對美的追求：張益唐破解了純數學的一個神秘 | 獲得傳主肯定的譯文

林開亮 譯

可樂數學按：幾年前我們獲知張益唐先生在孿生素數問題上取得突破之時，異常激動；當進一步得知他的傳奇經歷時，更是感動。當時《數學文化》聯合主編湯濤教授利用候機時間，在網上寫作，一氣呵成，寫成了第一篇中文報告作品《張益唐和北大數學78級--- 謹以此文紀念陳景潤誕辰80周年；他影響了那個難忘的時代》。後來就越來越多相關文字。英文的也不少。這一篇譯文的原文就是其一。想必很多讀者對張先生的故事也熟悉了。但他的治學精神是我們永遠的激勵。讀起熟悉的故事，感動依然。因此，我們還是決定再發一次張先生相關的文章。尤其難得的是，此譯文已經得到傳主的肯定。

我們感謝林開亮博士授權發布，此處略有編輯，加入了一些圖片。林開亮博士現為西北農林科技大學數學系年輕而很有作為的教師。在數學的普及方面做了許多工作，翻譯、寫作了很多著作。例如，他與合作者翻譯了《數學家畫冊》、《數學家的大腦》等。

譯者按：本文是對2015年2月2日《紐約客》上的張益唐專訪The Pursuit of Beauty:Yitang Zhang solves a pure-mathmystery. 的全文翻譯。原文作者 Alec Wilkinson。作者曾在文末註明：An earlier version of this article misstated the name of thedocumentary about Zhang. 感謝蔡天新教授告知，網上已經有編譯過來的其他中文版：張益唐：天才的證明。【譯者林開亮在翻譯時曾請教不少朋友，恐怕仍然有問題，還請各位指教。】

當年我是憑作弊才通過高中數學升學考試的，現在揭一下老底，想必無妨。我只會加減乘除，一碰到方程式和x,y,z我就頭大了。考試時，我坐在聰明的同學Bob Isner，Bruce Gelfand，Ted Chapman亦或Donny Chamberlain旁邊，他們的書寫我能辨認，我的目光掃瞄於他們的試卷和監考老師之間。數學天賦，我是沒有，但我的侄女Amie Wilkinson倒是得天獨厚，她是芝加哥大學的數學教授。我從Amie那裡第一次聽聞張益唐的傳奇，他是新罕布希爾大學的一位孤獨的兼職微積分講師，因為他解決了一個懸疑150多年的問題而贏得了許多獎項，包括9月份的MacArthur獎。

張益唐在2010年所選擇研究的問題來自數論，這是純數學的一個分支。不同於應用數學，純數學的研究不懷任何實用目的。它跟藝術和哲學的距離與跟工程的距離是同樣的接近。張益唐說，「我的結果沒有實用價值。」英國數學家G. H. Hardy在1940年寫道，數學「是最質樸和最冷峻的藝術和科學」。Bertrand Russell稱它是「挽救苦悶現實生活的收容所」。Hardy堅信數學要有精確的審美觀。一個數學證明，如張益唐給出的，「應該像簡單而輪廓分明的星座，」他寫道，「而不是銀河系中雜亂無章的星群。」加州大學伯克利分校的數學教授Edward Frenkel說，張益唐的證明體現了一種「復興之美」，就是說儘管細節很艱深，但要義很容易理解。在純數學中追求美是一種信條（譯者註：物理學中亦然，如最著名的代表Dirac.）。去年，英國的神經系統科學家發現，當數學家看到他們認為美妙的數學時，頭腦中被藝術和音樂興奮的同一區域也興奮起來了。（譯者注（感謝歐陽順湘告知）：例如，見Semir Zeki, John Paul Romaya, Dionigi M. T. Benincasa 和 Michael F. Atiyah，The experience ofmathematical beauty and its neural correlates,Front. Hum. Neurosci. 8:68.有電子版

http://journal.frontiersin.org/Journal/10.3389/fnhum.2014.00068/abstract.）

張益唐所研究的問題通常被稱為「有界距離（bound gaps ）」。它所關注的是素數——即那些只能被1和它自身除盡的數，如2,3,5,7,11等。問題是，是否存在一個長度有限的柵欄（界），使得在無限多個位置——特別是當數目是如此之大，以至於光是把它寫下來就要耗費整整一本書的紙張時，它都能卡住兩個素數？對於這個問題，聖荷西大學的教授Daniel Goldston、布達佩斯Alfred Renyi 數學研究所的研究員Janos Pintz和伊斯坦布爾海峽大學的Cem Yildirim的聯合工作表明，他們比任何人都更清楚是否存在這樣一個界以及這個界可能是多少，在2005 年之前，他們的工作是最接近答案的。Goldston說他曾以為有生之年都看不到答案了。「我曾認定那是不可能的，」他告訴我。

張益唐只在2001年發表過一篇論文，但頗受好評。到2010年，他已經55歲了。「每個數學家都應謹記，比起任何其他藝術和科學，數學更是年輕人的遊戲，」哈代如此寫道。他還寫道，「我從沒見過哪個年過半百的數學家開創重大的數學進展。」1991年，張益唐在普渡大學獲得博士學位，但與導師莫宗堅不歡而散。莫宗堅最近在其個人主頁中寫了一篇文章描述了張益唐的研究生時代(譯者註：見http://www.math.purdue.edu/~/ZhangYt.pdf)：「從他的眼睛中，我看到了一顆不安的心，一團燃燒跳動的火焰，一個想抵達北極的探險者。」沒有莫宗堅的支持，張益唐離開了普渡，又因為從未發表一篇論文，他無法找到學術職位。他交替住在肯塔基州列剋星敦和紐約的朋友那裡，偶爾有臨時工作。在肯塔基，他加入了一個關注中國民主的小群體。他們的口號是：「自由、民主、法治、多元」。群員中有一個是實驗室的化學家，開了一家賽百味（Subway）連鎖店賺錢。另一個群員告訴我，「因為張益唐是數學天才，所以被請去幫忙。」張益唐揣著書到店裡。「當生意很忙時，我幫著收銀。」張益唐最近告訴我。「雖然我會做三明治，但我很少干那個活。」不上班時，他會去肯塔基大學的圖書館，閱讀代數幾何和數論的期刊。

「有好幾年，我沒有真正堅持我的數學夢想，」他說。

「想必你過得不太愉快。」

他聳聳肩：「我的生活並不是一帆風順。」

1999年，在一位朋友的幫助下，張益唐終於在新罕布希爾大學謀得一個職位。在2010年選定了素數間隙問題之後，他並不確定該從哪裡入手。「我在想，門在哪裡？」張益唐說。「歷史上有很多數學家研究過這個問題，都堅信這裡應該有一扇門，但沒有人找到它。我試著摸了幾次，然後開始擔心這扇門究竟是否存在。」

「你曾沮喪過嗎？」

「我很累，」他說。「不過大多數時候我只是感到平靜。

我喜歡一邊踱步一邊思考。我太太看到我會問『你在幹啥？』我說，『我在工作，在思考。』她無法理解。她說，『你什麼意思？』」問題是如此複雜，他說「我沒辦法跟她講明白。」

據紐約大學理工學院數學教授楊鼎說，數學家遇到難題時就像「在走迷宮。當你想證明一個定理時，有可能你會完全迷失，不清楚下一步你會走到哪裡。通常，一旦有某個瞬間你靈光一閃找對了路，你會渴望再度進入新的迷宮繼續體驗這種喜悅與激動。」

張益唐非常沉默寡言，舉止彬彬有禮。最近當我們散步時，他問我「是否可以戴上它？」他所指的是一副墨鏡。他舉在我面前，彷彿我要先檢查一下。對回答關於他本人和他的工作的問題，他沒有太大興趣。在我第一次見他半個小時之後，他說，「我有一個問題。」我們一直在談論他的童年。他問：「你還有多少問題？」他常常用三個詞來答覆：「也許吧（Maybe）」， 「Not so much（還行）」、和「Maybe not so much（也許還行吧）」。出於羞怯，他經常說「我們」而不是「我」，比如，「我們也許不認為這個方法如此重要。」他不時會在說話前嗯一聲。在發表其結果之後，他被邀請到普林斯頓高等研究所訪問半年。電影製片人George Csicsery為加州伯克利的數學科學研究所製作了一個關於張益唐的紀錄片，叫做《從無窮數起》（Counting from Infinity）。在片中，高等研究所的成員Peter Sarnak說，一天他碰到了張益唐就跟他說了一句hello，張益唐回復了一句hello。張益唐說那是他十天以來對別人吐出的第一個詞。Sarnak認為這太極端了，即便對數學家來說也是如此，因此他每周一次邀請張益唐共進午餐。

芝加哥大學的數學教授Matthew Emerton在普林斯頓也見到了張益唐。「我只能說他不是等閑之輩」，Emerton告訴我，「他不善於交際。我的印象是他極其淡定。他得了另一項大獎，因此周圍的人都在談論這件事。也許大多數數學家對獲獎都很低調，因為他們並不是奔著得獎去的，但他好像尤其低調。得獎對他好像沒有絲毫影響。」楊鼎參加了張益唐2013年在哥倫比亞做的三個講座。「你本以為像他這樣的一個牛人應該會展示或解釋他是何等聰明，」楊鼎說。「他做了優美的報告，但一點也沒有炫耀的意思。」張益唐關於他的工作的第一個報告是在哈佛做的，在他的論文發表之前。丘成桐教授聽聞了張益唐的工作後，邀請他去那裡做報告。大約有50個人聽了他的報告。其中有一位哈佛的數學教授認為張益唐的報告「簡直無法理解。」他補充說，「報告的內容很難談論，因為一切都有賴於微妙的專業理解。」另一位哈佛教授Barry Mazur跟我講，他為張益唐的「堅毅和他所表現出的勇敢和獨立」所打動。

在新罕布希爾，張益唐的辦公室在數學與計算機科學大樓三層。辦公室有一張桌子，一台電腦，兩把椅子，一塊白板和幾個書架。透過窗子他可以看到橡樹的枝幹。書架上擺放著《Hilbert空間引論》（An Introduction to HilbertSpace）和《橢圓曲線，模形式和Fermat大定理》（EllipticCurves, Modular Forms, and Fermat』s Last Theorem）等。也有近代史，他所著迷的Napoleon，中文版的Shakespeare著作，因為這比Elizabeth時代的英文好懂。（譯者註：在季理真、翁秉仁的《張益唐專訪》一文中，張益唐提到：「我喜歡莎士比亞，過去我讀過中譯本，覺得真好，到美國後裝模作樣想看英文原本，結果看不懂，因為按照我在中國學的英文語法是不通的。」）

馬薩諸塞波士頓大學的數學系主任Eric Grinberg，在2003-2010年間是張益唐在新罕布希爾的同事。「張益唐非常謙遜，完全沒有架子，從不索求什麼，」Grinberg告訴我。「我們知道他在研究一些重要的東西。他雖然也用紙和筆，但唯一的備份存放在他的電腦里。每個月我會過去問他，『不介意我給你做個備份吧？』當然，所有東西都在他腦子裡。在那方面，他高於常人。」

他的記憶力是罕見的。他的朋友齊雅格說，「我有時帶他參加聚會。但他從不開口，因而引人注目。我說，『出於禮貌，你必須說話，求你了。』他說，『我享受你的高談闊論。』半年後，他能說出誰坐在哪裡，誰開始了談論，並且能夠複述出他們所說的話。」

「我可能認為社交是在浪費時間，」張益唐說。 「當然，也許我還有點靦腆。」

幾年前，張益唐賣掉了他的車，因為他實際上用不著。他在離學校只有四里的地方租了一套公寓，上下班跟學生一起坐校車。他說坐在車上他可以思考。一周七天，他早上八九點鐘到辦公室，晚上六七點回。他不思考數學的最長時間是兩周。有時他早上從前一晚入睡時所考慮的問題中醒來。他的辦公室外有一條長長的走廊，他喜歡來回踱步，有時他會去外面散步。

張益唐在長島的一家中國餐館遇見了與他結髮12年的妻子，她曾是那裡的一名服務員。她也是中國人，自稱Helen，而張益唐則自稱Tom。（譯者註：Tom跟唐讀音相近，看來他很愛他母親。Helen是希臘女神的名字，也有火把、光亮的意思，也許可以解釋《假如給我三天光明》（Three Days to See）的作者Helen Keller名字的來由。）張益唐說，一位同時認識他們的朋友把他帶到了這家餐館，並把Helen指給他。朋友問他，「這個姑娘怎麼樣？」Helen當時也在考慮張益唐。為了追求Helen，張益唐有好幾個月每個周末都去紐約。第二年的夏天，Helen來到了新罕布希爾。然而，Helen不喜歡那裡的冬天，於是搬到了加州，在一家美容院上班。她和張益唐在聖荷西有房子，學校放假時張益唐就在那裡度假。

在去年憑藉他的證明被提升為教授之前，他的飯碗是很不穩的。「我從前是新罕布希爾的系主任，但我必須不時地提醒他，他還沒拿到永久職位。」Eric Grinberg說。「我們都很感激他，但那不能保證他可以繼續幹下去。他一直說他很享受在新罕布希爾的時光。」張益唐投身於素數間隙問題已經兩三年了，但仍然沒有找到門。「我們看不到任何希望，」他說。然而，2012年7月3日下午，他「在五到十分鐘之內，豁然開朗了。」

當時張益唐在普韋布洛拜訪朋友齊雅格，他是科羅拉多州立大學的音樂教授。幾個月前，齊雅格曾提醒張益唐曾答應抽一天時間來教他兒子Julius學習微積分，因為Julius馬上就要上高三了。齊雅格打電話給張益唐問他「你還記得這個承諾吧？」於是張益唐在齊雅格家裡待了一個月。每天上午他指導Julius學習約一個小時。「他沒有固定的教程，」Julius告訴我，「內容只是從他的記憶里流出來。有一次他提到，他的電話本上沒有一個號碼，因為他全都記住了。」

張益唐原打算在科羅拉多中斷研究放鬆一下，因此沒有帶任何筆記。7月3日，他正在齊雅格家的後院散步。「我們家在山上，鹿出現了，而他抽著香煙，凝視著鹿，」齊雅格說。「沒有鹿，」張益唐說，「只是漫步和思考，這是我的方式。」有大約半小時，張益唐忘懷天地地溜達著。

在1945年出版的《數學領域中的發明心理學》中，Jacques Hadamard 引用了一位數學家的說法，「通常對我來說，尤其是當我一個人的時候，我發現自己置身於另一個世界。各種數學想法好像活了一樣。突然，各種問題帶著它們的答案自動出現在我眼前。」在齊雅格家的後院，張益唐體驗到類似的經歷。「我看見了數字、方程式，甚至還有——很難說清楚那是什麼，」張益唐說。「一些非常特別的東西，也許是數字，也許是方程式——一種神奇，亦或是幻象。我領悟到，儘管有一些細節尚需填充，但我們將有一個證明。然後我回到了房間里。」

張益唐並沒有對齊雅格提起他的突破。當晚，齊雅格要指揮普韋布洛國慶音樂會（譯者註：美國國慶7月4日。）的帶妝綵排，張益唐跟他同去。「音樂會結束後，他不停地低哼著《星條旗永不落》，」齊雅格說，「他只是在慨嘆『多美妙的旋律啊！』」

我問張益唐：「你一定很聰明吧？」他說「也許吧，有點。」他1955年出生在中國上海，母親是政府的一名文秘，父親是大學的電氣工程教授。孩提時他就「想知道一切數學，」他說，「他非常喜歡數學。」他的父母因工作而遷到北京，張益唐留下來跟外婆住在一起。文化大革命期間，學校關閉了。他把大多數時間用來讀數學書，這是他從一家書店訂購的，價錢常常不到一美元。他很喜歡一套叫做《十萬個為什麼》的系列叢書，有物理、化學、生物和數學各冊。當他無法讀懂時，他說，「我努力自己解決這些問題，因為沒有人可以幫助我。」

13歲時張益唐來到北京。15歲時他跟母親一起下放到農場，在那裡種菜。張益唐的父親下放到另一個農場。如果被發現在農場看書，他會被勸止。「因為大家認為數學在階級鬥爭中不重要，」他說。幾年後，他回到了北京，在一家造鎖廠找到了工作。他開始學習以參加中國最高學府——北京大學的入學考試：「我用了幾個月來學習高中所有的化學和物理，幾個月來學習歷史。這有點倉促。」在23歲那一年，他被錄取了。「頭一年我們學習微積分和線性代數——這非常令人興奮，」張益唐說，「最後一年，我選擇數論作為專業。」然而，他的教授則堅持讓他換到自己的領域——代數幾何作為主攻方向。「雖然我學了，但並不喜歡，」張益唐說。「那時在中國，思想依舊如此：個人必須服從集體和國家的利益。他認為代數幾何比數論更重要。他強迫我。他是大學校長，因此有特權。」

1984年夏，莫宗堅從普渡大學到北京大學訪問，邀請張益唐和其他幾位被舉薦的學生跟他到普渡做研究。莫宗堅的一個專長是Jacobian猜想，張益唐對此很有興趣。Jacobian猜想是1939年提出的一個代數幾何問題，它保證了在某些條件下，可以求解很複雜的方程組。它的難度被公認為超出了研究生的水平，只有最厲害的代數幾何學家敢碰。一位數學家將它描述成「災難問題」，因為它引發了很多麻煩。作為其博士學位論文，張益唐提交了該猜想的一個弱形式，也就是說，他能證明該猜想的一些推論，但不能證明它本身。

在得到博士學位之後，張益唐告訴導師說他想回歸數論。「我當然不高興，」莫宗堅在給我的信中寫道， 「然而，學生有權更改研究領域。所以我笑著跟他說byebye。過去的22年里，我沒有他的任何消息。」

畢業後，很多中國留學生都進入了計算科學或金融行業。張益唐從前在北大的師弟唐朴祁就在英特爾找到了工作。1999年，他打電話給張益唐。「我覺得他沒有學術工作太不公平了，」唐朴祁說。唐朴祁有一位北大老同學，現在新罕布希爾數學系任教。當唐朴祁得知該系正在招聘微積分教師時，他推薦了張益唐。「他決定讓張益唐試一下這個臨時職位，」唐朴祁說。

2012年末，張益唐完成了論文《素數之間的有界距離》，之後花了一兩個月的時間系統地核驗每個步驟，他說這「非常無趣」。2013年4月17日，在沒有告訴任何人的情況下，他把論文投給了《數學年刊》（Annals of Mathematics），這是最權威的數學期刊。

在《年刊》的檔案中，有許多沒有發表的論文，它們斷言解決了每個人曾經思考過甚至是根本不存在的所有數學問題，有的論文作者是一些「知道很多數學，然後廢了的人，」一位數學家告訴我。這種人通常斷定其他進攻這個問題的人都錯了。或者他們宣稱自己同時解決了好幾個問題，又或者「他們說他們用物理學中的某種統一場論解決了一個著名問題，」這位數學家說。像《年刊》這樣的期刊總是懷疑一些名不見經傳的作者的投稿。

2013年，《年刊》一共收到了915篇投稿，但只接受了37篇。論文接受和發表之間的間隔通常是一年。當一篇論文送到時， 「會被迅速瀏覽，評判其價值，」 普林斯頓大學的教授兼《年刊》的主編Nicholas Katz告訴我，然後是可能長達數月的嚴格審稿。「對於我無法評判的文章，我的作用是知道應該去問誰，」 Katz說。「在張益唐的情況，得到了迅速的回復，『如果這是對的，那麼它真的很奇妙。但你要謹慎。這傢伙從前掛出了一篇論文，但那是錯的。他從來沒有發表，但也沒有將它撤回。』」 審稿人所指的是張益唐在網頁arXiv.org上發布的一篇論文（譯者註：見 http://arxiv.org/abs/0705.4306.）數學家通常在結果正式發表前會把它公布在網上，以便於它們及早被公示。張益唐在2007年發布了一篇論文，但證明有漏洞。那篇論文考慮的是另一個著名問題，Landau-Siegel零點猜想，他之所以還保留著，是希望有一天能夠更正它。

Katz 將《素數之間的有界距離》發送給兩位讀者，他們被稱為審稿人。其中一位是羅格斯大學的教授Henryk Iwaniec，他的領域與張益唐相近。 「我瞄了幾分鐘，」 Iwaniec 告訴我，「我的第一印象是： 有如此多的斷言已然錯了。我想，我還有其他事情要做。可能我想拖延一下，畢竟他沒什麼名氣。然後我接到了一個朋友的電話，說他恰好也在讀同一篇文章。我們原本打算在高等研究所待一周，干點別的事情，但我們被這篇要審的稿子打斷了。

」

Iwaniec 和他的朋友多倫多大學的教授JohnFriedlander讀得越來越起勁。「在這種情況，你不能從頭讀到尾，」 Iwaniec 說，「你首先要看出，想法在哪裡。自2005年以後，關於這個課題再沒有任何論文了。 問題很難解決。隨著我們讀得越來越多，這個工作正確的機率也變得越來越大。大約兩天以後，我們開始考察其完備性和關聯性。幾天以後，我們開始逐行逐行地核驗。這個活的目標不再是要說這個工作很精彩，我們在考察這個結果是否確實正確。」

幾周以後，Iwaniec 和Friedlander 回復給 Katz，「我們已經完成了對張益唐的《素數之間的有界距離》的研究。」他們繼續寫道，「主要結果是一流的。作者成功證明了素數分布中的一個里程碑式的定理。」「我們非常深入地研究了論證，但發現，即便是要找出哪怕是一點點的瑕疵也很困難……我們非常榮幸力薦該文在《年刊》發表。」

一接到《年刊》的用稿通知（譯者註：張益唐的論文在當年5月21日錄用（4月17日投稿，）。按照湯濤教授在《張益唐和北大數學78級》（《數學文化》2013年第2期）中的說法，「這可能是這一頂級期刊的一個紀錄了。」），張益唐就撥通了在聖荷西的Helen的電話。「我說， 『請關注新聞和報紙。』 」 他說。「 『你將會看到我的名字，』 而她卻說， 『你喝多了吧？』 」

沒有一個公式能夠預言素數的出現——它們的行為彷彿是隨機的。 在公元前300年，Euclid證明了存在無窮多個素數。如果你設想將所有的數排在一條直線上，素數用紅色標記，那麼在一開始就有很多紅點： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43和 47 是50以下的素數。在100以內有25個素數，1000以內有 168 個素數，1000000以內有78498個素數。當素數越來越大時，它們變得越來越稀疏，而它們之間的距離，即間隙，也變得越來越大。

素數有如此多新穎的性質，如此有魔力，以至於數學家開始迷信它。孿生素數對是間距為2的一對素數。間距為4的兩個素數被稱為堂表素數對（Cousin primes）， 間距為6的兩個素數被稱為性感素數對（sexy primes），而中間沒有其它素數的兩個素數則成為相鄰素數對。從Chris Caldwell和G. L. Honaker, Jr.的《素數古珍》（Prime Curios!}（譯者註：參見http://primes.utm.edu/curios/）中我還知道，一組絕對素數是這樣一組數，不論其數字怎樣排列都是素數，例如：199; 919; 991。幸運素數以666作為中心，例如700666007就是一個迴文的幸運素數，因為它正著讀和反著讀都是一樣的。一組循環素數是這樣一組數，它在數字的循環之下總是素數，例如：1193, 1931, 9311, 3119。還有Cuban素數、Cullen素數和彎曲數字素數—— 其數字全是彎曲的（0, 6, 8和 9）。一個素數如果在刪除某些數字以後仍然是素數，就稱為可刪除的素數，例如1987。反素數是那種反過來寫仍然素數的素數，如389, 983。 數字超過一萬的素數稱為Gigantic素數。 有洞素數是那些數字有洞(0, 4, 6, 8和 9)的素數。 還有 Mersenne 素數、 Pierpont 素數、 Titanic 素數、 Wagstaff 素數、 Wall-孫-孫素數、Wolstenholme素數、 Woodall 素數和 Yarborough 素數等。

《素數之間的有界距離》是對孿生素數猜想的側面進攻，這一猜想在19世紀被提出，它斷言存在無限多對孿生素數對。它至今仍未解決。 Euclid雖然證明存在無限多的素數，但對是否存在無限多對孿生素數沒有給出任何信息。張益唐給出了一個距離，使得在無限多種情況下，間隙中有兩個素數。

「你不得不想像這是從無到有的改變，」 Eric Grinberg 說。 「我們此前一無所知。這就像曾一度設想宇宙是無限的、無界的，卻發現它在某處有終結。」用圖示的話，間隙就像一把可以應用於數軸的直尺。張益唐選擇了一把長度為70000000的尺子，因為一個這樣大小的數使得他的證明更容易。（如果要證明孿生素數猜想，直尺的長度就必須是2。）這把尺子在沿著數軸移動時，將有無限多次包含兩個素數。這是一種對無限多個數成立但並非對所有的數成立的結果。再給一個例子，有無限多個數是偶數，但並非所有的數都是偶數，還存在奇數。類似的，這把尺子在沿著數軸移動時，也有無限多次不包含兩個素數。

從張益唐的結果可以推出，存在一個不超過70000000的數，它精確定義了一個間隙以分離無限多對素數。一位數學家告訴我，可以用鴿籠原理來推導這個結果。你有無限多隻鴿子，即無限多對素數；你有70000000-1=69999999個籠子：有間距為2,3,4,等直到70000000的籠子。每個鴿子只進一個籠子。最終某個籠子一定有無限多隻鴿子。但無法確定究竟是哪個籠子。也許有許多這樣的籠子，甚至可能有699999999個籠子，但至少有一個籠子里有無限多隻鴿子。

在發現存在這樣一個間隙後，張益唐對尋找定義了這一間隙的最小數不再感興趣。這在他看來只是技術性的工作，一種體力勞動——卓越的數學家稱之為「窮追猛趕」。然而，在張益唐的工作宣布一周之內，世界各地的數學家競相尋找最小的數。這一動態為加州大學洛杉磯分校的教授陶哲軒所注意到。陶哲軒有一個合作研究項目的主意，數學家在其中可以降低這個數而不是「爭搶頭功」，他告訴我。

這個項目，稱為Polymath8，在2013年三月啟動，持續了大約一年。有賴於年輕的英國數學家James Maynard的工作，參與者有效地將這個界降低到246。「當界降低時產生了一些問題，」陶哲軒說，「需要用到越來越多的計算機——有人甚至讓一台高效率計算機運行了兩個星期才得到計算。理論方面也存在一些問題。用現有的方法，我們無法得到比6更好的界，因為無人知道如何克服一個稱為奇偶性問題的障礙。」 奇偶性問題說，具有某種性態的素數無法用現有的方法探測到。「我們從未堅信可以將界降低到2從而證明孿生素數猜想，但這是一段有趣的歷程，」 陶哲軒說。

「數學家是否應該具備某種天賦？」

「專註。」 張益唐說。我們在細雨中漫步校園。 「你還應該永不放棄你的個性，」 他接著說， 「也許你面對的東西非常複雜，篇幅很長，但你要能通過直覺抓住要點。」

當我們抵達張益唐的辦公室時，我問他如何找到這個問題的門的。他在一塊白板上寫下「Goldston-Pintz-Yildirim"和"Bombieri-Friedlander-Iwaniec」。 他說， 「第一篇論文討論了有界間隙，而第二篇論文討論了算術數列中的素數分布。我把兩篇論文放在一起比較，加上我自己的創新，基於圖書館的多年閱讀。」

當我問Peter Sarnak張益唐是如何得到他的結果時，他說 「他所做的一度被認為難以企及。40年前也許這個問題是毫無希望的，但在2005年 Goldston-Pintz-Yildirim 把它推進到「彷彿若有光」的境地。每個人都在想，現在我們非常接近了，但直到2011年之前沒有人取得任何進展。 Bombieri, Friedlander和Iwaniec 做了另一項重要工作，但貌似無法將他們的思想與Goldston等人的工作聯合起來。Bombieri-Friedlander-Iwaniec的結果作為魔杖還不夠靈活——它受一些附加條件的牽制。這時張益唐單槍匹馬地出現了。許多人像使用電腦一樣使用定理。他們認為， 如果它是對的，好，我用它就是了。然而你無法使用 Bombieri-Friedlander-Iwaniec的定理，因為它缺乏彈性。你必須相信我，因為即便是對於一個嚴肅的數學家來說，這一點也很難解釋。張益唐對其中的技巧有深入的理解，他能夠改良Bombieri-Friedlander-Iwaniec，從而 搭起一座橋。這是他在數學方面做的最有意義的事情。他使得關於素數分布的 Bombieri-Friedlander-Iwaniec 技巧成為了任何素數研究的一個工具。 始於18世紀的一項數學進展通過他得到了延續。」

「我們的條件需要放鬆，」 Iwaniec告訴我。「我們也試過，但無法去掉這些條件。我們沒有試多久，因為在失敗之後你開始猜測也許存在著某種固有的屏障，因此我們放棄了。」

我問他是否為張益唐的結果所震驚。 「張益唐的工作轟動了學界，」 他說， 「他的工作是一項傑作。當我們談論數論時，美大多源自其機理。儘管張益唐單槍匹馬，但他在某種程度上對這些了如指掌。這就是他的驚人之處。他只是神奇地將這些論文中的某些論證往前推進。」

Archimedes的同代人、希臘人Eratosthenes曾發明了一種簡單的方法來尋找素數，這種方法被稱為篩法。張益唐用到了一種非常複雜的篩法。為利用簡單的篩法找到比如說1000以內的所有素數，你只需要寫下1000以內的所有的數，然後從中劃掉2的所有倍數，3的所有倍數等，最多你只需要划到31的所有倍數。張益唐應用了一種與眾不同的篩法。之前的篩法篩除了那些相距很遠的數。用那種篩法，Goldston, Pintz和 Yildirim 證明了，總存在兩個素數，其距不超過那樣大小的素數的平均間距。 他們無法得到一個精確的間隙。張益唐通過利用一種較細的篩法取得了部分成功。

我問張益唐，他是否在研究新的東西。 「可能是兩三個我想解決的問題，」他說。「素數間隙是成功了，但我還有其他問題。」

「那將同等重要嗎？」

「是的。」

據其他數學家說，張益唐正研究關於Landau-Siegel 零點猜想的不完備結果。「如果他成功了，將更富戲劇性，」 Peter Sarnak 說。「我們不知道他究竟離它有多近，但他已經證明了他是個天才。這一點毫無疑問。他還證明了他能堅持多年。有鑒於此，他成功的機率不是零，是正的。」

「許多人都嘗試過那個問題，」 Iwaniec 說。「但他只屬於他自己。無需著急。即便這將耗費他再一個十年，他也能泰然處之。除非你在解決一個已經解決了的問題，只是其解答很繁冗或者其解一開始就很顯然，否則你大部分時光都是卡殼的。但張益唐樂意卡得更久一些。」

張益唐的僅對攻克重大問題的偏愛是不過見的。追求終身職位要求學者頻繁地發表論文，這通常意味著在一個領域內將個人的工作精細化，而這是張益唐所不情願的。在其他數學家面前，他沒有表現出好勝心，也沒有因為其他人都評上了教授、自己多年以來只是一個講師而不滿。朋友當中沒有人認為他適合某個終身職位。「我認為他做得很聰明，」楊鼎告訴我。「如果你成為一名優秀的微積分講師，學校會非常依賴你。你廉價而可靠，沒有理由開除你。幹了幾年以後，你幾乎可以閉著眼睛講課。你會有很多的自由時間思考，只要你對生活沒有太高的奢求。當然也有一些人嘗試著非終身的工作，但他們通常腦筋有問題、性格扭曲、過著不正常的生活，而且很難打交道，因為他們感覺被人瞧不起。顯然，張益唐從未有這種感覺。」

一天，當他沏茶時，我來到張益唐的辦公室。他的桌上有一篇帶有方程式的論文，論文上擱著鋼筆。張益唐手裡拿著一個信封，「我收到了老朋友的一封信，」他說。 「我們多年不見，現在他找到了我。」

他從抽屜里拿出一把剪刀，慢慢地剪開信封，如此地小心翼翼，彷彿他在舉行一個儀式。 信是用漢字寫的。他坐在椅子邊緣，慢慢地讀著。他放下信，從信封里掏出一張照片，是一家三口，男人、女人和小孩，以窗帘為背景。他把信再讀了一遍，塞回信封，放到抽屜里，然後合上。「他的新地址在皇后區，」他說。然後他端起茶杯，吹著茶，透過茶杯上方看著我，彷彿凝視著牆面。

我問起Hardy關於年紀的觀察——Hardy還寫道，「一個數學家年過花甲也許仍然很有能力，但不能期待他有原創性的思想。」

「這對我不適用，」 張益唐說。 他把茶放在桌上，目光延伸到窗外。「我仍然覺得我有直覺，」他說， 「我仍然自信，仍然有一些其它想法。」

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