數學概念、方法、題型、易誤點技巧總結——數列
1、數列的概念：數列是一個定義域為正整數集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數，數列的通項公式也就是相應函數的解析式。如（1）已知
，則在數列
的最大項為__（答：
）；（2）數列
的通項為
，其中
均為正數，則
與
的大小關係為___（答：
）；（3）已知數列
中，
，且
是遞增數列，求實數
的取值範圍（答：
）；（4）一給定函數
的圖象在下列圖中，並且對任意
，由關係式
得到的數列
滿足
，則該函數的圖象是 （）（答：A）
2.等差數列的有關概念：
（1）等差數列的判斷方法：定義法
或
。如設
是等差數列，求證：以bn=
為通項公式的數列
為等差數列。
（2）等差數列的通項：
或
。如(1)等差數列
中，
，
，則通項
（答：
）；（2）首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值範圍是______（答：
）
（3）等差數列的前
和：
，
。如（1）數列
中，
，
，前n項和
，則
＝＿，
＝＿（答：
，
）；（2）已知數列
的前n項和
，求數列
的前
項和
（答：
。
（4）等差中項：若
成等差數列，則A叫做
與
的等差中項，且
。
提醒：（1）等差數列的通項公式及前
和公式中，涉及到5個元素：
、
、
、
及
，其中
、
稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為…，
…（公差為
）；偶數個數成等差，可設為…，
,…（公差為2
）
3.等差數列的性質：
（1）當公差
時，等差數列的通項公式
是關於
的一次函數，且斜率為公差
；前
和
是關於
的二次函數且常數項為0.
（2）若公差
，則為遞增等差數列，若公差
，則為遞減等差數列，若公差
，則為常數列。
（3）當
時,則有
，特別地，當
時，則有
。
如（1）等差數列
中，
，則
＝____（答：27）；（2）在等差數列
中，
，且
，
是其前
項和，則A、
都小於0，
都大於0 B、
都小於0，
都大於0 C、
都小於0，
都大於0 D、
都小於0，
都大於0 （答：B）
(4) 若
、
是等差數列，則
、
(
、
是非零常數)、
、
，…也成等差數列，而
成等比數列；若
是等比數列，且
，則
是等差數列。
如等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。（答：225）
（5）在等差數列
中，當項數為偶數
時，
；項數為奇數
時，
，
（這裡
即
）；
。
如（1）在等差數列中，S11＝22，則
＝______（答：2）；（2）項數為奇數的等差數列
中，奇數項和為80，偶數項和為75，求此數列的中間項與項數（答：5；31）
（6）若等差數列
、
的前
和分別為
、
，且
，則
.如設{
}與{
}是兩個等差數列，它們的前
項和分別為
和
，若
，那麼
___________（答：
）
(7)「首正」的遞減等差數列中，前
項和的最大值是所有非負項之和；「首負」的遞增等差數列中，前
項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組
確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數列前
項是關於
的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性
。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？（函數思想），由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？
如（1）等差數列
中，
，
，問此數列前多少項和最大？並求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；（2）若
是等差數列，首項
，
，則使前n項和
成立的最大正整數n是 （答：4006）
(8)如果兩等差數列有公共項，那麼由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數. 注意：公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究
。
4.等比數列的有關概念：
（1）等比數列的判斷方法：定義法
，其中
或
。
如①一個等比數列{
}共有
項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，則
為____（答：
）；②數列
中，
=4
+1 (
)且
=1，若
，求證：數列｛
｝是等比數列。
（2）等比數列的通項：
或
。
如設等比數列
中，
，
，前
項和
＝126，求
和公比
. （答：
，
或2）
（3）等比數列的前
和：當
時，
；當
時，
。
如①等比數列中，
＝2，S99=77，求
（答：44）；②
的值為__________（答：2046）；
特別提醒：等比數列前
項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前
項和時，首先要判斷公比
是否為1，再由
的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比
是否為1時，要對
分
和
兩種情形討論求解。
（4）等比中項：若
成等比數列，那麼A叫做
與
的等比中項。提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個
。如已知兩個正數
的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關係為______（答：A＞B）
提醒：（1）等比數列的通項公式及前
和公式中，涉及到5個元素：
、
、
、
及
，其中
、
稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等比，可設為…，
…（公比為
）；但偶數個數成等比時，不能設為…
，…，因公比不一定為正數，只有公比為正時才可如此設，且公比為
。
如有四個數，其中前三個數成等差數列，後三個成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求此四個數。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比數列的性質：
（1）當
時，則有
，特別地，當
時，則有
.
如①在等比數列
中，
，公比q是整數，則
=___（答：512）；②各項均為正數的等比數列
中，若
，則
（答：10）。
(2) 若
是等比數列，則
、
、
成等比數列；若
成等比數列，則
、
成等比數列；若
是等比數列，且公比
，則數列
，…也是等比數列。當
，且
為偶數時，數列
，…是常數數列0，它不是等比數列。
如①已知
且
，設數列
滿足
，且
，則
. （答：
）；②在等比數列
中，
為其前n項和，若
，則
的值為______（答：40）
(3)若
，則
為遞增數列；若
, 則
為遞減數列；若
，則
為遞減數列；若
, 則
為遞增數列；若
，則
為擺動數列；若
，則
為常數列。
(4) 當
時，
，這裡
，但
，這是等比數列前
項和公式的一個特徵，據此很容易根據
，判斷數列
是否為等比數列。
如若
是等比數列，且
，則
＝ （答：－1）
(5)
。
如設等比數列
的公比為
，前
項和為
，若
成等差數列，則
的值為--_____（答：－2）
(6) 在等比數列
中，當項數為偶數
時，
；項數為奇數
時，
。
(7)如果數列
既成等差數列又成等比數列，那麼數列
是非零常數數列，故常數數列
僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。
如設數列
的前
項和為
（
）， 關於數列
有下列三個命題：①若
，則
既是等差數列又是等比數列；②若
，則
是等差數列；③若
，則
是等比數列。這些命題中，真命題的序號是 （答：②③）
6.數列的通項的求法：
⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。
如已知數列
試寫出其一個通項公式：__________（答：
）
⑵已知
（即
）求
，用作差法：
。
如①已知
的前
項和滿足
，求
（答：
）；②數列
滿足
，求
（答：
）
⑶已知
求
，用作商法：
。
如數列
中，
對所有的
都有
，則
______（答：
）
⑷若
求
用累加法：
。
如已知數列
滿足
，
，則
=________
（答：
）
⑸已知
求
，用累乘法：
。
如已知數列
中，
，前
項和
，若
，求
（答：
）
⑹已知遞推關係求
，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，
（1）形如
、
（
為常數）的遞推數列都可以用待定係數法轉化為公比為
的等比數列後，再求
。
如①已知
，求
（答：
）；②已知
，求
（答：
）；
（2）形如
的遞推數列都可以用倒數法求通項。
如①已知
，求
（答：
）；②已知數列滿足
=1，
，求
（答：
）
注意：（1）用
求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（
，當
時，
）；（2）一般地當已知條件中含有
與
的混合關係時，常需運用關係式
，先將已知條件轉化為只含
或
的關係式，然後再求解。
如數列
滿足
，求
（答：
）
7.數列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式，特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關係，必要時需分類討論.；③常用公式：
;
;
.
如①等比數列
的前
項和Sｎ＝2ｎ－１，則
＝_____（答：
）；②計算機是將信息轉換成二進位數進行處理的。二進位即「逢2進1」，如
表示二進位數，將它轉換成十進位形式是
，那麼將二進位
轉換成十進位數是_______（答：
）
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將「和式」中「同類項」先合併在一起，再運用公式法求和。
如求：
（答：
）
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前
和公式的推導方法）。
如①求證：
；②已知
，則
＝______（答：
）
（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那麼常選用錯位相減法（這也是等比數列前
和公式的推導方法）。
如（1）設
為等比數列，
，已知
，
，①求數列
的首項和公比；②求數列
的通項公式.（答：①
，
；②
）；（2）設函數
，數列
滿足：
，①求證：數列
是等比數列；②令
，求函數
在點
處的導數
，並比較
與
的大小。（答：①略；②
，當
時，
＝
；當
時，
<
；當
時，
>
）
（5）裂項相消法：如果數列的通項可「分裂成兩項差」的形式，且相鄰項分裂後相關聯，那麼常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①
；
②
；
③
，
；
④
；⑤
；
⑥
.
如①求和：
（答：
）；②在數列
中，
，且Sｎ＝９，則n＝_____（答：99）；
（6）通項轉換法：先對通項進行變形，發現其內在特徵，再運用分組求和法求和。
如①求數列1×4，2×5，3×6，…，
，…前
項和
= （答：
）；②求和：
（答：
）
8. 「分期付款」、「森林木材」型應用問題
(1)這類應用題一般可轉化為等差數列或等比數列問題.但在求解過程中，務必「卡手指」，細心計算「年限」.對於「森林木材」既增長又砍伐的問題，則常選用「統一法」統一到「最後」解決。
(2)利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金
元，每期利率為
，則
期後本利和為：
（等差數列問題）；②複利問題：按揭貸款的分期等額還款（複利）模型：若貸款（向銀行借款）
元，採用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）後為第一次還款日，如此下去，分
期還清。如果每期利率為
（按複利），那麼每期等額還款
元應滿足：
（等比數列問題）。
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