人能對世界作出多少貢獻！」

很多人都想掌握成功的秘訣，於是愛因斯坦就用一道公式來回答眾人：X+Y+Z=A。且他解釋說：「X代表艱苦的勞動，Y代表正確的方法。」有個年輕人急不可待地問道：「Z代表什麼呢？」愛因斯坦嚴肅地回答說：「少說空話！」

大發明家愛迪生（T.A.Edison）曾用百分比來比喻靈感和勞動的關係。他說：「一個好的發明只有百分之一決定於他的天才和靈感，其餘百分之九十九決定於他的勞動和汗水。」

有些人不能正確認識自己，稍有成績就驕傲自滿。托爾斯泰用分數做比喻告誡說：「一個人就好像是一個分數，他的實際才能好比分子，而他對自己的估價好比分母。分母越大則分數的值就越小。」

這幾年，社會上曾流行這樣一道算式：8-1>8。這在數學上是不成立的，但在生活中卻飽含哲理。它告訴人們：每天八小時中拿出一小時鍛煉身體，其效果要比八個小時全用來學習、工作還好。

上述比喻除了證明人們對於數學的偏愛之外，也說明數學本向內涵的美——有了數學這才使比喻更富哲理，更加形象，更加生動。不得不讓人感嘆：美哉，數學；數學，美哉！

若把數學比作一條長河，正是這條長河中蘊含無限的奧妙與幽美，才得以誘使如此眾多的人去涉足，去探索，去遨遊，去為之獻身。最後，我以著名物理學家，諾貝爾獎獲得者楊振寧先生的一句話結束我的發言：任何領域都有美的存在，只要你能用心挖掘到它的美，你就可以攀登科學的高峰。