第四講 趣味算式（二）

第四講 趣味算式（二）

　　這一講介紹如何解「填數字」問題。這類問題和添運算符號不同，它已經給出運算關係，而要求填寫出數字。解決填數字問題，也沒有一定法則，掌握這類問題的解法，首先要熟悉第三講提到的整數運算的有關基本知識，還要掌握一些解題技巧，例如要用到列舉法、篩選法、反證法等。解這類問題的關鍵，是找到解題的突破口。

例1 把1－9這九個數字，分別填入下面算式的□內，使每個等式都成立。

　　□＋□＝□ ①

　　□－□＝□ ②

　　□×□＝□ ③

分析與解：因為1－9這九個數，每取三個數字試乘的情況，要比試加、試減的情況簡單，所以應從③式入手試填，試填發現有兩種情況：2×3＝6與2×4＝8符合題目要求。

　　因為1－9九個數中，有四個偶數和五個奇數，而兩個奇數或兩個偶數的和與差都是偶數，一奇一偶的積、差又都是奇數，這就決定了①、②兩式中，只能含有偶數個奇數，而③式中又不可能含3個奇數，所以③式只能是2×3＝6。

　　第二步，由剩餘的六個數字組成①式，它們的可能情況是，1＋4＝5，1＋8＝9，1＋7＝8，4＋5＝9，經試填發現，在1＋4＝5和1＋8＝9的條件下，無法組成②式，所以應捨去。

　　當1＋7＝8時，②式的組成是9－5＝4或9－4＝5，當4＋5＝9時，②式的組成是8－1＝7或8－7＝1，所以滿足題目要求的解有

　　本題的分析、解題過程說明，以③式入手就是找到了突破口，然後列舉可能出現的情況，運用和整數運算有關的知識，將不符合條件要求的情況篩選掉，可以得到題目的解答。

例2 有一個算式，式中畫的「×」表示缺掉的數字，求除數的所有不同的質因數的和。（本題是北京市第一屆小學迎春杯數學競賽試題）

分析與解法1：為了便於分析，將算式中的部分待定數字用字母代替。

　　所以商數為989。

　　第一個數字只能是9，④式的第一個數字只能是8，所以b＝1，C＝2；

分析與解法2：本題也可以直接求得除數。

位數字為8。

　　因為③式的三位數減去④式的三位數得三位數，可以判定8與除數的十位數字相乘沒有進位，所以b＝1，或b＝0，又因為很容易判定d＝9，所以b＝0是不可能的。

　　通過試乘，除數取113時，則113×8＝904，積的首位數字大於8，不符合要求，而除數取111時，則111×9＝999，不是四位數，也不符合要求，所以除數只能是112。

　　如果本題要求把所有缺掉的數字都補上，那也不難，因為求得除數和商數後，除法豎式就成為已知。

例3 下列乘法豎式中，不同的漢字表示不同的數字，相同的漢字表示相同的數字，請你用合適的數字代替漢字，使乘法豎式成立。

分析與解：顯然，本題應從先確定「大」與「山」所表示的數字入手。因為被乘數的最高位數字「大」與乘數「山」的積仍然是「山」，所以「大」表示1。

　　因為被乘數的個位數字「山」與乘數「山」的積的個位數字為1，所以只能是「山」表示9。

　　因為被乘數的百位數字「好」，與乘數9相乘時沒有進位，「好」又不能再表示1，所以「好」表示0。

　　因為被乘數的十位數字「河」與乘數9相乘，積的個位數字是0，而被乘數的個位數字9與乘數9相乘時，向十位進8，所以「河」表示8。

　　所以本題的解是

例4 下列加法豎式中，不同的字母代表不同的數字，相同的字母代表相同的數字，請你用合適的數字代替字母，使加法豎式成立。

分析與解：從加數與和的個位數字入手。

　　因為Y＋N＋N＝Y，所以N＝5或N＝0，但N＝5時，加數的十位數字T＋E＋E的和就不可能得T，所以只能是N＝0，同時判定E＝5。

　　因為加數的百位數字相加，必須向千位進1或2，且千位還必須向萬位進1，所以表示0＝9，同時判定I＝1。

　　因為加數百位數字的和要向千位進2，所以它在22至28之間，可判定T＝7或T＝8。若T＝7，則R＝8，X＝3，這時，只剩數字2、4、6還沒有取用，它們要代替S、F、Y，但是S只能比F大1，所以出現矛盾，即T不能是7。

　　當T＝8時，則R＝6或R＝7，而R＝6時，X＝3，乃出現矛盾，所以只能取R＝7，這時，X＝4，所剩數字為2、3、6，取S＝3，F＝2，Y＝6，就全部完成數字代替字母的解題過程，題目給出的加法豎式是

　　（本題是美國數學月刊上的一個數字趣題。其中三個加數與和，正好是英文的四個數詞40、10、10、60）

　　下列加法豎式，是一個和例4類似的數字趣題，其中三個加數與和，也正好是英文的四個數詞，它們是5、2、1、8，請同學們自己動手解這道題。

例5 下列算式中的O代表奇數，X代表偶數。請你用適當的數字代替O和X，使算式成立。

分析與解：從被乘數、乘數和部分積入手，因為被乘數OX X與乘數個位數字X相乘，部分積是一個四位數，並且它的個位數字是偶數。因為188×8＝1504，其千位數字是1；所以被乘數O××中的百位數字O要大於1；因為用O乘以乘數××的十位數字X得數不大於8，所以被乘數O××中的O只能是3，而乘數××中的十位數字×只能是2。在此條件下可以進行試乘，按要求被乘數3××乘以乘數的十位數字2，應該得×O×。從試乘中得知，被乘數3××只能取306，308，326，346，348，而這些數再乘以偶數4或6，都不能得到×O××，而乘以8時，只有其中的346、348可以得到×O××，但是由於346×28＝9688，不符合最後得積OO××的要求，所以本題只有唯一解

例6 下列的算式中，相同的漢字代表同一個數字，不同的漢字代表不同的數字，如果它們都成立。

　　迎迎×春春＝杯迎迎杯 ①

　　數數×學學＝數賽賽數 ②

　　春春×春春＝迎迎賽賽 ③

　　那麼，迎＋春＋杯＋數＋學＋賽＝？（1988年北京市迎春杯數學競賽試題）

分析與解：因為③中的乘數相同，所以試乘過程中的情況最少，經試乘得88×88＝7744，所以，春＝8，迎＝7，賽＝4，再代入①得77×88＝6776，所以，杯＝6。

　　再分析②，被乘數是「數數」，而乘積的個位數字也是「數」，這就是說，除去8、7、4三個數，剩餘的1、2、3、5、9中，只有5能滿足這個要求，所以，數＝5；而且「學」必須是奇數，從1、3、9三個奇數中試乘結果知，學＝9，即；55×99＝5445。所以

　　迎＋春＋杯＋數＋學＋賽＝7＋8＋6＋5＋9＋4＝39

例7 有人把中國古代趣詞中的名言佳句與「蟲食算」結合起來，製作了一些風格優異的小品，下面就是其中的一例。

　　年年×歲歲＝花相似 ①

　　歲歲÷年年＝人÷不同 ②

　　上面的兩個算式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數字，試解出這兩道算式。

分析與解：由②得

　　「歲歲」＜「年年」；而由兩個相同數字組成的兩位數是11，22，33，…，99，顯然「歲歲」不能是11，因為如果是11，乘積的個位數應該是「年」，這不符合題目要求。如果「歲歲」是33，因為「歲歲」＜「年年」，「年年」最小也應該是44，但是44×33＝1452，與①中積是三位數矛盾，而55×22＝1210，也與①中積是三位數矛盾，所以「年年」只能是33或44。取「年年」為33，則33×22＝726，仍不符合題目要求（想想為什麼？），所以「年年」只能是44，故所求的兩道算式是：

　　44×22＝968

　　22÷44＝5÷10