孿生素數猜想之後的故事

一份30公分的義大利麵包，縱向剖開，抹上金槍魚泥，放上四片乳酪，放到烤爐烤一分鐘，撒上生菜，鋪上酸黃瓜和番茄，包起來，切成兩半，就是又一個三明治。

這也是張益唐曾經蹉跎的歲月。

張益唐，圖片來源：新罕布希爾大學十年磨一劍

在博士畢業後，張益唐一直未能在學術界找到一份工作。為了生活，他不得不打工維持生計。從會計到三明治，他都做過。即使在他的同學幫助他，找到新罕布希爾大學的一份代課講師工作後，即使在轉正成為一名大受學生好評的講師後，正式而言，他仍不是一名研究人員。

但數學無需官方認可，研究也不需要正式的職位。張益唐受過正式的數學研究訓練，有紮實的功底，有充分的能力，知道怎麼去做研究，心裡也時刻揣著數學。即使沒有正式的職位，他骨子裡仍然是一位研究數學的學者。

2012年6月，張益唐到朋友家做客時靈光一閃，找到了思考了三年之久的開啟素數間隔問題的關鍵性的突破。用新的方法，他證明了有無窮對素數，它們相差不過7000萬。他將他的新方法與新結論，用簡潔明了的語言，寫成了一篇論文，投稿到數學界的頂級期刊《數學年刊》。這篇論文名為Bounded gaps between primes（《素數間的有界間隔》）。

收到這篇論文的編輯想必十分意外。在一所不起眼的大學做著講師的工作，在數學的研究共同體中也不活躍，之前一篇論文還是十多年前發表的，這樣的一位默默無聞的數學家，突然聲稱自己解決了一個困擾眾多學者幾十年的問題，引起的第一反應自然是懷疑。但畢竟，數學證明就是他學識的證明，他的論文寫得如此清楚明白，而所用的方法又是如此合情合理，這衝破了原有的一點點懷疑。編輯認為，張益唐的結論很可能是對的，而他的方法對於解析數論而言，也可能是個重要的進步。

因為很多數學證明都相當艱深晦澀，即使是同一個領域的專家，有時也要花上一大段時間來咀嚼揣摩，才能斷定證明是否無誤。所以，數學論文的審稿時間通常不短，少則數月，多則數年，期間匿名審稿人通常需要通過編輯與作者多次通信，才能決定一篇論文的命運。而張益唐的論文是如此激動人心，編輯認為他們等不起如此漫長的時間，於是對他的論文進行了「特殊對待」。他們請了篩法方面的大家Iwaniec教授與另一位匿名審稿人（可能是Goldston）來審核這篇論文，而且很快就有了迴音。

兩位審稿人都認為這篇文章沒有明顯的錯誤。實際上，評審報告中寫著這樣的評價：「論文的主要結果是第一流的」，「在素數分布領域的一個標誌性的定理」。從論文寄出到審稿結束，僅僅花了三個星期的時間。

自此，消息不脛而走。在哈佛大學的丘成桐教授，知悉這個消息之後，很快邀請了張益唐來哈佛做關於他的工作的學術報告。消息很快在數學界與新聞界傳開，張益唐幾乎是一夜之間，從默默無聞變成舉世知名。據說，他的妻子聽說有記者要採訪時，跟張益唐講的第一件事，就是把髮型整理一下。

作為勵志故事，這個結尾再好不過了。

（關於孿生素數和張益唐的工作，請戳《孿生素數猜想，張益唐究竟做了一個什麼研究？》）

然而，之後的故事還要精彩。

在數學界中，對於久攻不下的問題，一旦有人打破一個缺口，其他人很快就會跟進，把缺口弄得更大。張益唐的結果也不例外。

在張益唐的論文中，他給出的結果是，存在無數對相鄰素數，它們的差相差不過7000萬。但這個7000萬隻是一個估計，並非張益唐的方法能得到的最好結果。在論文出爐後，一些數學家在吃透新方法後，開始試著改進7000萬這個數據。

張益唐的論文在5月14號面世，兩個星期後的5月28號，這個常數下降到了6000萬。

僅僅過了兩天的5月31號，下降到了4200萬。

又過了三天的6月2號，則是1300萬。

次日，500萬。

6月5號，40萬，不到原來的百分之一。

在筆者寫下這行的今天，剩下的只有區區的25萬。

這些結果可以說是互聯網的結晶。這樣快的改進速度，對於僅僅依靠一年發行數次的期刊做研究的時代，完全是不可想像的。而在今天，數學家們在網上，不停發布最新的思考和計算，以最高的速度，匯聚所有人的智慧，才能創造出如此奇觀。

張益唐帶來的影響不止於此。

利用他的新方法，可以解決更多的問題。Pintz指出，從張益唐的工具出發，可以得知存在一個常數C，使得對於每C個連續偶數，都存在無窮對相鄰的素數，它們的差是這些偶數之一。也就是說，Polignac的猜想，起碼對於1/C的偶數來說是正確的。所以，不僅素數本身難以捉摸，它們之間的差更是劇烈起伏不定。

實際上，大數學家Erd?s在1955年就猜測，相鄰兩對素數差的比值，可以要多大有多大，要多小有多小。而同樣藉助張益唐的工具，Pintz不僅證明了這個猜想，而且證明了比值之差以不低的速度趨向於兩極分化。用他本人的話來說：在剛剛過去的幾個月里，一系列十年前會被認為是科幻小說的定理都被證明了。

但孿生素數猜想本身又如何呢？我們知道，如果將張益唐論文中的常數從7000萬改進到2，就相當於證明孿生素數猜想。既然現在數學家們將常數改進得如此的快，那麼我們是否已經很接近最終的目標呢？

很遺憾，實際上還差很遠。

張益唐的方法，本質上還是篩法，而篩法的一大問題，是所謂的「奇偶性問題」。簡單來說，如果一個集合中所有數都只有奇數個素因子，那麼用傳統的篩法無法有效估計這個集合至少有多少元素。而素數組成的集合，恰好屬於這種類型。

正因如此，當陳景潤做出哥德巴赫猜想的突破性結果（1 + 2）時，他得到的評價是「榨乾了篩法的最後一滴油」。因為如果只靠篩法，是無法證明哥德巴赫猜想的。（1 + 2）是篩法所能做到的最好結果。

但數學家們從不固步自封。要想打破「奇偶性問題」的詛咒，可以將合適的新手段引入傳統篩法，籍此補上篩法的缺陷。張益唐的出發點——之前提到Goldston，Pintz和Yildirim的結果——正是這種新思路的成果。但對於孿生素數猜想而言，這些進展仍然遠遠不夠。學界認為，雖然不能斷定張益唐的方法，即使經過改進，是否仍然不能解決孿生素數猜想，但可能性似乎微乎其微。

但不能低估人類的才智。發明割圓術的劉徽，他對於無知的態度更適合我們：

敢不闕疑，以俟能言者！

本文節選自《素數並不孤獨》，文字部分略有修改。