五種輔助線助你證全等湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬#TRS_AUTOADD_1315898551471 { MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1315898551471 P { MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1315898551471 TD { MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1315898551471 DIV { MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1315898551471 LI { MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}/**---JSON--{"":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"p":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"td":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"div":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"li":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"}}--**/DIV.MyFav_1315898552913 P.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 10.5pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1315898552913 LI.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 10.5pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1315898552913 DIV.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 10.5pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1315898552913 P.MsoHeader{BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; FONT-SIZE: 9pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; LAYOUT-GRID-MODE: char; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: center}DIV.MyFav_1315898552913 LI.MsoHeader{BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; FONT-SIZE: 9pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; LAYOUT-GRID-MODE: char; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: center}DIV.MyFav_1315898552913 DIV.MsoHeader{BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; FONT-SIZE: 9pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; LAYOUT-GRID-MODE: char; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: center}DIV.MyFav_1315898552913 P.MsoFooter{FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1315898552913 LI.MsoFooter{FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1315898552913 DIV.MsoFooter{FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1315898552913 DIV.Section1{page: Section1}
在證明三角形全等時有時需添加輔助線，對學習幾何證明不久的學生而言往往是難點．下面介紹證明全等時常見的五種輔助線，供同學們學習時參考．
一、截長補短
一般地，當所證結論為線段的和、差關係，且這兩條線段不在同一直線上時，通常可以考慮用截長補短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或將短線段延長使其與長線段相等．
例1．如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB．求證：AC=AE+CD．
分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上．故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD．
證明：在AC上截取AF=AE，連接OF．
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°
∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．
顯然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°
在△DOC與△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC
∴△DOC≌△FOC， CF=CD
∴AC=AF+CF=AE+CD．
二、中線倍長
三角形問題中涉及中線（中點）時，將三角形中線延長一倍，構造全等三角形是常用的解題思路．
例2．已知三角形的兩邊長分別為7和5，那麼第三邊上中線長x的取值範圍是（ ）．
分析：要求第三邊上中線的取值範圍，只有將將中線與兩個已知邊轉移到同一個三角形中，然後利用三角形的三邊關係才能進行分析和判斷．
解：如圖2所示，設AB=7，AC=5，BC上中線AD=x．
延長AD至E，使DE = AD=x．
∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD
∠ADC=∠EDB（對頂角）∴△ADC≌△EDB
∴BE=AC=5
∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE
即7-5＜2x＜7+5 ∴1＜x＜6
三、作平行線
當三角形問題中有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線將相等的角轉換到某一個三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件．
例3．如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD．連接DE交BC於F．求證：DF=EF．
分析：要證DF=EF，必須藉助三角形全等．而現有圖形中沒有全等三角形．由等腰三角形條件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．則△DBH為等腰三角形．
證明：作DH∥AE交BC於H．
∴∠DHB=∠ACB，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB
∴∠DHB=∠B，DH=BD
∵CE=BD ∴DH= CE
又DH∥AE，∠HDF=∠E
∠DFH=∠EFC（對頂角）
∴△ DFH≌△EFC（AAS） ∴DF=EF
四、補全圖形
在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關係，有助於問題的解決．
例4．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線．若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長．
分析：題設中只有一條已知線段AD，且為直角邊，而要求的BE為斜邊．要找到它們之間的關係，需設法構造其他的全等三角形．
證明：延長AD、BC相交於F．
由BD為∠ABC的平分線，BD⊥AF．
易證△ADB≌△FDB ∴FD= AD=a AF=2a ∠F=∠BAD
又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°
∴∠ABD=∠FAC
∵BD為∠ABC的平分線 ∴∠ABD=∠CBE
∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC
∴△ACF≌△BCE（ASA） ∴BE=AF=2a
五、利用角的平分線對稱構造全等
角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱構造出全等三角形是常用的證明方法．
例5．如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．證明：AD=CD．
分析：由角的平分線條件，在BC上截取BE=BA，可構造△ABD≌△EBD，從而AD=DE．則只要證明DE=CD．
證明：在BC上截取BE=BA，連接DE．
由BD平分∠ABC，易證△ABD≌△EBD
∴AD=DE ∠A=∠BED
又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°
∴∠DEC=∠C，∴DE=CD
∴AD=CD
（發表於《中學生數學》2009年10月第10期）
2011-09-09人教網
推薦閱讀：
