音樂和數學, 兩者都博大精深, 卻又非常抽象。可以說, 音樂和數學是人類所創造的最了不起的文化。這個演講裡, 我們來談一談音樂與數學的奇妙聯繫。
1. 大自然的規律大自然運行的規律告訴我們, 一個物體以頻率v 震動時, 也會同時以頻率2v, 3v, . . . 震動。因此若此物體震動發出了頻率為v 的音高, 它也同時發出頻率為2v, 3v, . . . 的音高。這些音叫做泛音。在音樂上, 從v 發出的音高到2v 發出的音高稱為一個八度(聽起來就是低音Do到高音Do 的感覺)。從2v 發出的音高到3v 發出的音高稱為一個完全五度(聽起來就是Do到Sol 的感覺)。泛音聽得到嗎? 可以。古典吉他的演奏中就有『泛音』 的技巧。比如, 輕觸弦的第十二格位置, 然後撥弦的同時把手指放開, 則同學會聽到高八度的泛音。底下我們聽聽吉他的泛音(示範)。為什麼? 因為古典吉他第十二格的位置剛好是弦的一半長, 撥弦的同時把手指放開, 相當於用手指抵銷頻率v 的震動, 凸顯頻率為2v 的震動, 這就是第一泛音。人也是震動聲帶才能發出聲音。所以, 理論上人的聲音也有泛音。有沒有可能唱出泛音,或是同時唱兩個音? 可以。西伯利亞的圖瓦族(Tuva) 有一種稱為「泛音唱法」 (overtonesinging) 的傳統歌唱方式, 可以同時唱出兩個音。聽聽這個例子(播放音樂)。即使發出相同的音高, 我們仍然能分辨不同樂器的音色(timbre), 因為音色就是不同泛音疊合之後的結果— 也許長笛的第四泛音比單簧管的第四泛音大,諸如此類。有程式設計經驗的同學可以試著寫個簡單的程式讓電腦發出單一頻率, 沒有泛音的震動非常乾澀, 毫無美感可言。
2. 畢達哥拉斯的音階傳說中畢達哥拉斯(Pythagoras (579-520 B.C.)) 路過一家鐵匠店發現四個鐵匠打鐵的聲音異常悅耳而開始研究聲音。他用以下的兩個規則試圖建立起西洋音樂的音階。1. 由v → 2v: 高八度。2. 由v → 3/2v: 完全五度。現行的西方音樂是12 音階, 即一個八度共有12 個半音。我們按照畢達哥拉斯的兩個規則可幫樂器調音: 以中央C 為基準。設這個音的頻率是v, 則高八度的C 頻率是2v, 高八度G 的頻率是3v。因此G 的頻率是3/2v。因此我們得到G 的頻率了。
同理, 下一個得到的音是D, 頻率為9/8v.再下一個得到的音是A, 頻率為27/16v。在此我們要強調, 這個調音方法是合理的, 是符合大自然的規律的。按此我們可得到調音的順序:C(= v) → G =3/2v → D =9/8v → · · ·注意到每下一個音是完全五度(7 個半音), 但因為一個八度有12 個半音, 而gcd(7, 12) = 1,因此會繞回來。這樣繞一圈回來所出現的音的順序, 稱為一個五度圈。五度圈是古典音樂中所有轉調與和聲的基礎。
我們按五度圈一直調音下去:
C → G → D → A → · · · → · · ·F。此時F 的頻率為177147/131072v。按照五度圈, 再下一個要變成高音C, 頻率為177147/131072 × 32 = 531441/262144 v。但是不要忘了原來起始的C 頻率為v, 因此這個高音C 的頻率是2v。我們得到一個非常難堪的結果:531441/262144 ～ 2.02728653≠2同學知道這有多糟糕吧, 這告訴我們, 按照大自然的規則調音, 調出來的音階是走音的。而且還往上走音。
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