華羅庚

華羅庚王元 (中國科學院數學研究所) 　　 華羅庚 1910年11月I2日生於江蘇金壇；1985年6月12日卒於日本東京．數論、代數與幾何、複分析。 　　華羅庚出生在江蘇省金壇縣．他的父親華瑞棟經營一個家庭式的小雜貨店．當他初中畢業時，由於家貧未能進入高中繼續學習．經過努力，華羅庚考取了上海中華職業學校商科(二年制)．仍因家貧，華羅庚僅差一學期未能畢業，棄學回家幫助其父經營小店．他只能利用業餘時間自修數學． 　　這時華羅庚已對數學產生了強烈的興趣，而不能全力從事小店的工作．他的父親對此很反感，多次要撕掉他的「天書」．1928年，華羅庚就職於金壇初中．1927年，他與金壇吳筱元女士結婚，一年後他們有了一個女兒．至1951年，他們又依次有了三個兒子及兩個女兒．1928年，華羅庚染上了流行瘟疫(可能是傷寒)，卧床半年，後病雖痊癒，但左腿卻殘廢了． 　　華羅庚的數學才能顯示得很早．他的第一篇論文發表在上海《科學》雜誌上(1929)．他的第二篇文章「蘇家駒之代數的五次方程式解法不能成立的理由」發表在1930年《科學》上．這篇文章引起了當時清華大學數學系主任熊慶來的注意，但熊慶來並不知華羅庚其人．後來熊慶來從系裡一個金壇籍教員唐培經那裡了解到華羅庚僅為一個初中畢業生，現任金壇初中會計．熊慶來深受感動並邀華羅庚到清華大學工作．華羅庚於1931年到清華大學任數學系助理．兩年後，他被破格提拔為助教，又晉陞為教員．1934年，又任「中華文化教育基金會董事會」乙種研究員．在清華大學時，華羅庚的同事中有以後成名的數學家陳省身、許寶騄與柯召．他的最早研究領域為數論中的華林問題．他的工作曾得到清華大學數學系教授楊武之的指點與幫助． 　　1936年，經N．維納(Wiener)推薦，G．H．哈代(Hardy)邀請華羅庚去英國劍橋大學訪問．華羅庚到達英國時，哈代正在美國．華羅庚很快掌握了英語並與一些在英國的年輕數學家如H．海爾布倫(Heilbronn)、H．達文波特(Davenport)、T．埃斯特曼(Estermann)、R．A．蘭金(Rankin)與E．C．蒂奇馬什(Titchmarsh)等人結為好友，從他們那裡得到不少幫助．華羅庚在劍橋期間至少發表了15篇論文． 　　1937年抗日戰爭爆發，清華大學與北京大學、南開大學遷至雲南昆明，組成西南聯合大學．華羅庚由劍橋回到昆明，1938年至1945年，他執教於西南聯大．這時，華羅庚的研究興趣拓廣到矩陣幾何學、自守函數論、多複變函數論與群論．他與其他數學家一起倡導並主持了各種討論班，參加過他的討論班而以後成名的數學家有段學復、閔嗣鶴、樊 與徐賢修等人． 　　1946年2月至5月，華羅庚應蘇聯科學院與蘇聯對外文化協會邀請，對蘇聯作了廣泛的訪問．他會見了И．Μ．維諾格拉多夫(Виноградов)與Ю．B．林尼克(Линник)． 　　1948年，華羅庚當選為中央研究院院士．1947年至1948年，華羅庚任普林斯頓高級研究院訪問研究員，又在普林斯頓大學教授數論課．1948年至1950年，華羅庚應依利諾伊大學之聘，任正教授．在依利諾伊期間，他指導的幾個學生以後均成為職業數學家(R．埃尤伯(Ayoub)，J．密席爾(Mitchell)與L．熊飛爾德(Schoenfeld))．這期間，除數論外，華羅庚還涉足有限域上的方程論、典型群與域論等領域． 　　1950年，華羅庚與他的妻子兒女一起回國，參加建立中國科學院數學研究所的籌備工作，1952年被任命為所長，從此他即全力投身於建設研究所的工作．按照華羅庚的意見，研究所包括純粹數學、應用數學與計算機技術的一些分科．他還對培養青年教學家工作給予特別重視．在青年數學家中，數論方面有陳景潤、潘承洞與王元，代數方面有萬哲先，複分析方面有龔昇與陸啟鏗．為了他們及中國年輕數學家普遍受益，華羅庚寫了一系列書：《堆壘素數論》(中文版，1957)、《數論導引》(1957)、《多復變數函數論中的典型域的調和分析》(1958)、《指數和的估計及其在數論中的應用(中文版，1963)、《高等數學引論》(1963)與《典型群》(1963，與萬哲先合著)．1955年，華羅庚當選為中國科學院學部委員． 　　1966年，發生了「文化大革命」．華羅庚的家被」紅衛兵」抄過好幾次，手稿散失殆盡，至今沒有下落，他也遭到批判鬥爭，對他來說，這種情況至1967年才有明顯的好轉．這是由於他受到毛澤東主席與周恩來總理的特別保護，可以安靜地呆在家裡，甚至可以到工業部門去普及數學方法． 　　1958年，華羅庚被任命為中國科學技術大學副校長．他開始從事應用數學的研究工作，特別將數論用於高維數值積分法，他還到工廠和工業部門普及「優選法」(斐波那契(Fibonacci)方法)與「統籌法」(CPM與PERT)．近20年中，他與助手陳德泉、計雷走遍了20多個省市自治區，向工人宣講並教會他們如何將這兩種方法用於他們自己的工作中去．從而，工廠的產量增加了，產品的質量也提高了． 　　從1979年開始，中國執行開放政策．華羅庚在他的學生的協助下，完成了專著《從單位圓談起》(1977)及《數論在近似分析中的應用》(1978，與王元合著)．由H．哈貝斯坦(Halberstam)主編的《華羅庚論文選集》也在1983年由施普林格出版計出版．華羅庚在1978年被任命為中國科學院副院長．1980年被任命為應用數學研究所所長．此外，他從1950年至1983年均被選舉為中國數學會理事長． 　　華羅庚作為訪問學者，多次訪問歐洲、美國與日本．儘管年邁體弱，他仍堅持數學研究及其應用工作．1985年6月12日，他在日本東京大學作學術報告，當講完最後一句話時，由於心臟病突然發作而去世． 　　自從中國執行開放政策以來，華羅庚得到法國南錫大學(1980)、香港中文大學(1983)與美國依利諾伊大學(1984)的榮譽博士學位．他還被選為美國科學院(1982)、第三世界科學院(1983)與德國巴伐利亞科學院(1985)院士． 　　華羅庚積极參加社會政治活動，熱愛祖國．解放前，他同情並投身於爭取民主與自由的運動．建國後，擔任第一至第六屆全國人大常委會委員，第六屆全國政協副主席，他還是中國民主盟副主席．1979年6月加入中國共產黨． 　　華羅庚的主要數學工作如下所述． 　　1．數論 　　1)三角和估計．命q為一個正整數及f(x)為一個整係數多項式 f(x)=akxk+……+a1x， 　　此處(ak，…，a1，q)=1．考慮完整三角和 　　 　　若f(x)=x2，則S(q，x2)就是熟知的高斯和．C．F．高斯(Gauss)證明了 　 　　關於S(q，f(x))的估計是一個有悠久歷史的難題．在1940年華羅庚完全解決這個問題之前，僅對一些特殊多項式有些結果．華羅庚用非常優美的方法證明了 　 　　此處ε為給定的正數及與「O」有關的常數僅依賴於k與．1938年，華羅庚曾得到式(1)，但與「O」有關的常數依賴於f(x的係數ai(1≤i≤k)易見除一個可能改進的因子qε之外，估 P k)． 　　以後，華羅庚又將(1)式推廣至任意次數為n的代數數域K． 　　關於不完整三角和，華羅庚證明了 　 　　這個結果對華林問題有重要應用． 　　華羅庚改進並簡化了維諾格拉多夫關於外爾和估計的方法，他指出維諾格拉多夫方法的核心是下面的中值定理： 　　命 f(x)=dkxk+…+a1x。 　　及 　 　　命 　 　　則 　 　　此處 　　 　　假定k≥12，2≤r≤k及 　　 　　則對於P≤q≤Pr-1，我們有 　 　　此處бk=2k2(2logk+loglogk+3)． 　　在所有著名的解析數論專著中，幾乎都是按照華羅庚的辦法來敘述維諾格拉多夫方法的(例如 R．C．沃恩(Vauahan)著《哈代-李特爾伍德方法》(The Hardy－Littlewood method，Camb．Tracts，80，1981))． 　　關於特徵和，華羅庚在1942年證明了估計式 　 　　對於模p的所有非主特徵均成立．這使得他改進了模p的最小原根估計及佩爾方程最小解估計． 　　2)華林問題及其有關問題．1770年，華林猜想對於每個整數k≥2，皆存在一個僅依賴於k的整數s=s(k)，使每一個正整數均可以表為s個非負整數的k次方冪之和．華林猜想直到1900年才被D．希爾伯特(Hilbert)證明．本世紀20年代，哈代與J．E．李特爾伍德(Littlewood)創始並發展了堆壘數論中一個非常強有力的新解析方法，即通常所稱的「圓法」，由這一方法可以得到華林問題更精緻的結果．命G(k)表示最小整數s，使每個充分大的整數N均可以表示為 　 　　此處xi(1≤i≤s)為非負整數．哈代與李特爾伍德證明了G(k)≤(k-2)2k-1+5；他們實際上證明了更強的結果：當 s≥(k-2)2 k-1+5時，(3)式的解數rs，k(N)有一個漸近表達式 　 　　此處δ(N)稱為奇異級數，它有一個與N無關的正下界．華羅庚在1938年將哈代與李特爾伍德的結果改進為 G(k)≤2k+1， 　　而且他證明了當s≥2k+1時，rs，k是(N)的漸近公式即成立．關於這項工作，他用到被後人所稱的華氏不等式 　 　　值得指出的是對於小的k，使(4)式成立的條件s≥2k+1直到近年才分別由沃恩與D．R．赫斯-布朗(Heath－Brown)改進為s≥2k(k 哈代與李特爾伍德關於華林問題的結果給予巨大的改進，他證明了(4)式當s≥［10k2logk］(k＞10)時成立．華羅庚將這個結果改進為s≥2k2(logk+loglogk+2.5)(k＞10)．基於Л．Г．施尼雷爾曼(Шнирелъман)關於自然數列密度的方法，林尼克於1943年給予希爾伯特定理一個新的「初等」證明．誠如達文波特指出：「這一證明的想法無疑來自哈代-李特爾伍德方法的某些特性，特別是華氏不等式．」 　　本世紀30年代，很多數學家研究如何將華林問題中的xk推廣為k次多項式．華羅庚用其結果(1)克服了這個問題的主要困難．希爾伯特定理的一個非常廣的形式是屬於華羅庚的．命i(x)(1≤i≤s)是s個首項係數為正的k次整值多項式，華羅庚在1937年至1940年間證明了當s≥2k+1(1≤k≤10)及當s≥2k2(logk+log logk+2.5)，方程 N=f1(x1)+…+fs(xs) 　　的解數有一個漸近公式．注意在此關於奇異級數的正下界問題並未加以考慮．命f(x)為一個整值多項式及G(f)表示最小的整數s使對所有充分大的整數N，方程 N=f(x1)+…+f(xs) 　　皆可解．命0f表示f的次數．華羅庚在1940年證明了 G(f| 0f=k)≤(k-1)2k+1， G(f| 0f=3)≤8 　　與 MaxG(f)≥2k-1， 　　此處f過所有k次整值多項式，其中k≥5． 　　圓法的要點可以敘述於下：(3)的解數可以表示成積分 　　 並分別記為m與m．粗略言之，m包含諸分母較小的分數k／q為中心的互不相交的小區間，其餘則為m．哈代與李特爾伍德證明了，當s≥2k+1時，漸近公式 　 　　成立．華羅庚將這個結果改進為s≥k+1．這是最佳可能結果，其證明基於他的估計式(2)． 　　本世紀30至40年代，華羅庚系統地研究了所謂華林-哥德巴赫問題，即研究限制諸xi(1≤i≤s)為素數時，(3)及其推廣的可解性問題．例如他證明了當s≥2k+1(k≤10)及s≥2k2(logk+log logk+2.5)(k＞10)時，方程 　 　　的解數有一個漸近公式，此處P1表示素數．他亦得到上述諸結果以素數為變數的類似結果．他的結果總結在他的名著《堆壘素數論》之中． 　　塔利問題．命N(k)表示最小的整數t，使方程組 　 　　有一個非尋常解，即諸xi，yi為正整數，但x1，…xi不是y1，…，yi的置換．命M(k)為最小的整數i使(6)可解及 　 　　顯然，我們有 k+1≤N(k)≤M(k)． 　　華羅庚在1938年證明 　 　　這是對E．M．賴特(Wright)較早結果M(k)＜7k2(k-11)·(k+3)／216的改進．華羅庚所用的方法是初等與直接的． 　　華羅庚還在1952年指出可以用維諾格拉多夫方法來處理塔利問題．他證明了下面的結果：命t0由下表 　 　　命Rk，t(P)表示式(6)適合條件 1≤xi，yi≤P，1≤i≤t 　　的解數，則當t＞t0時， 　 　　此處c(k，t)為一個僅依賴於k，t的正常數． 　　3)對數論的其他貢獻．命q(n)為將正整數n分拆成不同整數(或奇整數)之和的分拆個數．華羅庚在1942年利用哈代與拉馬努金方法及拉德馬赫爾的無窮級法里分割法證明了： 　　此處J0(x)為0-級貝塞耳函數． 　　命A(x)表示圓u2+v2≤x內的格子點(u，v)的個數．高斯圓問題為尋找最小的θ使關係式 A(x)=πx+O(xθ+ε) 　　對於任意ε＞0皆成立，此處與「O」有關的常數依賴於ε．高斯本人證明了θ=1／2．1942年華羅庚使蒂奇馬什方法更精密，並將他的結果由θ=15／46改進為θ=13／40．而且在這篇文章中，華羅庚還指出維諾格拉多夫關於這個問題的結果的證明是有錯的． 　　 此處d為一個無平方因子數．華羅庚在1944年證明了，當d＞e250時，則不存在(EA)，他並指出250可以降低為160． 　　1959年，華羅庚與王元寫了一篇數值積分的短文，他們證明了若 在0≤x，y≤1上連續，則 　 　　 　　表示斐波那契序列．除常數c還可能改進外，(7)式是最佳可能的．在以後的一系列論文中，他們將自己的方法推廣到s-維的情況，其中s＞ 　　 5)的一組獨立單位來構造域的一組基底的聯立有理逼近．他們及其他人在這個領域中的貢獻，包活2維至18維的數值信息，均包含在他們的專著《數論在近似分析中的應用》(1978)之中。 　　1953年至1957年，華羅庚在中國科學院數學研究所組織領導了「哥德巴赫問題」討論班．哥德巴赫問題是哥德巴赫致L．歐拉(Euler)的信中提出來的，即：(A)每一個≥6的偶數都是兩個奇素數之和；(B)每一個≥9的奇數都是三個奇素數之和．顯然(B)是(A)的推論．1937年，對於充分大的奇數，維諾格拉多夫解決了問題(B)．1956年，王元首先證明每個大偶數都是一個不超過3個素數的乘積及一個不超過4個素數的乘積之和，簡記為(3，4)，這改進了A．A．布赫夕塔布(Бухштаб)的結果(4，4)．1957年王元又將其結果改進為(2，3)．1963年潘承洞證明了(1，4)．最後陳景潤證明了(1，2)，這是哥德巴赫問題(A)的最佳記錄． 　　2．代數與幾何 　　4)體論．自從W．R．哈密頓(Hamilton)發現第一個非交換的可除代數——四元數代數以來，可除代數甚受重視．相比之下，無限維可除代數，即體，卻被忽略了．直到1950年左右，華羅庚以極其簡單與直接的方法，接連證明了這個領域的幾條定理． 　　命K是一個體。σ是k到它自身的一個一一映射：a→aσ。如果σ滿足(a+b)σ=aσ+bσ，(aba)σ=aσbσaσ，1σ=1則稱σ為半自同構．熟知的半自同構的例子為同構：(ab)σ=aσbσ與反自同構：(ab)σ=bσaσ．著名的問題為除自同構與反自同構外，是否還存在其他半自同構？華羅庚在1949年解決了這個問題，他證明： 　　每一個半自同構或為自同構或為反自同構． 　　由此可以推出特徵≠2的體上的一維射影幾何的基本定理： 　　任何將特徵≠2的體上的射影直線映射到自身的一一變換， 　　如果保持調和關係不變，則必為一個自同構或半自同構誘導的半線性變換． 　　過去G．安柯溪雅(Ancochea)與I．卡普蘭斯基(Kaplansky)都僅能在某些限制之下研究半自同構問題．由於他們所用的方法基於線性代數的構造理論，所以他們都未能完全解決問題． 　　1949年，華羅庚給出下面結果的一個直接證明： 　　體的每一個真正規子體均包含在它的中心之中． 　　這個定理在後來的文獻中被稱為「嘉當-布饒爾-華氏定理」．在華羅庚與布饒爾的證明出現之前，嘉當用了體的伽羅瓦理論的複雜技術僅能對可除代數證明這一結果．華羅庚的證明只需要一個初等恆等式：若 ab≠ba，則 a=(b-1-(a-1)-1b-1(a-1)(a-1b-1a -(a-1)-1b-1(a-1)-1)． 　　1950年，華羅庚還證明了「若一個體不是域，則它的乘法群不是亞阿貝爾群」． 　　5)群論與矩陣幾何學．早在1946年，華羅庚就發表了第一篇關於典型群自同構的論文．在這篇論文里，他確定了實辛群的自同構．1948年，他又確定了特徵≠2的任意域上辛群的自同構．他用來確定辛群自同構的方法也可以用來確定其他類型典型群的自同構．鑒於J．迪厄多內(Dieudonn )於1951年發表了關於典型群自同構的專著，華羅庚只在迪厄多內的書後寫了一篇附錄，發表了用他自己的方法解決的迪厄多內遺留下來沒有解決的若干問題．華羅庚確定了GL2(K)，SL4(K) 此處K為特徵≠2的域，而f是指數為2的二次型．以後華羅庚又和萬哲先確定了SL2(K)和PSL2(K)(K為特徵≠2的體)．SL4(K)與PSL4(K)(K為特徵=2的體)的自同構．同時，他們還證明了某些線性群是不同構的．華羅庚在他所寫的迪厄多內專著的附錄中，論述了他的方法與迪厄多內方法的比較，他寫道：「迪厄多內方法對n大時頗有效，並可對個別小的n加以應用．恰如他以前曾指出，當n減小時，困難就加大了．迪厄多內方法對於較小的n，變得很笨拙，有時不能解決最小n時的情況．另一方面，筆者的方法從儘可能小的n開始，這常常是最困難的情況．而讀者不難用筆者曾用過的方法從本文的特殊結果出發，用歸納法得出一般的結果．進而言之，相比於迪厄多內方法，筆者只用了矩陣計算．」華羅庚與I．賴納(Reiner)確定了GLn(Z)和PGLn(Z)的自同構，這是環上典型群自同構工作的開端．他們還證明了，如果n≥2，則GLn(Z)由三個元素生成，SLn(Z)由兩個元素生成，而SP2n(Z)由四個元素生成．在他們之前，R．R．布拉哈拉(Brahara)僅能證明SP2n(Z)的每個元素均可表為某有限矩陣集合中的元素之積． 　　1940年，華羅庚與段學復引進p-群秩的概念．假定p-群G的階是pn，若它的元素的最大階為pn-a，則稱G的秩為a．例如他證明了，若G的秩為a，其中p≥3，n≥2a+1，則(i)G含一個且僅含一個pm階而秩為a(2α+1≤m≤n)的群，(ii)G含pa個Pm階循環群(a＜m＜n-a-1)，(iii)G中階≤Pm(α≤m≤n-α)的元素個數等於Pm+a，其中(ii)，(iii)分別改進了H．A．米勒(Miller)與A．A．庫拉科夫(Кулаков)的結果． 　　矩陣幾何學是華羅庚於1945年首先創始的研究領域．它與C．L．西格爾(Siegel)關於分式線性變換的工作相關．在矩陣幾何中，空間中的點是某類矩陣，例如同樣大小的長方矩陣、對稱矩陣或斜對稱矩陣．在這個空間中，有一個運動群．主要問題之一是如何用儘可能少的幾何不變數來刻劃運動群．華羅庚發現僅不變數「粘切」即足以刻劃空間的運動群．他在1951年證明了長方矩陣仿射幾何的基本定理： 　　假定1＜n≤m，則從體K上n×m矩陣集合到自身的一一映射保持粘切者(若M-N的秩為1，則稱矩陣M與N粘切)，必為以下形狀： 　　Z1=PZoQ+R， (8)其中P=P(n)，Q=Q(m)為可逆方陣，R為n×m矩陣，而σ為K的一個自同構．當m=n時，則除式(8)之外，還要添加 Z1=PZ′τQ+R， 　　其中τ是K的反自同構． 　　由這個定理，華羅庚推出了長方矩陣射影幾何的基本定理，特徵≠2的體上全陣環的若爾當同構，及特徵≠2，3的體上全陣環的李同構． 　　華羅庚對矩陣幾何的研究跟他對多複變函數論的研究密切相關．這促使他研究矩陣的分類問題．華羅庚在1944年至1946年確定了在酉群下復對稱矩陣和斜對稱矩陣的分類，一對埃爾米特矩陣在合同下的分類，及在正交群下，埃爾米特矩陣的分類． 　　1955年，華羅庚在數學研究所領導了一個代數討論班，並與萬哲先發表了他們合著的書《典型群》，總結了他們關於典型群及其有關問題的成果．討論班的成員除繼續發展由華羅庚開闢的領域外，還在其他方面，特別是代數編碼方面做出過貢獻． 　　3．複分析 　　6)典型域．1935年，E．嘉當(Cartan)證明了，在解析映射之下，只有六類不可約、齊性、有界對稱域，其中兩類是例外域，分別為16維與27維，其餘四類稱為「典型城」，可以用矩陣將它們表示如下： 　　 =｛m×n矩陣Z，滿足I(m)-zz*＞0｝， 　　 =｛n階對稱方陣Z，滿足I(m)-zz*＞0｝， 　　 =｛n階斜對稱方陣Z，滿足I(n)-zz＊＞0｝， 　　 ＜1｝， 　　其中Z的元素為復變數，I(m)表示m階單位方陣，及Z*表示Z的轉置Z＇的復共軛矩陣． 　　典型域可以看作普通複平面上單位圓與其他區域在高維空間的類似．此外，典型域理論在微分方程及復幾何方面也有應用． 　　1943年，西格爾發表了他關於辛幾何的重要文章，該文用矩陣方法研究了 11．1944年，華羅庚指出，典型域的研究可以歸結為矩陣幾何的研究．獨立於嘉當及西格爾，華羅庚給出四類典型域及其運動群的矩陣表示．華羅庚的文章中關於與西格爾工作有重複的部分，只是簡單概述了一下．在該文編者按中寫道：「由於美國與中國之間郵件阻滯，在編者同意之下，由華羅庚的朋友段學復與西格爾教授對該文作了一系列微小修改．」華羅庚還在他的文章中感謝H．外爾(Weyl)、唐培經與陳省身分別送給他西格爾、G．吉羅(Giraud)與嘉當的文章． 　　1953年，華羅庚用群表示論方法得出四類典型域的完整正交系．粗略地說，這類似於在普通複平面上，找到了完整正交系e(nθ)(n=0，±1，…)，由這組正交系，人們易得出單位圓的柯西核．因此藉助於典型域的完整正交系，華羅庚得到了四類典型域的柯西核、賽格核、伯格曼核及泊松核等．華羅庚的方法特點為具體與直接，並對複雜計算的掌握．利用典型域的柯西核可以證明只要解析函數值在某個低微流形(特徵流形)上給出，函數在典型域中的值就確定了．華羅庚將上述工作與其他結果總結在他的專著《多複變函數論中的典型域的調和分析》之中．該書英文版編者強調這本書對李群表示論、齊性空間理論與多個復變數自守函數理論的重要性．該書的另一重要特點為華羅庚發展的數學技巧，例如一類代數恆等式與矩陣變元函數的積分的計算，均具有獨立興趣． 　　利用典型域的泊松核，華羅庚與陸啟鏗建立了典型域的調和函數論，並解決了對應的拉普拉斯-貝爾特拉米方程的狄利克雷問題．他們發現一些奇異現象：(i)若一個函數適合一個微分方程，則必適合一個微分方程組．(ii)只要函數值在典型域邊界的一個低微流形(特徵流形)上給出，則狄利克雷問題就解決了． 　　華羅庚還發現一組具有與調和運算元類似性質的微分運算元，國際上稱為「華氏運算元」．陸啟鏗研究了典型域的邊界性質、幾何結構與最大原理，並證明了Cn中有界區域的施瓦茲引理． 　　由於一些典型群可以看作典型域的特徵流形，華羅庚證明了酉群上的傅里葉級數可以阿貝爾求和，這是典型群上傅里葉分析研究的開端．這項工作由龔昇的研究而得到很大豐富．龔昇研究了酉群上傅里葉級數的阿貝爾求和、切薩羅求和、費耶爾求和及各種球求和．鍾家慶將酉群的傅里葉級數的某些結果推廣到旋轉群． 　　1954年，華羅庚用初等方法證明了：有界域的伯格曼度量的黎曼曲率R滿足：(i)2—R為平方和；(ii)在某些限制下有R≥-n．這是對富克斯定理的改進．作為黎曼共形映照定理的推廣，華羅庚證明了每一個常曲率全純域均可以解析映照為單位超球． 　　由他關於多複變函數論的研究所引起，華羅庚研究了偏微分方程式論的一些問題．他的結果總結在他的著作《從單位圓談起》(1977)及與林偉、吳茲潛合著的書《二階兩個自變數兩個未知函數的常係數線性偏微分方程組》(1979)之中． 　　華羅庚是本世紀最富傳奇性的數學家之一．將他與另一位自學成才的印度天才數學家S．A．拉馬努金(Ramanujan)相比較，正如P．貝特曼(Batman)所說，「兩人主要都是自學成才的，都得益於在哈代領導之下，在英國從事過一段時間的研究工作．……．他們之間又有截然不同之處．首先，拉馬努金並沒有全部完成由一個自學天才到一個成熟的、訓練有素的數學家的轉變，他在某種程度上保留了數學的原始性，甚至保留了一定程度的猜謎性質．然而華羅庚在其早期數學生涯中，就已是居主流地位的數學家了．其次，拉馬努金與哈代的接觸更直接，更有決定性意義．……．雖然華羅庚在英國工作時得益甚大，但他與哈代在數學方面的接觸顯然不是這樣特別集中的」．華羅庚「成功地從自學數學的天才青年成為造詣高深、有多方面創造的數學大師」．這一切靠的是華羅庚非凡的努力與驚人的毅力．
推薦閱讀：