【轉載】排列組合公式
排列定義 從n個不同的元素中，取r個不重複的元素，按次序排列，稱為從n個中取r個的無重排列。排列的全體組成的集合用 P(n,r)表示。排列的個數用P(n,r)表示。當r=n時稱為全排列。一般不說可重即無重。可重排列的相應記號為 P(n,r),P(n,r)。
組合定義 從n個不同元素中取r個不重複的元素組成一個子集，而不考慮其元素的順序，稱為從n個中取r個的無重組合。組合的全體組成的集合用C(n,r)表示，組合的個數用C(n,r)表示，對應於可重組合有記號C(n,r),C(n,r)。
一、排列組合部分是中學數學中的難點之一，原因在於 (1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數學模型，需要較強的抽象思維能力； (2)限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯詞和量詞)準確理解； (3)計算手段簡單，與舊知識聯繫少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大； (4)計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，並具有較強的分析能力。
二、兩個基本計數原理及應用 (1)加法原理和分類計數法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分類的要求 每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬於某一類(即分類不漏) (2)乘法原理和分步計數法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務；各步計數相互獨立；只要有一步中所採取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同
例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重複的六位數 集合A為數字不重複的九位數的集合，S（A）=9！ 集合B為數字不重複的六位數的集合。 把集合A分為子集的集合，規則為前6位數相同的元素構成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數，等於剩餘的3個數的全排列，即3！ 這時集合B的元素與A的子集存在一一對應關係，則 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 這就是我們用以前的方法求出的P（9，6） 例2：從編號為1-9的隊員中選6人組成一個隊，問有多少種選法？ 設不同選法構成的集合為C，集合B為數字不重複的六位數的集合。把集合B分為子集的集合，規則為全部由相同數字組成的數組成一個子集，則每個子集都是某6個數的全排列，即每個子集有6！個元素。這時集合C的元素與B的子集存在一一對應關係，則 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 這就是我們用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是簡單的例子，似乎不用弄得這麼複雜。但是集合的觀念才是排列組合公式的來源，也是對公式更深刻的認識。大家可能沒有意識到，在我們平時數物品的數量時，說1，2，3，4，5，一共有5個，這時我們就是在把物品的集合與集合（1，2，3，4，5）建立一一對應的關係，正是因為物品數量與集合（1， 2，3，4，5）的元素個數相等，所以我們才說物品共有5個。我寫這篇文章的目的是把這些潛在的思路變得清晰，從而能用它解決更複雜的問題。 例3：9個人坐成一圈，問不同坐法有多少種？ 9個人排成一排，不同排法有9！種，對應集合為前面的集合A 9個人坐成一圈的不同之處在於，沒有起點和終點之分。設集合D為坐成一圈的坐法的集合。以任何人為起點，把圈展開成直線，在集合A中都對應不同元素，但在集合D中相當於同一種坐法，所以集合D中每個元素對應集合A中9個元素，所以S（D）=9！/9 我在另一篇帖子中說的方法是先固定一個人，再排其他人，結果為8！。這個方法實際上是找到了一種集合A與集合D之間的對應關係。用集合的思路解決問題的關鍵就是尋找集合之間的對應關係，使一個集合的子集與另一個集合的元素形成一一對應的關係。 例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重複的九位數，但要求1排在2前面，求符合要求的九位數的個數。 集合A為9個數的全排列，把集合A分為兩個集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2後面。則S（B）+S（C）=S（A） 在集合B、C之間建立以下對應關係：集合B中任一元素1和2位置對調形成的數字，對應集合C中相同數字。則這個對應關係為一一對應。因此S（B）=S（C）=9！/2 以同樣的思路可解出下題： 從1、2、3…，9這九個數中選出3個不同的數作為函數y=ax*x+bx+c的係數，且要求a>b>c，問這樣的函數共有多少個？ 例5：M個球裝入N個盒子的不同裝法，盒子按順序排列。 這題我們已經討論過了，我再用更形象的方法說說。 假設我們把M個球用細線連成一排，再用N-1把刀去砍斷細線，就可以把M個球按順序分為N組。則M個球裝入N個盒子的每一種裝法都對應一種砍線的方法。而 砍線的方法等於M個球與N-1把刀的排列方式（如兩把刀排在一起，就表示相應的盒子里球數為0）。所以方法總數為C（M+N-1，N-1） 例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰, 則共有________排法. 解：甲、乙、丙三人把其他四人分為四部分，設四部分人數分別為X1，X2，X3，X4，其中X1，X4》=0，X2，X3》0 先把其餘4人看作一樣，則不同排法為方程 X1+X2+X3+X4=4的解的個數，令X2=Y2+1，X3=Y3+1 化為求X1+Y2+Y3+X4=2的非負整數解的個數，這與把2個球裝入4個盒子的方法一一對應，個數為C（5，3）=10 由於其餘四人是不同的人，所以以上每種排法都對應4個人的全排列4！，所以不同排法共有C（5，3）*4！=240種。
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