《紐約客》專訪華人數學家張益唐，這個牛人取得了什麼成就？

2月2日，美國《紐約客》將刊發特約撰稿人亞歷克·威爾金森（Alec Wilkinson）對華人數學家張益唐的專訪。這個只於2001年低調地發表過一篇論文的男人，在2010投入研究「素數間隔」時，已經55歲了。他不需要通訊錄，因為那些數字都在他腦子裡；他不在意職稱，覺得交際是浪費時間，但他講座精彩且毫不炫耀聰明；他論證了「存在無數對相鄰素數（質數），它們的差相差不過7000萬」，令學界驚訝。2013年，當他在《數學年刊》上發表《素數間的有界距離》時，只是一位默默無聞的講師。

華人數學家張益唐Peter Bohler 圖2013年5月，張益唐在純粹數學領域知名刊物《數學年刊》上發表《素數間的有界距離》，證明了存在無數多個素數對（p, q），其中每一對素數之差，即p和q的距離，不超過七千萬。從此，來自新罕布希爾大學的一位默默無聞的大學講師（現為教授），進入了人們的視野。純粹數學（基礎數學）是一門研究數學本身，不以實際應用為目的的學問。相較應用數學而言，純粹數學嚴格、抽象，更接近藝術和哲學。自18世紀以來，純粹數學成為數學研究的一個特定領域。而2010年，張益唐選擇了這一特定研究領域的典型代表——數論。「我的成果沒什麼實際用處。」張益唐如此評價自己的研究。張益唐研究的問題通常被稱為「素數間隔」（bound gaps），其中涉及到「素數」這個概念——也被稱為質數，指那些只能被1和其自身整除的數，比如2、3、5、7、11、19等。在這些素數中，指差為2的素數對（p和p+2同為素數）又稱為孿生素數，比如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。隨著數字變大，人們可以觀察到的孿生素數越來越少。那麼，會不會有一天再也找不到新的孿生素數呢？這就是幾百年前的「孿生素數猜想」：對所有自然數k（k=1），存在無窮多個素數對（p, p + 2k）。這個猜想和負有盛名的黎曼猜想、哥德巴赫猜想一道成為著名的希爾伯特第八問題中的一部分。但很顯然，猜想需要有人去證明。加州聖荷西大學教授戈德斯通（Daniel Goldston）、匈牙利科學院阿爾弗雷德·萊利數學研究所（Alfréd Rényi）成員平茲（János Pintz）等學者從2005年開始共同研究這一課題。Daniel Goldston曾表示自己不會在有生之年得到答案，「這是之前以為可能永遠無法解決的問題之一。」「從來沒有數學家應該讓自己忘記，數學比其他任何藝術或科學更應該是年輕人的遊戲。」著名數學家哈代（G. H. Hardy）曾寫道，「我從不知道有哪個數學上的重大突破是由一個超過五十歲的人提出來的。」而張益唐呢，這個只於2001年低調地發表過一篇論文的男人，在2010投入研究「素數間隔」時，已經55歲了。經歷：我的生活並不總是那麼容易《紐約客》撰稿人亞歷克問過張益唐：「你覺得你是個非常聰明的人嗎？」他回答說：「可能吧，有點兒。」1955年，張益唐出生於上海，母親是政府機關的文員，父親是電氣工程專業的大學教授。當他還是個小孩的時候，他就對數學充滿了求知慾。後來，父母因工作原因搬到了北京，他仍留在上海和祖母生活在一起。「文革」期間，學校被迫關閉，他便沒日沒夜地閱讀各類數學書籍，那些都是他用不到一元錢從書店租的。他著迷於《十萬個為什麼》系列叢書，因為裡面解答了物理、化學、數學方面的相關難題，有疑惑的時候，他就嘗試自己解決問題。「因為那個時候壓根沒人可以幫我」。13歲時，張益唐搬到了北京，只不過15歲之前一直和母親待在鄉下，父親在另一個農場。那個時候，如果張益唐被人看見在農場看書，就會被呵斥停下。「因為人們覺得數學對階級鬥爭來說一點用都沒有」。幾年後，他回到了城裡，以制鎖為生。同時，他為了能考進北京大學而自學，「我花了幾個月的時間學習高中物理、化學的所有知識，偶爾還學學歷史，有點倉促。」不過，他還是在23歲的時候如願被北大錄取。作為北大數學系「文革」後恢復高考的第一批學生，張益唐是北大1978級公認的數學尖子。「第一年，我們學習微積分和線性代數，這很讓我激動。」張益唐在大四的時候沒有選擇原專業代數幾何，而是將數論作為之後的主攻方向。他說：「我是真的不喜歡代數幾何，那個時候的中國還流行著一種說法是，個人必須遵從集體。我的教授認為代數幾何比數論更加重要所以強迫我學習，他還是校長，所以他有權利逼我。」1984年的夏天，代數專家莫宗堅（T. T. Moh）受邀來到北大。張益唐被教授們推薦給莫宗堅，在畢業期間做一些研究工作。莫宗堅的其中一個研究方向是雅克比猜想，正是張益唐非常渴望去做的。1985年，張益唐跟著莫宗堅來到了美國名校普渡大學讀博士。然而，這六七年里他的研究結果乏善可陳。雅克比猜想提出於1939年，是代數幾何學中至2013年還未解的難題，其中包含的知識量已經超過了一個畢業生所具備的，只有一些精通代數幾何的專家才可能擁有。因為這個猜想的棘手程度，一位數學家曾把它形容為「一個災難性的問題」。張益唐要做的就是嘗試證明雅克比猜想中隱含的東西，而不是直接證明猜想本身。到1991年，張益唐取得了代數幾何博士學位，再也無法掩蓋和導師的分歧。他告訴莫宗堅自己要重新回歸到數論上。莫宗堅後來也坦言：「我對此不是很開心，不過還是支持學生有權利改變專業方向的權利，所以我笑著與他說了再見，22年過去了，我們沒有過任何聯繫。」畢業後的張益唐，既沒有發表論文，也沒得到導師的推薦信，甚至連一份基本的學術類工作都不好找。莫宗堅之後回憶起張益唐的畢業時光，寫道：「當我看著他的眼睛時,我發現了一個令人不安的靈魂。」大部分中國同學在畢業後都轉投電腦科技或是經濟金融。張益唐原來在北大的同學Perry Tang就是其中的一個，他在英特爾公司找了份工作。1999年，他告訴張益唐：「我覺得你不找個工作實在是有些不公平。」而張益唐呢？一畢業，就居無定所。他有時與朋友住在肯塔基州，有時住在紐約——那裡也有朋友和臨時工。在肯塔基州，他加入了一個探討中國民主的興趣小組，口號是「自由、民主、法治和多元化。」小組成員之一是一位在實驗室工作的化學家，經營一家快餐店Subway。「湯姆（張益唐自稱湯姆，朋友們也如此叫他）是個天才。」另一個小組成員說，「他被邀請去幫忙。」張益唐答應了。當店裡忙的時候，他就去幫忙收銀。「即使我知道如何作一份三明治，我也不想做。」張益唐說，不工作時，他也會去肯塔基大學的圖書館看和代數幾何、數論有關的學術雜誌。「那些年，我其實沒能繼續我的數學夢想。」這是他自己的總結。「你一定很不開心。」他聳了聳肩：「我的生活並不總是那麼容易。」1999年，張益唐在一個朋友的幫助下回到了學校，在美國新罕布希爾大學做助教、講師。新罕布希爾大學是成立於1866年的一所綜合性公立大學。2010年，當他決定研究「素數間隔」時，他根本還沒有找到研究的切入口。「我想，切入的門在哪裡？」張益唐說，「歷史上許多數學家都認為研究這個問題應該有一道門，一個切入點，但他們沒有找到它。我試過幾次，無果。然後，我開始有點擔心是不是沒有這道門的。」「你沮喪嗎？」「我累了。」他說，「但很多時候我只是感覺平和。我喜歡散步和思考，這是我放鬆的方式。我的妻子看到我這樣會問一句『你在做什麼？』我回答她『我在工作，我在思考。』她不能理解。」但是，張益唐的問題是如此複雜，「我沒有辦法向她解釋。」性格：他不像一個正常人張益唐沉默寡言，對人也比較拘謹。亞歷克第一次遇到他的那天，兩人談了大約半個小時的童年後，張益唐說：「我有一個問題。你還要問多少問題？」對於別人的提問，張益唐的回答往往是這三種：「也許吧」、「不」和「也許並非如此」。或因缺乏自信，張益唐經常說「我們」而不是「我」，比如「我們不認為這種方法是有效的。」有時，他也會在開口前「呃呃」半天，不知如何表達。在研究結果被發表後，張益唐被邀請去普林斯頓高等研究院。據高等研究所成員、2014年沃爾夫數學獎得主彼得·薩奈克（Peter Sarnak）回憶，有一天，他遇到了張益唐。彼得主動說「你好」，張益唐回了句「你好」，然後表示這是自己十天來和別人說的第一個詞。在彼得看來，即使數學家都相對內向，這也是說不過去的。從此，他每周都邀請張益唐和他吃一次午飯。芝加哥大學數學教授Matthew Emerton也在普林斯頓遇到了張益唐。「他不像一個正常人。」馬修說，「他不合群。他獲獎了，周圍的人都在談論他。但他似乎特別低調。所謂獲獎，似乎對他沒有一點影響。」紐約大學理工學院教授楊鼎（Deane Yang）出席了張益唐2013年在哥倫比亞大學的三次講學。「你以為這樣一個人會炫耀他有多麼聰明。」 楊鼎說，「他給出了精彩的講座，但他不在炫耀。」在論文結果發表後，張益唐的第一場有關結論的講座辦在哈佛大學。哈佛大學講座教授、美國科學院院士丘成桐（Shing-Tung Yau）聽了張益唐的報告，邀請他今後再做演講。另一位哈佛教授Barry Mazur則表示，「為張益唐的堅韌、勇敢和獨立而感動」。在新罕布希爾大學，張益唐的辦公室在數學和計算機科學大樓三層。辦公室里有一張桌子，一台電腦，兩把椅子，一個白板和一些書架。透過一扇窗，能看到一棵橡樹。書架上的書，有標題如「介紹希爾伯特空間（Hilbert Space）」和「費瑪最後定理（Fermat』s Last Theorem）」。此外，有關拿破崙的歷史書也令他著迷。至於莎士比亞戲劇選，他讀的是中文版，因為它比伊麗莎白時代的英語好讀多了。馬薩諸塞州波士頓大學數學系主任埃里克·格林貝格（Eric Grinberg）是張益唐從2003年到2010年在新罕布希爾大學的同事。「湯姆非常溫和、謙遜，從不要求什麼。」格林貝格形容，「我們知道他在研究重要的問題。他用紙和筆，但其實唯一的副本在他的電腦里。大約每隔一個月我就去問他『你介意我有備份嗎？』他當然不介意，因為這些都記在他腦子裡了。」可以說，張益唐的記憶力出奇得好。他的一個名叫齊雅格（Jacob Chi）的朋友說：「有時我帶他去一個派對。他不說話，就打量著每一個人。我說：『你必須跟人交談。』他回：『我更樂意聽你們談話。』結果是，六個月後，他能說出誰坐在哪裡、誰開始的一段對話，並複述對話內容。」「我認為社交是在浪費時間。」張益唐說，「不過，也許是我有點害羞。」幾年前，張益唐把他的車賣了，因為不怎麼用它。他租了一套距離學校大約四英里的公寓，和學生們一樣做校巴穿梭於公寓和辦公室之間。他說坐在公共汽車上，他也能思考。一周七天，他總是於早上八九點出現在辦公室，直到傍晚六七點才離開。有時，他早上在思考一道昨晚睡前思考的數學問題中醒來。他辦公室外有一個長廊，他喜歡來回走著。不然，他就要跑到外面去散步。張益唐和妻子已經結婚12年了。太太的名字是Yaling，但她自稱海倫。海倫曾是紐約長島一家中國餐館的服務生。有一天，他們的一位共同好友拉著張益唐去了那家餐館並指了指海倫問，「你覺得這姑娘怎麼樣？」之後幾個月，張益唐每個周末都去紐約。接下來的夏天，海倫也來到新罕布希爾大學。海倫不喜歡新罕布希爾州的冬天，於是搬到了加州並找到一份在美容院的工作。她和張益唐在加州聖荷西（San Jose）有一套房子，張益唐的寒暑假就在那裡度過。發現：短短五到十分鐘內，那道門打開了投身「素數間隔」之後的兩年，張益唐一直沒有找到那道門。「我們看不到任何希望。」他說。然而，2012年7月3日下午，「短短五到十分鐘內，那道門打開了。」張益唐當時正在美國科羅拉多州的普韋布洛拜訪朋友齊雅格。幾個月前，因為兒子即將要上高中，齊雅格就提醒張益唐輔導他家兒子微積分。為此，張益唐足足在齊雅格家裡待了一個月。每天早上，他都要花上一個小時在齊雅格兒子朱利爾斯身上。朱利爾斯說：「他教我的時候並沒有按照特定的課程來，全部都是根據記憶。有一次，他提到他的通訊錄中一個數字都沒有，因為他都記住了它們！」張益唐教書之餘都會小憩一番，他常常喜歡沿著住所的後院漫步，正如齊雅格說的那樣：「我們住在山裡，不時地會有小鹿跑出來，他便抽著煙瞅著鹿，而沒有鹿的時候，他就那樣靜靜地走著、思考著。」7月3日這天，他茫然地走了大約半個小時。那晚，張益唐陪著齊雅格出席一場在普韋布洛舉辦的紀念美國獨立日的音樂會預演。齊雅格後來回憶道：「音樂會結束後，他情不自禁地哼唱著《星條旗永不落》，整個晚上他說的都是對這首歌的誇獎，絲毫沒有提白天的突破性進展。」之後，張益唐完成了論文《素數間的有界距離》（Bounded Gaps Between Primes），然後他花了幾個月的時間系統地一一檢驗論證過程的每一步，他形容這種過程是「無比無趣的」。2013年4月17日，他沒有告訴任何人，默默地就將這篇論文提交給了學界最具聲望的期刊《數學年刊》（Annals of Mathematics）。有數學家曾說過，這本期刊中收錄的都是一些未經公開發表的但是解決了數學難題的文章，一些作者為了解決難題直至癲狂，他們常常聲稱別人的解題方法是錯誤的，或是稱自己已經用一些物理學原理解出了著名的難題。2013年，《數學年刊》共收到了915份論文，發表了其中的37份。投稿和發表的等待過程長達一年，普林斯頓大學教授也是這本期刊的編輯尼古拉斯·卡茨（Nicholas Katz）說：「每當收到一份投稿，為了得到它的價值，我們都會先很快地閱讀一遍。然後就是一次漫長的深度閱讀時間，往往會有個把月。如果遇到我無法評估價值的文章，我的職責就是找到能夠評估它的人。我把張益唐的論文發過去後，很快收到了回信稱『如果文章中論證的是準確的那麼實在是太好了，不過你一定要足夠仔細，因為這個傢伙曾經發過一篇文章，但是後來被證明是錯誤的』。」回信中說的文章就是張益唐之前在arxiv.org網站上發表的，這個網站專門為了放還未在期刊中發表的論文所建。張益唐這篇發表在2007年的文章中提到了另一個著名的數學問題——Landau-Siegel零點猜想。卡茨把《素數間的有界距離》發給了許多專家判定，其中一個是解析數論大師亨里克·伊萬尼克（Henryk Iwaniec）。「我用幾分鐘瞟了一眼，第一印象是文章中居然有那麼多主張是錯誤的。當時我手頭正好有另外的事情要做，就把它給擱置下來了，那個時候的他還默默無聞。後來我接到了朋友的電話，巧的是朋友也讀了這篇文章。我們就在一起花了一個星期的時間研究文章，本來我們是打算做別的事兒的。」伊萬尼克的朋友約翰·弗里德蘭德是多倫多大學的教授，他倆帶著巨大的興趣閱讀了張益唐的這篇論文。「在這篇文章中，你不需要從頭讀到腳，因為你第一眼就能發現核心所在，這種寫論文的方式自打2005年後就再也沒人採用過了。文章中針對的問題其實是很難解答出來的，但是越來越往後讀，你會發現論證準確的機會越來越大。也許兩天後，我們還在尋找結果，但是更長時間之後，我們就能夠環環相扣地檢驗了。這種過程雖然不好受，但是我們一直在證明文章的正確性。」幾個星期後，兩人寫信給卡茨，信中寫道：「我們已經完成了對張益唐這篇論文的研究，文章得出的主要結果是首創的，作者在素數的分布上成功證明了一個里程碑式的定理。我們很高興能夠推薦這篇論文發表在《數學年刊》上。」當張益唐聽說這個好消息的時候，他打了一通電話給遠在聖何塞的妻子。「我讓她留心媒體報道，我說『你會在那上面看到我的名字』，不過她卻回復我『你是不是喝醉了』。」結論：他證明了存在無窮多對素數「你必須想像這來源於虛無。」格林貝格說，「這就像認為宇宙是無限的，沒有邊際的，結果發現它有終結。」想像有一把可以運用到一組綠色和紅色數字的尺子。張益唐選擇了一把長達七千萬（個數字）的尺子，因為如此大的數字更容易證明他的猜想。從張益唐的研究結果來看，推演是成立的，他證明了存在無窮多對素數，其差小於7000萬。儘管7000萬是個很大的數字，這是第一次有人正式證明存在無窮多組間距小於定值的素數對。一位數學家說，推演出這個根據的是鴿巢原理。發現有差距之後，張益唐對找到最小的數字來定義差距並不感興趣。他認為這僅僅是個技術問題，一種體力勞動。但是在張益唐公布一周之後，全球的數學家開始爭相尋找最小的數字。其中之一是加州大學洛杉磯分校的一名華裔教授陶哲軒( Terence Tao)。陶哲軒有一個合作項目，在這個項目中，數學家們努力去尋找最小的數字，而不是奮力爭搶第一。這個課題叫做Polymath8，開始於2013年3月，持續了一年時間。隨著課題的推進，工作逐漸依賴於一名年輕的英國數學家詹姆斯·梅納德（James Maynard），這名數學家將定值的最小值推算到246。「再往下就會有很多問題，」陶哲軒說，「需要越來越多的電腦程序，當然也有理論問題。用現有的方式，我們不能得出更好的結果了，因為有所謂的平等問題，沒有人知道怎麼解決這個問題。」「數學家需要天賦嗎？」「專註。」張益唐說，「而且，你永遠不能放棄自己的個性。」他繼續說，「可能在你面前的事情很複雜，解決它很漫長，但是你應該善於利用直覺中最主要的部分。」被問及如何找到了解決這個難題的關鍵點，張益唐說：「不少科學家發表了很多論文，有一篇論文是關於定值，有兩篇論文是關於等差數列中的素數分布。我將兩者比較起來看，加上我自己多年在圖書館閱讀所產生的創新性思考。」彼得·薩奈克（Peter Sarnak）則說：「他所做的看起來遙不可及，或許40年前這個問題看起來無法可解，但是2005年，數學家戈德斯通、平茲和伊爾迪里姆將它擺上桌面。每個人都在想，現在我們非常接近結果了，但是直到2011年沒有一個人取得進展。數學家朋比利、弗里德蘭德和伊萬尼克也做了很多其他方面的重要研究，但是不能把他們的成果與此前的研究聯繫起來，他們的研究增加了一些附加條件。但是張益唐出現了。「張益唐的成就很轟動，」伊萬尼克說，「他的成果是傑作，談起數論，機械的運用是很重要的。某種程度上，張益唐完全了解這些，儘管他獨自一人工作。這才是他驚喜的原因。他驚嘆於自己推動了論文中參數的發展。」張益唐利用的是一種篩選法，通過複雜的形式找到了素數。發明這種篩選法的是公元前三世紀的希臘天文學家、數學家和地理學家埃拉托色尼，因此也被成為埃拉托色尼篩選法。張益唐說，用這個簡單的篩選法找到1000以下的素數，寫下所有的數字，然後刪除2的倍數，因為這些數是偶數，不可能是素數。然後刪除3的倍數，5的倍數，以此類推，一直到31的倍數。張益唐所用的篩選法不同於其他人。此前的篩選方法將間距遙遠的數字排除了，用這種方法，加州聖荷西大學的戈德斯通（Goldston）、匈牙利數學家平茲（Pintz）及數學家伊爾迪里姆（Y?ld?r?m）已經證明了存在無窮多組間距小於定值的素數對，但是他們沒有確定這個定值是多少，張益唐的成果部分在於這種篩選方法的可選擇性少。未來：還有和孿生素數猜想一樣重要的事做張益唐是否還在研究新的東西？「可能還要解決兩到三個問題。」他說，「孿生素數猜想很成功，但是我還有其他的事情要做。」「和孿生素數猜想一樣重要嗎？」「是的。」據其他數學家透露，張益唐正在研究Landau-Siegel零點猜想。「如果他成功，將更讓人激動。」彼得·薩奈克表示，「我們不知道他的研究進程如何，但是他已經證明了自己是個天才。這一點毫無疑問。他也證明了多年來可以致力於研究同一樣東西。基於這一點，再一次讓世人矚目不是沒有可能的。大家都很期待。」「很多人嘗試過那個問題。」伊萬尼克說，「他是一個有獨立思想的人，做事情不緊不慢。如果Landau-Siegel零點猜想需要再花上十年時間，他也會樂意。除非你解決一個已經被解決了的問題，或者從一開始解決方法就很明晰，否則的話，大多數情況下你都會卡殼。但是張益唐不在乎卡殼時間的長短。」像張益唐這樣喜歡挑戰難題的數學家是不多見的。追求終身教職，需要一個學者頻繁地發表論文，這通常意味著將研究縮窄到某個特定領域，對此，張益唐沒有興趣。他似乎不想和其他數學家競爭，也不因數年來只是一名普通老師而不滿，要知道和他同輩的數學家都是教授了。了解他的人中，沒有人認為他適合做終身教授。「我認為他的做法很聰明。」對此，楊鼎表示，「如果你成為一名優秀的微積分老師，學校就會非常倚重你。你很廉價，也很可靠，學校沒有理由解僱你。在這個職位上做了幾年之後，你會駕輕就熟，有大量的時間去思考其他問題，只要你在生活水準上沒什麼大要求。當然有人嘗試擔任非終身教職，但是通常這些人都資質平平，個性古怪，生活糟糕，而且不喜歡解決問題，但張益唐不是。」被問及哈代關於「數學家和年齡」的定論，「那話可能不適用於我。」張益唐說，「我仍然有直覺，我仍然很自信，我仍然有其他的願景。」
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