從引力波談愛因斯坦的幸運

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2016年2月12日是中國農曆大年初五。因為所謂「搶財神」的習俗，在零點前後，我當時所在的城市鞭炮聲大作。這成了我瀏覽互聯網上鋪天蓋地的引力波被探測到的新聞發布和原始論文的喜慶伴奏。當時, 我想到愛因斯坦的幸運，便開始寫這篇文章。愛因斯坦曾經感嘆牛頓的幸運，而他自己又何嘗不幸運至極。他在廣義相對論方面的工作就有很多幸運之處。在創立狹義相對論並為量子論奠基十年以後，居住在柏林的愛因斯坦在個人婚姻糾葛的時期，於1915年創立了廣義相對論[1,2,3]，並在次年預言了引力波的存在[4,2]。1918年他得到能量變化率與質量4極矩3階變化率的關係[5]。美國激光干涉引力波天文台（LIGO）觀測到引力波這件事正好成為對廣義相對論100周年的紀念。廣義相對論的精髓是物質運動與時空幾何的統一和相互影響，在引力場方程上表現為能量和動量與代表時空彎曲程度的量之間的相等。引力使得時空彎曲，需要用非歐幾里德幾何描述。愛因斯坦創立廣義相對論時，物理學家對此還不熟悉，但數學上對於非歐幾何已經有深入的研究。

在20世紀50年代後的廣義相對論和楊-米爾斯場論大發展之前，幾何獨立於理論物理，取得了長足的進展，可以用楊振寧的詩句「歐高黎嘉陳」概述（指歐拉、高斯、黎曼、嘉當、陳省身）。而愛因斯坦創立廣義相對論時，幸運地得到了他的數學家朋友格羅斯曼（M. Grossmann）的幫助，導致他能夠最終成功地將物理思想用數學公式表達出來。創立廣義相對論的高潮在於愛因斯坦1915年的一段非常緊張的工作[2,3]。6月他在哥廷根向希爾伯特等人做了一個星期學術報告，介紹他在廣義相對論上的工作。10月，愛因斯坦發現自己工作有錯誤，還聽說希爾伯特也發現了他的數學錯誤並正在取得進展。11月4日開始，按照既定安排，愛因斯坦在普魯士科學院每周一次介紹廣義相對論。

經過非常緊張的工作，愛因斯坦終於在11月16日收到希爾伯特的引力場方程之前取得成功，並算出與天文觀測相符的水星近日點進動。在11月25日的最後一次報告中，他終於能夠寫下他的引力場方程。幸運的愛因斯坦！1861年，麥克斯韋寫下後來以他的名字命名的電磁場方程組，在接下來的幾年內他提出了電磁波的存在，並認為司空見慣的光就是一種電磁波。而完備的專著發表於1864年。赫茲在1887年（即麥克斯韋去世8年後）人工產生並探測了無線電波這種電磁波。與之類似，1916年愛因斯坦發表了一篇論文，預言了引力波[2]。

愛因斯坦去世50年後的現在，引力波終於被探測到。在4中基本相互作用中，只有電磁作用和萬有引力是長程的，所以引力波顯然是了解宇宙的一個新窗口。波是振動的傳播。而引力波所傳播的是時空度規的振動。度規是一種幾何性質。比如平面或者球面上兩點之間的間隔都可以用面上的坐標算出，但是公式不一樣，這就是因為度規不一樣。

而在相對論中，有一個與參照系無關的固有時間間隔，它可由時間間隔和空間坐標間隔算出，具體的公式也取決於度規。當物質質量分布發生巨大的變化時，比如高密度天體（如中子星或者黑洞）之間碰撞或者恆星爆炸或坍塌時，會產生引力波。

胡斯（R. A. Huse）和泰勒(J. H. Taylor Jr.)於1974年發現的脈衝雙星（兩個互相旋轉的脈衝星）的軌道不斷減小，這可以用引力波來解釋。他們獲得了1993年的諾貝爾物理學獎。

理論上認為，宇宙極早期的暴漲會產生原初引力波，從而導致宇宙微波背景輻射在某個尺度上有某種偏振現象。該現象被位於南極的宇宙學河外偏振背景成像（BICEP2）望遠鏡於2014年觀察到，但是後來發現是宇宙塵埃造成的。 LIGO觀測到的引力波產生於兩個黑洞的併合[6]。大約13億年前兩個黑洞併合產生的引力波於2015年9月14日經過LIGO的兩個探測器。

幸運的是升級後的LIGO在兩天前剛開始運行[7]。這兩個探測器實際上是兩個巨大的邁克爾孫干涉儀。垂直於干涉儀通過的引力波使得每個干涉儀的4公里長的兩臂的長度各有微小的振蕩，導致振蕩的相位差，從而給出振蕩的干涉信號。

110年前，狹義相對論解釋了邁克爾孫干涉儀測量以太漂移的零結果。現在，邁克爾孫干涉儀又測量到了引力波，檢驗了廣義相對論。確實，現代光學和精密測量技術對引力波探測立下汗馬功勞，使得LIGO能夠測出小於原子核大小的兩臂長度差。

歷史上引力波探測曾催生量子非破壞性測量的概念，也有原來從事引力波探測的研究人員成為量子測量的專家。回到愛因斯坦。1933年愛因斯坦移居到美國普林斯頓，引力、統一場論和對量子力學的質疑是他當時關心的問題。愛因斯坦和他的助手羅森（N. Rosen）尋找引力波方程的平面波解，發現這使得度規中不可避免會有奇點（變得無窮大）。現在我們知道這只是表明單一坐標系不足以描述平面引力波，就好比南極和北極的經度無法確定，不是物理上真正的奇點。但是他們當時卻以此認為引力波不存在。

1936年，他們寫了一篇文章投到美國期刊《物理評論（Physical Review）》[8]。這時，愛因斯坦的幸運表現在文章被編輯泰特（John Tate）退回，要求考慮審稿人的意見。審稿意見長達10頁，出於專家之手。

其實，雖然指出愛因斯坦和羅森的錯誤，審稿人仍然認為這篇文章有值得讚譽之處，建議經過修改後發表。顯然，氣憤的愛因斯坦沒有研究審稿意見，把文章原封不動地改投到《富蘭克林學會會刊（Journal of Franklin Institute）》，文章很快被接受。

再次幸運的是，從加州理工學院等地訪問回來的同事羅伯森（H. P. Robertson，量子力學教科書上不確定關係的證明源於他）通過愛因斯坦的新助手英菲爾德告訴他們愛因斯坦-羅森工作的錯誤，並幫助解決了問題。這導致最後發表出來的文章結論完全改變了，成為圓柱狀引力波[9]。愛因斯坦幸運地沒有否定自己20年前對引力波的預言。

近年來Kennefick發現，愛因斯坦本來可以通過閱讀《物理評論》的審稿人意見知道自己的錯誤，因為羅伯森正是泰特為愛因斯坦-羅森文章所找的審稿人。這段歷史的詳細分析和記述來源於2005年Kennefick發表於《Physics Today》的文章[8]以及劉寄星發表於《物理》的文章[10]（根據美國物理學會期刊主編M. Blume參考Kennefick一篇預印本文章所作的報告，包含Kennefick文中所沒有的泰特致愛因斯坦兩封信件的複印件）。 幾天前出現LIGO探測到引力波的傳言時，我便想到愛因斯坦的這件事。1936年的愛因斯坦幸運地被同行評議制度避免了發表一篇錯誤的論文，而1905年的愛因斯坦恰恰曾幸運地因為德國《物理學年鑒(Annalen der Physik)》的寬鬆而得以在該雜誌發表5篇改變物理學的論文，特別是看上去離經叛道的狹義相對論和光量子論文。

而在愛因斯坦移居普林斯頓後完成的愛因斯坦、羅森和玻多爾斯基（B. Podolsky）質疑量子力學完備性的論文（EPR論文）以及愛因斯坦和羅森關於愛因斯坦-羅森橋（即蟲洞）的論文都未經審稿在物理評論發表[8]。後來的歷史表明這兩篇文章也極為重要，當然是應該發表的。

EPR成了愛因斯坦被引用最多的論文。Kennefick認為引力波當時是廣義相對論眾所周知的預言，所以泰特經過猶豫後將愛因斯坦-羅森證明它不存在的這篇論文送審。

而關於愛因斯坦-羅森橋的論文是當時與別人進行的一個爭論，所以未經審稿直接發表。那麼，質疑當時從一個勝利走向另一個勝利的量子力學的EPR論文為何不經審稿直接發表呢？筆者認為，這是因為EPR承認量子力學技術上的正確性，質疑的只是量子力學的完備性，即是否完全描述客觀實在，討論具有哲學性質。順便說一下，最近這兩篇論文在關於黑洞量子性質的理論討論中被聯繫起來。1917年，愛因斯坦將廣義相對論用於宇宙學[11]。如果只有引力而沒有斥力，宇宙整體上不能保持靜止，所以他在引力場方程中又加了一個代表斥力的宇宙學常數項，雖然他也覺得這個做法很不自然（現在我們知道這也不能真正使宇宙靜止）。

但是很快人們開始討論宇宙膨脹，從弗里德曼(A. Friedmann) 、勒梅特（G. Lamaite）和德希特（W. de Sitter）等人的模型研究到哈勃(E. Hubble)的1929年的觀測發現。

大爆炸宇宙學的創始人伽莫夫（G. Gamow）在他的自傳《我的世界線(My Worldline)》（筆者本科時代讀到這本書後，一直記憶猶新，所以將世界線用於本人的博客名稱中）中告訴我們，愛因斯坦曾說過宇宙學常數是他一生最大的錯誤[12]。所以1936年愛因斯坦-羅森關於引力波的文章所用的引力場方程中，已經沒有宇宙學常數。

但是在當代，作為聯繫宇宙學與微觀的量子場論的一個橋樑，宇宙學常數成了一個重要的研究課題。近年來宇宙加速膨脹和暗能量的發現更使得宇宙學常數的概念得到復活。這又是愛因斯坦的幸運，雖然他失去了預言宇宙膨脹的機會。

最後，用筆者與楊振寧先生以前的一段討論結束本文。施：您認為愛因斯坦(而非麥克斯韋)是僅次於牛頓的偉大物理學家。我也這樣認為。您能不能簡單說說您的理由？楊：麥克斯韋是一位偉大的物理學家，他對人類的貢獻無法可以被誇大。但是從對物理學基本概念的貢獻的角度來說，他不能與愛因斯坦相比。愛因斯坦（1）改變了我們對於時間和空間的理解，從而給理論物理帶來對稱性的概念和對稱性支配相互作用的思想，（2）創造了引力的幾何概念，（3）幫助創立了量子力學。感謝楊振寧先生的交流和閱讀本文。

[1] A. Einstein,Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss. (1915) 844.[2] A. Pais, Subtle is the Lord, OxfordUniversity Press, New York (1982).[3] W. Isaacson, Einstein:His Life and Universe. Simon & Schuster, New York (2007).[4] A. Einstein,Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss. (1916) 688.[5] A. Einstein,Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss. (1918) 154.[6] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and the VirgoCollaboration), Phys.Rev. Lett. 116 (2016) 061102.[7] E. Berti, Physics9 (2016) 17.[8] D. Kennefick,Physics Today, September 2005, p. 43. 這篇文章後來吸收進該作者的書《Traveling at the speed of thought》.[9] A. Einsteinand N. Rosen, J. Franklin Institute 223(1937) 43.[10] 劉寄星，物理，34, 2005, p.487.[11] A. Einstein, Sitzungsber.K. Preuss. Akad. Wiss. (1917) 142.[12] G. Gamow, 《My Worldline》, Viking, New York, 1977.

此文來自科學網施郁博客