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【翻譯搬運】SciPy

06-16

SciPy庫提供了大量有用的函數和類，用來解決各種專業領域的問題。本文翻譯自Jupyter nbviewer中的第三講。首先，介紹了一些特殊函數，如貝塞爾函數，這對物理學問題的計算提供了方便；之後是各種數值積分問題，常微分方程求解問題以及傅里葉變換，這些也可以描述並求解一些諸如復擺運動、阻尼震蕩等複雜的物理過程；同時，該庫還可以高效處理線性代數問題，如矩陣的運算、特徵值和特徵向量以及稀疏矩陣的存儲和運算；最優化問題，即尋找函數極值和零點的問題，和插值問題，即用多項式擬合曲線的問題，在SciPy庫中也可以找到相應的函數；最後介紹了統計上的應用，包括各種分布的密度函數、分布函數及其圖像繪製，以及一些統計檢驗問題。

作者：J.R. Johansson (郵箱：jrjohansson@gmail.com)

譯者：一路向上

最新版本的用法介紹見網站http://github.com/jrjohansson/scientific-python-lectures.其他相關介紹見http://jrjohansson.github.io.

簡介

SciPy框架建立於低一級的NumPy框架的多維數組之上，並且提供了大量的高級的科學演算法。一些SciPy的應用如下：

  1. 特殊函數 (scipy.special)
  2. 積分 (scipy.integrate)
  3. 優化 (scipy.optimize)
  4. 插值 (scipy.interpolate)
  5. 傅里葉變換 (scipy.fftpack)
  6. 信號處理 (scipy.signal)
  7. 線型代數 (scipy.linalg)
  8. 稀疏特徵值問題 (scipy.sparse)
  9. 統計 (scipy.stats)
  10. 多維圖像處理 (scipy.ndimage)
  11. 文件輸入輸出 (http://scipy.io)

這些模塊提供了大量的函數和類，可以用來解決各自領域的問題。 在本節中我們將看到如何使用這些子函數包。 我們首先導入scipy程序包：

如果我們只需要用scipy框架中的一部分，我們也可以選擇性的導入。例如，只導入線性代數函數包la，我們可以：

特殊函數

大量的數學函數對許多物理問題的計算是非常重要的。SciPy提供了一系列非常廣泛的特殊函數。詳見http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/special.html#module-scipy.special.

為了說明指定的特殊函數的用法，我們先看一下貝塞爾函數的使用細節：

積分

數值積分：求積公式

對f(x)從a到b的積分叫做數值積分，也叫簡單積分。SciPy提供了一系列計算不同數值積分的函數，包括quad,dblquad和tplquad，分別包含二重和三重積分。

quad有一系列的可供選擇的參數，可以用來調節函數的各種行為（輸入help(quad)獲取更多信息）。

其基本用途如下：

如果我們需要添加更多對於被積函數的參數，可以使用args關鍵字參數：

對於簡單函數而言，對於被積函數，我們可以用λ函數（無名稱的函數）來代替清晰定義的函數：

如上所示，我們可以用"Inf"或者"-Inf"作為積分上下限。高維積分用法相同：

注意，我們需要用λ函數對於y積分的極限，因為它們可以看做是x的函數。

常微分方程（ODE）

SciPy提供了兩種不同的方法來解決常微分方程：函數odeint的API，和函數類ode面向對象的API。通常odeint比較容易上手，但是ode函數類能夠更好的控制函數。

這裡我們使用odeint函數，如需了解更多ode函數類的信息，請輸入help(ode)。它和odeint很像，但卻是面向對象的函數。

使用odeint之前，首先從scipy.integrate中調用它：

常微分方程系通常寫作其一般形式：

y" = f(y, t)

其中

y = [y1(t), y2(t), ..., yn(t)]

f的微分是yi(t)。為了解決常微分方程，我們需要知道函數f和初始條件y(0).

高階微分方程可以通過引進新的變數作為中間變數。

當我們定義了Python函數f和數組y_0(f和y(0)都是數學函數），我們調用odeint函數：

y_t = odeint(f, y_0, t)

t是解決ODE問題需要的時間坐標數組，y_t是對於給定點在時間t的一行數組，每一列代表在給定時間t所對應的一個解y_i(t)。我們下面將會看到如何設置f和y_0.

例：復擺

我們考慮一個物理問題：復擺。定義詳見http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum.

為了讓Python代碼看起來更簡潔，我們引進新的變數，並規定：

在matplotlib函數的應用中，會介紹如何繪製復擺運動的動圖。

在matplotlib函數的應用中，會介紹如何繪製復擺運動的動圖。

ps:這裡的結果不是報錯，是因為最後一行代碼是每0.1s更新一次狀態，為了後面的函數能夠正常運行，我把它停掉了。

例： 阻尼諧波振蕩器

常微分方程問題對計算物理非常重要，下面我們來看另一個例子：阻尼諧波振蕩器。關於概念的解釋詳見 http://en.wikipedia.org/wiki/Damping.

阻尼諧波振蕩器的方程為：

x是振蕩器的位置，

是頻率，

是阻尼比。為了寫出標準形式的二階常微分方程，我們引入

：

在這個例子中，我們將為常微分方程等號右邊的函數添加額外的參數，而不是像前面的例子那樣使用全局變數。作為等號右邊函數的額外參數的結果，我們需要將一個關鍵字參數args傳遞給odeint函數：

傅里葉變換

傅里葉變換是計算物理中的一種通用工具，它在不同文章中都會反覆出現。SciPy提供能夠從NetLib中接入經典FFTPACK庫的函數，它是由FORTRAN語言編寫的一個行之有效的FFT庫。SciPy API有一些額外的便利功能，但總的來說，API和原來的FORTRAN庫密切相關。

為了調用fftpack，請輸入：

為演示如何用SciPy做一個快速傅里葉變換，讓我們來看看用FFT如何解決之前討論的阻尼震蕩問題：

由於信號是實數，所以譜線圖是對稱的。我們因此只需要畫出對應正頻率的部分。為了提取w和F的部分，我們可以運用NumPy庫：

和預期一樣，我們看到譜線圖在1處達到最高點，這正是在阻尼震蕩這個例子中所採用的頻率。

線性代數

線性代數部分包含了許多矩陣函數，包括線性方程的解，特徵值的解，矩陣函數（例如矩陣指數函數），許多不同的分解（SVD，LU，cholesky）等等。詳見：http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.html.

下面我們看看如何使用這些函數：

1、線性方程組

線性方程組的矩陣形式：

A是矩陣，x,b是向量。可以求解如下：

我們也可以：

這裡A,B,X都是矩陣：

2、特徵值和特徵向量

矩陣A的特徵值問題是：

這裡

是第n個特徵向量，

是第n個特徵值：

用eigvals計算矩陣的特徵值，用eig計算特徵值和特徵向量：

第n個特徵值（儲存在evals[n]中）對應的特徵向量是evecs的第n列，也就是evecs[:,n]. 為了驗證它，我們嘗試把矩陣和特徵向量相乘，並與特徵向量和特徵值的乘積做比較：

還有許多其他的特殊的本徵解，如埃爾米特矩陣（用eigh實現）

3、矩陣運算

4、稀疏矩陣

稀疏矩陣在處理巨型系統的數值模擬時非常有用，如果描述該問題的矩陣或向量大部分的元素為0。Scipy對於稀疏矩陣有很多處理方法，包括基礎的線性代數處理（包括解方程，計算特徵值等等）

許多方法都能有效存儲稀疏矩陣，一些常用的方法包括坐標形式（COO）,列表的列表形式（LIL），壓縮稀疏列（CSC）和壓縮稀疏行（CSR）。每種方法都有優勢和不足。大多數的計算演算法（解方程，矩陣和矩陣相乘等等）都能用CSR或者CSC形式處理，但是它們並不直觀，也不太容易進行初始化。所以通常來說，稀疏矩陣採用COO或者LIL進行初始化（我們可以在稀疏矩陣中有效添加元素），然後再轉換為CSC或者CSR並進行計算。

更多關於稀疏矩陣的信息，詳見： http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_matrix.

當我們創建了一個稀疏矩陣，我們要選擇其存儲形式，如：

創建稀疏矩陣更有效的方法是，建立一個空矩陣，並用所在矩陣的位置填充（避免創建大的稠密矩陣）：

最優化

最優化問題（尋找函數的最大值或者最小值）是數學的一大領域，複雜函數的最優化問題，或者多變數的最優化問題可能會非常複雜。下面我們看一些很簡單的例子，更多詳細的對於使用SciPy處理最優化問題的介紹，請見：http://scipy-lectures.github.com/advanced/mathematical_optimization/index.html.

首先調用optimize：

尋找最小值

首先我們看如何尋找單變數的簡單函數的最小值：

我們可以用fmin_bfgs尋找函數的最小值：

我們還可以用brent或者fminbound函數，它們採用了不太一樣的語法和演算法。

尋找函數的解

為了尋找函數f(x) = 0 的解，我們可以用fsolve函數，它需要一個初始的猜測值：

插值

插值在SciPy中能夠很容易和方便的實現：interpid函數，當描述X和Y的數據時，返回值是被稱之為x的任意值（X的範圍）的函數，同時返回相應的插值y：

統計

scipy.stats包含了許多統計分布，統計函數和檢驗。完整的功能請見：http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.html.

還有一個非常強大的統計模型的包叫做statsmodels，詳見：http://statsmodels.sourceforge.net.

統計結果：

統計檢驗

檢驗兩組（獨立）隨機數據是否來自同一個分布：

因為p值很大，我們不能拒絕原假設（兩組隨機數據有相同的均值）。

為了檢驗單個樣本的數據是否均值為0.1（實際均值為0.0）：

p值很小，意味著我們可以拒絕原假設（Y的均值為0.1）。

延伸閱讀

http://www.scipy.org - SciPy的官方網頁

http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/index.html - SciPy的一個教程

https://github.com/scipy/scipy/ - SciPy源代碼.

版本

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