第二講 簡易邏輯問題（二）

第二講 簡易邏輯問題（二）

　　在第二冊的第十二講中曾經討論過一些「邏輯問題」，談到了列表法和畫圖法等分析方法。這一講繼續討論邏輯問題，通過例題分析提高推理判斷能力。

例1甲、乙、丙、丁四人對A先生的藏書數目作了一個估計，甲說：「A先生有500本書」；乙說：「A先生至少有1000本書」；丙說：「A先生的書不到2000本」；丁說：「A先生最少有1本書」，這四個人的估計中，只有一句是對的。問A先生究竟有多少本書？

解：把四人的估計列一個表：

　　我們採用「窮舉法」討論：

　　如果甲說的對，那麼丙、丁說的都對，與題意（只有一句對）不符合。

　　如果乙說的對，那麼丁說的也對，與題意不符。

　　如果丙說的對X＜200O，若1000≤x＜2000，則乙和丁說的也對；若1≤x＜1000，則丁說的也對，不符合題意。當x＜1時即x=0時，只有丙說的對，x=0合理。

　　如果丁說的對，x≥1，若1≤x＜2000，則丙說的也對；若x≥2000，則乙說的也對，不符合題意。

　　綜合以上推斷，A先生藏書是零。

例2在神話傳說的某國內，居民不是騎士就是無賴，騎士不說謊，無賴永遠說謊。我們遇到該國居民A、B、C，A說：「C是騎士，B是無賴」。C說：「A和我不同，一個是騎士，一個是無賴」。問這三個人中誰是騎士，誰是無賴？

解：對於A來說，不是騎士，就是無賴。

　　如果A是騎士（說真話）C是騎士，B是無賴C說真話A和C不同，一個是騎士，一個是無賴，與A、C均為騎士矛盾。

　　這樣A一定是無賴，說謊話「C是騎士，B是無賴」是假話。C是無賴，B是騎士。C說謊話「A與C不同」是假話，合乎題意。因此A、C是無賴，B是騎士。

例3把—8這八個號碼，貼在四個小夥子小張、小趙、小王、小李和他們四個人的妹妹小敏、小珍、小蘭、小英的背後，根據以下條件判斷這八個人各貼的幾號？並判斷出誰是誰的妹妹？

　　①兄妹號碼不相鄰，男的與男的號碼不相鄰；

　　②小張是1號，小敏是8號；

　　③小王與小珍的號碼相鄰；

　　④小李是小敏的哥哥；

　　⑤小英是2號，小王的號碼與小英相鄰。

解：問題是要求出號碼與八個人的對應關係和兄妹的對應關係。先把已知的條件列出（兄妹關係用連線表示）：

　　因為小王的號碼與小英相鄰，故小王的號碼是1或3；又小王與小珍的號碼相鄰，因此小王的號碼只能是3；小珍號碼是4號。

　　由於男的與男的號碼不相鄰，因此6號一定不是男的號碼。因為如果6號是男的號碼，還沒有確定的號碼還有5、7，不論哪個號碼標在男背上，都與6相鄰，不合題意，所以6號一定是女孩小蘭的號碼。

　　小李與他的妹妹小敏號碼不能相鄰，不能是7號，只能標5號。小趙標7號。

　　根據兄妹號碼不相鄰。小王（3號）的妹妹只能是小蘭（6號）；小張（1號）的妹妹不能小英（2號），只能是小珍，小趙的妹妹是小英。

　　答案如下表：

例4在一次國際會議上，甲、乙、丙、丁四人交談，其中每人只會英、法、日、中四種語言中的兩種語言，沒有四人都會的一種語言，只有一種語言三人會。

　　①乙不會英語，甲、丙交談請他當翻譯；

　　②甲會日語，丁不會，但他們能對話；

　　③乙、丙、丁可以不用翻譯交談，但沒有三人都會的語言；

　　④沒有人既會日語、又會法語；

　　問四人各會哪兩種語言？

解：由②知，甲會日語；由④知甲不會法語，那麼甲一定會英、中文的一種。

　　如果甲會英語，由①，丙會法語和中文，（因為甲、丙交談需要翻譯，沒有共同語言），由乙作甲、兩對話的翻譯，乙不會英語，一定會日語與甲交談，又由④，乙不會法語，乙一定會中文。

　　由②丁不會日語，而與甲能對話，丁一定會英語，假設丁會中文，則乙、丙、丁都會中文，與③矛盾。因此，丁一定會法語。

　　把以上推斷結果列表如下：

　　此表反映的結果又與③矛盾（乙、丙、丁三人可以不用翻譯交談），乙與丁不能交談。此結論不合題意。

　　那麼只有甲會中文；丙會英、法語；乙會中文、法語；又知丁不會日語，假設丁會法語，則乙、丙、丁都會法語，與③矛盾（沒有三人共同會的語言），那麼丁一定會英語。

　　最後結論如下表：

　　此結論滿足題目中的所有條件。

　　說明：此題推斷過程中，首先從甲會日語進行突破。又對甲會英語、中文兩種情況用「窮舉法」進行討論。排除與題意相矛盾的情況。肯定與題意相符合的結論。

例5體育館裡正進行一場精彩的羽毛球雙打比賽，兩位觀眾互相議論：

　　①「吳超比李明年輕」；

　　②「趙奇比他的兩個對手年齡都大」；

　　③「吳超比他的夥伴年齡大」；

　　④「李明與吳超的年齡差距比趙奇與張輝的差距更大些」

　　請你寫出他們四人的年齡大小順序，（從小到大排）

解：設吳超年齡為x歲，李明為y歲，趙奇為z歲，張輝為w歲；

　　由①，y＞x；

　　由①，③可知，吳超的夥伴不是李明，只能是趙奇或張輝。

　　如果吳超的夥伴是趙奇，由③x＞z，那麼y＞x＞z。由②，z＞y，z＞w，由此可得：

　　y＞x＞z＞y，推出y＞y，不合理，所以吳超的夥伴不會是趙奇。

　　吳超的夥伴只能是張輝。比賽是吳超、張輝對李明、趙奇。因此y＞x＞w

　　又由②，z＞x，z＞w。

　　z對y有兩種可能，z≥y或z＜y。即z≥y＞x＞w或y＞z＞x＞w。

　　對於z≥y＞x＞w，z-w＞y-x。與④不符合。只有y＞z＞x＞w成立。

　　即四人年齡從小到大排是：張輝，吳超，趙奇，李明。

說明：此題是討論大小關係，用到了大小關係的「傳遞性」。就是說，如果a＞b，b＞c，那麼a＞c。

例6 如圖2—l，一個正六邊形ABCDEF，在六條邊AB，BC，CD，DE，EF，FA上隨意寫上—6這六個數字，每個數字寫一次，同時又在OA，OB，OC，OD，OE，OF上也寫上—6這六個數字，一個數字用一次。判斷是否存在一種寫法，使三角形OAB，OBC，OCD，ODE，OEF，OFA的三邊上各數之和相等？為什麼？

分析：按題意進行試驗情況太多。我們用字母表示各邊上標上的數字，如果六個三角形三邊上各數之和都相等，看應該滿足什麼關係或有什麼不合理情況。

解：設AB，BC，CD，DE，EF，FA上寫的數為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+2+3+4+5+6=21。

　　設OA，OB，OC，OD，OE，OF邊上寫的數是b1，b2，b3，b4，b5，b6，b1+b2+b3+b4+b5+b6=l+2+3+4+5+6=21。

　　假設六個三角形三邊上各數之和都相等，設三個數之和為S。六個三角形各邊上的數的和為6S。那麼在取和中，六邊形六條邊上各數a1，a2，a3，a4，a5，a6各出現一次b1，b2，b3，b4，b5，b6各出現兩次。所以有以下關係：

　　6S=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)×(b1+b2+b3+b4+b5+b6）

　　6S=21+2×21

　　6S=63（63是6的倍數）不合理

　　所以不存在一種寫法使六個三角形中，每個三角形三邊上三個數之和都相等。

說明：要說明某一結論的正確性，直接說明比較困難。可以先假設結論的反面正確，然後推出與題意或與某一個正確結論相矛盾的結果。上面的假設不正確，從而肯定要證明的結論的正確性。這種數學方法，就叫「反證法」，例6採用了反證法思想。

例7 在數學晚會上，張華表演了一個數學猜謎節目。首先把35枚棋子中的2枚，3枚，4枚分別給甲、乙、丙三人，其餘26枚放在桌子上。另外在桌上還有標有1、2、3號的竹籤各一根。甲、乙、丙三個背著張華隨意各取一根竹籤。讓張華猜，誰持有幾號竹籤。張華說「持有1號竹籤的，從桌子上再取和自己一樣多的棋子；持2號竹籤的，從桌子上再取自己原有棋子的2倍；持3號竹籤的，從桌子上再取自己原有棋子的4倍。誰又從桌子上取多少棋子，張華並不知道。事後張華見到桌子上還只剩3枚棋子。馬上猜出甲持2號簽，乙持1號簽，丙持3號簽，請你說明張華根據什麼猜的？

解：三人持簽只有六種可能，對每種可能情況，分別計算棋子餘數。

　　從以上表中可以看出，只有甲持2號簽，乙持1號簽，丙持3號簽時，餘數才是3枚。

　　從持簽不同情況，餘數均不相同，就可以從餘數確定持簽的情況。

習題二

　　1.小張、小王、小李、小趙四位同學住在一個宿舍里，規定每晚最後一個回宿舍的同學把室外路燈關上。有一天晚上，他們中間最晚回來的那位同學忘了關燈，第二天宿舍管理員查問誰回來的最晚？

　　小張說：「我回來的時候，小李還沒回來；」

　　小王說：「我回來的時候，小趙已經睡了，我也就睡了；」

　　小李說：「我進門的時候，小王正在上床；」

　　小趙說：「我回來就睡了，別的沒有注意。」

　　四位同學說的都是實話，你知道誰回來的最晚嗎？

　　2.在一個國際學生聯歡會上，一個圓桌周圍坐著五個人。甲是中國人，會說英語；乙是法國人，會說日語；丙是美國人，會說法語；丁是日本人，會說漢語；戊是法國人，會說西班牙語，問他們怎樣坐，才能彼此間都能交談。

　　3.小張、小王、小李談年齡，每人都說三句話，並且有兩句真話，一句假話。

　　小張說：「我今年才22歲」，「我比小王還小兩歲」；「我比小李大1歲」。

　　小王說：「我不是年齡最小的」；「我和小李相差3歲」；「小李25歲了」。

　　小李說：「我比小張小」；「小張23歲了」；「小王比小張大3歲」。

　　請你推斷他們三人的年齡。

　　4.少先隊員要去採訪一位電子科學家，可是不知道這位科學家姓什麼，看門的老爺爺說了下面一段話：二樓住著姓李、姓王、姓張的三位科技會議代表，其中有一位科學家，一位技術員，一位編輯，同時還有三位來自不同地方的旅客，也是姓王、姓李、姓張各一位。並且知道：

　　①姓李的旅客來自北京；

　　②技術員在廣州一家工廠工作；

　　③姓王的說話有口吃毛病，不能做教師；

　　④與技術員同姓旅客來自上海；

　　⑤技術員和一位教師旅客來自同一個城市；

　　⑥姓張的代表賽乒乓球總是輸給編輯。

　　請判斷科學家姓什麼？

　　5.一個國家的珠寶店發生了一起盜竊案，經過偵破，作案人肯定是A、B、C、D中的一人，把這四人作為重大嫌疑人訊問。

　　A說「珠寶被盜那天，我在別的城市；

　　B說：D是罪犯；

　　C說：B是盜竊犯；

　　D說：B與我有仇，有意誣諂我。

　　經過調查，四人中只有一人說的是真話，你能斷定誰是罪犯嗎？