反比例函數複習會了這些題型不用愁

反比例函數是我們初中學習的第二大函數，有了一次函數的基礎，我們學習反比例函數的就會簡單很多，現在我們來看看反比例函數有哪些知識點，哪些考點。

知識點一：反比例函數概念

反比例函數有三種表示形式，①

，② xy=k，③ y=x^-1其中k均≠0。我們需要做到的是認識反比例函數，並能指出反比例函數的比例係數。

題型1：認識反比例函數

解法：首先要知道反比例函數的特徵，分母是關於x的一次單項式，分子必須是常數，然後後面不能再加或者減任何數。

例題1：下列函數中，y是x的反比例函數的有（序號）

①y=5-x；②y=

；③y=

；④xy=2；⑤

；⑥y=2x^-1；⑦

；

⑧y=

；⑨

例題2：如果函數

是反比例函數，則k=；函數的解析式為。

例題3：下列函數中，反比例函數是（　　　）

A、

B、

C、

D、

題型2：待定係數法求反比例解析式

解法：某某成反比例，只要設成反比例的形式就可以，注意，有時我們要看做整體，比如，y+1與x-1成反比例，那麼我們就設

，還有要設多個函數的話，一定要注意用k1，k2，等來區分不同一個字母表示不同的比例。

例題4：u與t成反比，且當u＝6時，

，這個函數解析式為________；

例題5：已知y-2與x成反比例，當x=3時，y=1，則y與x間的函數關係式為；

知識點二：反比例圖像的性質

我們要熟悉反例函數圖像是雙曲線，具有中心對稱性，而且還是關於y=±x成軸對稱，能通過k的符號來判斷函數所經過的象限，增減性和分支有關係。知道反比例函數圖像上的點具有的特性。

題型3：圖像上的點的特性

解法：這種題型非常簡單，只要把點的橫縱坐標相乘結果是比例係數k，也就是用到了反比函數的xy=k形式的解析式。

例題6：已知反比例函數的圖象經過點

和

，則

的值為．

例題7：反比例函數

的圖像經過（－

，5）點、（

，－3）及（10，

）點，

則k＝ ，a＝　 ，b＝；

例題8：已知反比例函數的圖像經過點（a，b），則它的圖像一定也經過（　　　）

A、(－a,－b) B、(a,－b) C、(－a,b) D、（0，0）

題型3：通過k的符號來判斷圖象所過的象限

解法：反比例函數的圖象很簡單，主要看k的符號，k＞0，經過一、三象限，k＜0，經過二、四象限。

例題9：如果反比例函數

的圖像經過點（－3，－4），那麼函數的圖像應在（　　　）

A、第一、三象限　 B、第一、二象限 　 C、第二、四象限　 D、第三、四象限

例題10：正比例函數

和反比例函數

在同一坐標系內的圖象為（ ）

例題11：若反比列函數

的圖像經過二、四象限，則k= _______

題型4：反比例函數的增減性

解法：反比例函數的增減性大家一定要記住，除了和k的符號有關係，還要看有沒有強調在每一個分支上，用數學符號表示為x＞0或x＜0，這裡會有好幾種小題型，①是告訴增減性來找出對應的函數，這簡單，只要知道每個函數增減性的判斷方法就可以，還要注意反比函數不能跨兩個分支 ②通過增減性來比較函數值的大小，方法畫草圖，③通過函數值的大小來判斷k的符號，方法畫草圖。畫草圖是解決增減性題目的最直接和準確的方法。④通過增減性判斷k的符號。下面我們每個小題型來舉個例子

例:12：當-2<x<2時，下列函數：①y=2x；②y=2-x；③；④；⑤y=（x-2）2-1，函數值y隨x的增大而增大的是；

例題13：已知：反比例函數y=的圖象上兩點A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）當x₁＜0＜x₂時,y₁＜y₂則m的取值範圍（ ）

（A）m＜0 （B）m＞0 （C）m＜

（D）m＞

例題14;在反比例函數的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而增大，則k的值可以是（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

例題15：已知反比例函數的圖像上有兩點A(

，

)，B(

，

)，且

，則

的值是（ ）

A、正數 B、負數 C、非正數 D、不能確定

例題16：反比例函數y=（2m-1）

，當x>0時，y隨x的增大而增大，則m的值為；

例題17：設有反比例函數，

、

為其圖象上的兩點，若

時，

，則k的取值範圍是___________

題型5：反比例函數的中心對稱性

解法：反比例要考察中心對稱性一般就會與正比例函數結合在一塊，所以我們一般看到和正比例函數結合在一塊的話，就要想到它的中心對稱性

例題18：如圖雙曲線與

交於A，B兩點，B（-2，-3）則A點的坐標為。

例題19：如圖，半徑為2的兩圓

和

均與y軸相切於點O，反比例函數（k＞0）的圖像與兩圓分別交於點A、B、C、D，則圖中陰影部分的面積是．

例題20：正比例函數y=kx與反比例函數相交於A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，

則5x₁y₂-6x₂y₁=__________

題型5：|k|的幾何意義

解法：k是我們反比例中的唯一的係數，所以它的性質我們要清楚。我們知道|k|越大，則圖形越遠離原點。|k|等於函數圖像上的點對x軸，y軸作垂直和坐標軸組成的矩形的面積。

換句話說只要題目當中是計算面積的，基本上就是考察這種題型的，解決這種題型的方法也非常簡單，只要設出告訴你關係的點坐標就可以了，然後通過這個點去表示或者通過關鍵點分別對坐標軸作垂直就可以了。其它點的坐標。

例題21：如圖,直線l和雙曲線

交於A、B亮點,P是線段AB上的點（不與A、B重合）,過點A、B、P分別向x軸作垂線,垂足分別是C、D、E,連接OA、OB、OP,設△AOC面積是S₁、△BOD面積是S₂、△POE面積是S₃、則（ ）

A.S₁＜S₂＜S₃B. S₁>S₂>S₃C. S₁=S₂>S₃D. S₁=S₂<S₃

例題22：如圖，反比例函數y＝xk(x＞0)的圖象經過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC相交於點D、E．若四邊形ODBE的面積為6，則k的值為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

例題23：如圖，點A是反比例函數(x＞0)的圖象上任意一點，AB∥x軸交反比例函數的圖象於點B，以AB為邊作□ABCD，其中C、D在x軸上，則S_□ABCD為( )

A．2 B．3 C．4 D．5

例題24：如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線與直線y=-x+(k+1)在第四象限的交點， AB⊥x軸於B 且S_AOC=

,

(1）求這兩個函數的解析式；

(2）求直線與雙曲線的兩個交點A、C的坐標和△AOC的面積．

題型6：與不等式的綜合

解法：與不等式的綜合的題型只要通過交點對x軸作垂直就可以，有幾個交點就作幾條垂線，記住一定要與0為界。也就是y軸的左右兩側。

例題25：如圖14，已知

，是一次函數

的圖象和反比例函數的圖象的兩個交點．

(1)求反比例函數和一次函數的解析式；

(2)求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積；

(3)求方程

的解（請直接寫出答案）；

(4)求不等式

的解集（請直接寫出答案）.

例題26：如圖，一次函數y=-ax-b的圖像與反比例函數的圖象交於M、N兩點.

(l）求反比例函數和一次函數的解析式；

(2）根據圖像寫出使反比例函數的值大於一次函數的值的x的

取值範圍．

題型7：與幾何的綜合

解法：與幾何的綜合題型的解法就是這點坐標，然後用點坐標來表示線段長度，最後用幾何性質來列方程：

例題27：如圖，正方形A₁B₁P₁P₂的頂點P₁、P₂在反比例函數y＝x2（x＞0）的圖像上，頂點

A₁、B₁分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側作正方形P₂P₃A₂B₂，頂點P₃在反比例函數y＝x2（x＞0）的圖象上，頂點A₃在x軸的正半軸上，則點P₃的坐標為。

例題28：如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝2AB，A，B兩點的坐標分別是（－1，0），（0，2），C，D兩點在反比例函數

的圖象上，則k的值等於

例題29：如圖,△

、 △

是等腰直角三角形,點

、

在函數

的圖象上,斜邊

、A₁、A₂都在x軸上,則點

的坐標是__________.

題型8：找規律

解法：找規律的題型的解法都一樣，首先要算出前三項，然後在這三項來歸納出規律。注意：在歸納規律的時候不要只看結果，也要結合解題過程來觀察，這樣規律更容易出來。周期性的規律要算完一個周期，然後找不它的最小周期。

例題30：如圖，在反比例函數（x>0）的圖象上，有點P₁,P₂,P₃,P₄，它們的橫坐標依次為1，2，3，4．分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為

，則

；S₁+S₂+S₃+S₄=；

例31：兩個反比例子函數y＝

，y＝

在第一象限內的圖象如圖所示，點P₁，P₂，P₃，……，P₂₀₁₀在反比例函數y＝

圖象上，它們的橫坐標分別是x₁，x₂，x₃，……，x₂₀₁₀，縱坐標分別是1，3，5，……，共2010個連續奇數，過點P₁，P₂，P₃，……，P₂₀₁₀分別作y軸的平行線，與y＝

的圖象交點依次是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），Q₃（x₃，y₃），……，Q₂₀₁₀（x₂₀₁₀，y₂₀₁₀），則y₂₀₁₀＝_______________。

例題32：反比例函數y=-2/x與y=6/x在直角坐標系中的部分圖象如圖所示．點P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₀在雙曲線 y=6/x上，它們的橫坐標分別是x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₁₀，縱坐標分別是2，4，6，…共2010個連續偶數，過點P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₀分別作y軸的平行線，與函數y=-2x在第四象限內的圖象的交點依次是Q₁（x₁，y₁），Q2（x₂，y₂），Q₃（x₃，y₃），…，Q₂₀₁₀（x₂₀₁₀，y₂₀₁₀），則y₂₀₁₀=．

例題33：如圖，在x軸的正半軸上依次截取

，過點

分別作x軸的垂線與反比例函數的圖象相交於點

，得直角三角形

並設其面積分別為

則

的值為．

題型9：反比例函數的應用

解法：反比例的應用題無非就是用實際生活中的問題載出反例的最基本的用發，主要就是考察反比例函數的增減性，注意自變數的取值範圍。

例題34：為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒。已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢後，y與t的函數關係為

（a為常數）。如圖所示，據圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個函數關係式及相應的自變數取值範圍；

（2）據測定，當空氣中每立方米和含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進入教室，那麼從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時後，學生才能進入教室？

例題35：圖，正方形OABC的面積為4，點O為坐標原點，點B在函數

（

）的圖象上，點P（m，n）是函數

（

）的圖象上異於B的任意一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E，F.

（1）設矩形OEPF的面積為

，試判斷

是否與點P的位置有關（不必說明理由）.

（2）從矩形OEPF的面積中減去其與正方形OABC重合的面積，剩餘面積記為

，寫出

與m的函數關係，並標明m的取值範圍.

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