值得一看：神奇的「缺8數」

【值得一看：神奇的「缺8數」】 「12345679」，這個數裏缺少「8」，我們稱之爲「缺 8 數」。 開始，我以爲這「缺 8 數」只有「清一色」的奇妙。誰知經過一番資料的查找，竟發現它還有許多讓人驚訝的特點。 一、清一色 菲律賓前總統馬科斯偏愛的數字不是「8」，卻是「7」。於是有人對他說：「總統先生，妳不是挺喜歡『7』嗎？拿出妳的計算器，我可以送妳清一色的『7』。」 接著，這人就用「缺8數」乘以「63」，頓時，「777777777」映入了馬科斯的眼簾。 「缺8數」實際上並非對「7」情有獨鍾，它是一碗水端平，對所有的數都一視同仁的： 妳只要分別用「9」的倍數（9，18……直到81）去乘它，則：「111111111」、「222222222」、「333333333」到「999999999」都會相繼出現。 12345679×9 =111111111； 12345679×18=222222222； 12345679×27=333333333； 12345679×36=444444444； 12345679×45=555555555； 12345679×54=666666666； 12345679×63=777777777； 12345679×72=888888888； 12345679×81=999999999. 二、三位一體 「缺 8 數」引起研究者的濃厚興趣，於是，人們繼續拿「3」的倍數與它相乘，發現乘積竟「三位一體」地重複出現。 12345679×12=148148148； 12345679×15=185185185； 12345679×21=259259259； 12345679×30=370370370； 12345679×33=407407407； 12345679×36=444444444； 12345679×42=518518518； 12345679×48=592592592； 12345679×51=629629629； 12345679×57=703703703； 12345679×78=962962962； 12345679×81=999999999. 這裡所得的九位數全由「三位一體」的數字組成，非常奇妙！ 三、輪流「休息」 當乘數不是「3」的倍數時，此時雖然沒有「清一色」或「三位一體」現象，但仍可看到一種奇異性質： 乘積的各位數字均無雷同。缺什麽數存在著明確的規律，它們是按照「均勻分布」出現的。 另外，在乘積中，缺「3」、「6」、「9」的情況肯定不存在。先看一位數的情形： 12345679×1=12345679（缺0和8）； 12345679×2=24691358（缺0和7）； 12345679×4=49382716（缺0和5）； 12345679×5=61728395（缺0和4）； 12345679×7=86419753（缺0和2）； 12345679×8=98765432（缺0和1）. 上面的乘積中，都不缺數字「3」、「6」、「9」，而都缺「0」。缺的另一個數字是「8」、「7」、「5」、「4」、「2」、「1」，且從大到小依次出現。 讓我們看一下乘數在區間[ 10～17 ]的情況，其中「12」和「15」因是「3」的倍數，予以排除。 12345679×10=123456790（缺8）； 12345679×11=135802469（缺7）； 12345679×13=160493827（缺5）； 12345679×14=172869506（缺4）； 12345679×16=197530864（缺2）； 12345679×17=209876543（缺1）. 以上乘積中仍不缺「3」、「6」、「9」，但再也不缺「0」了，而缺少的另一個數與前面的類似——按大小的次序各出現一次。 乘積中缺什麽數，就像工廠或商店中職工「輪休」，人人有份，但也不能多吃多佔，真是太有趣了！ 乘數在[19～26]及其他區間（區間長度等於「7」）的情況與此完全類似。 12345679×19=234567901（缺8）； 12345679×20=246913580（缺7）； 12345679×22=271604938（缺5）； 12345679×23=283950617（缺4）； 12345679×25=308641975（缺2）； 12345679×26=320987654（缺1）. 一以貫之 當乘數超過「81」時，乘積將至少是十位數，但上述的各種現象依然存在。 再看幾個例子： （1）乘數爲「9」的倍數 12345679×243=2999999997，只要把乘積中最左邊的一個數「2」加到最右邊的「7」上，仍呈現「清一色」。 又如： 12345679×108=1333333332 （乘積中最左邊的一個數「1」加到最右邊的「2」上，恰好等於「3」） 『 12345679×117=1444444443 （乘積中最左邊的一個數「1」加到最右邊的「3」上，恰好等於「4」） 12345679×171=2111111109 （乘積中最左邊的一個數「2"加最右邊的「09」，結果爲「11」） （2）乘數爲「3」的倍數，但不是「9」的倍數 12345679×84=1037037036，只要把乘積中最左邊的一個數「1」加到最右邊的「6」上，又可看到「三位一體」現象。 （3）乘數爲「3k+1」或「3k+2」型 12345679×98=1209876542，表面上看來，乘積中出現雷同的「2」； 但據上所說，只要把乘積中最左邊的數「1」加到最右邊的「2」上去之後，所得數爲「209876543」，是「缺1」數。 而根據上面的「學說」可知，此時正好輪到「1」休息，結果與理論完全吻合。 四、走馬燈 冬去春來，24個節氣仍然是立春、雨水、驚蟄……其次序完全不變，表現爲周期性的重複。 「缺8數」也有此種性質，但其乘數是相當奇異的。 實際上，當乘數爲「19」時，其乘積將是「234567901」，像走馬燈一樣，原先居第二位的數「2」卻成了開路先鋒。 深入的研究顯示，當乘數成一個公差等於「9」的算術級數時，出現「走馬燈」現象。 現在，我們把乘數依次換爲「10」、「19」、「28」、「37」、「46」、「55」，「64」，「73」（它們組成公差爲9的等差數列）： 12345679×10=123456790； 12345679×19=234567901； 12345679×28=345679012； 12345679×37=456790123； 12345679×46=567901234； 12345679×55=679012345； 12345679×64=790123456； 12345679×73=901234567. 以上乘積全是「缺 8 數」！數字「1」、「2」、「3」、「4」、「5」、「6」，「7」、「9」像走馬燈似的，依次輪流出現在各個數位上。 五、迴文結對 攜手同行 「缺 8 數」的「精細結構」引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到： 12345679×4=49382716； 12345679×5=61728395. 前一式的積數顛倒過來讀，正好就是後一式的積數！（但有微小的差異，即「5」代以「4」，而根據「輪休學說」，這正是題中的應有之義。） 這樣的「迴文結對，攜手並進」現象，對「13」、「14」、「31」、「32」等各對乘數（每相鄰兩對乘數的對應公差均等於「9」）也應如此。 例如： 12345679×13=160493827； 12345679×14=172839506； 12345679×22=271604938； 12345679×23=283950617； 12345679×67=827160493； 12345679×68=839506172. 六、遺傳因子 「缺 8 數」還能「生兒育女」，這些後裔秉承其「遺傳因子」，完全承襲上面的這些特徵。所以這個龐大家族的成員幾乎都同其始祖「12345679」具有同樣的本領。 例如，「506172839」是「缺8數」與「41」的乘積，所以它是一個衍生物。 我們看到，506172839×3=1518518517。將乘積中最左邊的數「1」加到最右邊的「7」上之後，得到「8」。如前所述，「三位一體」模式又來到我們面前。 「缺8數」還有更加神奇壯觀的迴文現象。我們繼續做乘法： 12345679×9=111111111； 12345679×99=1222222221； 12345679×999=12333333321； 12345679×9999=123444444321； 12345679×99999=1234555554321； 12345679×999999=12345666654321； 12345679×9999999=123456777654321； 12345679×99999999=1234567887654321； 12345679×999999999=12345678987654321. 奇蹟出現了！等號右邊全是迴文數（從左讀到右或從右讀到左，同一個數）。而且，這些迴文數全是「階梯式」上升和下降，神奇、優美、有趣！ 因爲12345679=333667×37，所以「缺 8 數」是一個合數。 「缺8數」和它的兩個因數「333667」、「37」，這三個數之間有一種奇特的關系。 一個因數「333667」的首尾兩個數「3」和「7」、就組成了另一個因數「37」； 「缺 8 數」本身數字之和「1+2+3+4+5+6+7+9」也等於「37」。 可見「缺 8 數」與「37」天生結了緣。 更令人驚奇的是，把「1/81」化成小數，這個小數也是「缺 8 數」： 1/81=0.012345679012345679012345679…… 爲什麽別的數字都不缺，唯獨缺少「8」呢？ 原來1/81=1/9×1/9=0.1111……×0.11111…… 「0.1111……」是無窮小數，在小數點後有無窮多個「1」。 「缺 8 數」的奇妙性質，集中體現在大量地出現數學循環的現象上，而且這些循環非常有規律，令人驚訝。 「缺8數」的奇特性質，早就引起了人們的濃厚興趣。而它其中還有多少奧秘，人們一定會把它全部揭開。 「缺8數」太奇妙了，讓我這個對數學沒啥興趣的人也忍不住要大加贊美啊！
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