【七種"加減乘除"法速演算法則】

一、任意一個數乘以11；1345×11=？

特徵：任意一個數乘以11

原理：假設任意四位數是(1000a+100b+10c+d),乘以11

(1000a+100b+10c+d)×11

=10000a+1000b+100c+10d+1000a+100b+10c+d

=10000a+1000(a+b)+100(b+c)+10(c+d)+d

方法：先把被乘數個位上的數字寫在積的個位上，然後從右向左把被乘數相鄰兩個數相加，

把和寫在積的十位、百位……上(如果滿10，則進位)，最後把被乘數最高位上的數字寫在

積的最高位。(若有進位，要加上進位數字)

實例1：

1345×11=14795

分析：

被乘數:1345;乘數:11;積：14795

積個位上的5，等於被乘數的個位數字5。

積十位上的9，等於被乘數的個位數字5與十位數字4的和,5+4=9。

積百位上的7，等於被乘數的十位數字4與百位數字3的和,4+3=7。

積千位上的4，等於被乘數的百位數字3與千位數字1的和,3+1=4。

積萬位上的1，等於被乘數的萬位數字1。

實例2：

9995×11=109945

分析：

被乘數:9995;乘數:11;積：109945

積個位上的5，等於被乘數的個位數字5。

積十位上的4，等於被乘數的個位數字5與十位數字9的和的個位,9+5=14,取4。

積百位上的9，等於被乘數的十位數字9與百位數字9的和的個位,9+9=18,18+進位1=19，取9。

積千位上的9，等於被乘數的百位數字9與千位數字9的和的個位,9+9=18,18+進位1=19,取9。

積萬位與十萬位上的10，等於被乘數的萬位數字9+進位1=10。

實例3：

6891×11=75801

分析：

被乘數:6891;乘數:11;積：15801

積個位上的1，等於被乘數的個位數字1。

積十位上的0，等於被乘數的個位數字1與十位數字9的和的個位,9+1=10,取0。

積百位上的8，等於被乘數的十位數字9與百位數字8的和的個位,9+8=17,17+進位1=18，取8。

積千位上的5，等於被乘數的百位數字8與千位數字6的和的個位,8+6=14,14+進位1=15,取5。

積萬位7，等於被乘數的萬位數字6+進位1=7。

二、被乘數和乘數都是小於100的兩位數，並且個位數字都是1；41×51=?特徵：被乘數和乘數都是小於100的兩位數，並且個位數字都是1。

原理：假設被乘數是(10a+b);乘數是(10m+b)

(10a+b)×(10m+b)

=100am+10ab+10bm+b×b

=100am+10bm+10ab+b×b

=100am+10b(m+a)+b×b

因為b=1,那麼

=100am+10(m+a)+1×1

=100am+10(a+m)+1

實例1：

41×71=2911

分析：

被乘數:41;乘數:71;積：2911

在積個位上寫數字1。

積十位上的1，等於被乘數的十位數字4與乘數的十位數字7的和的個位,7+4=11,取1，產生進位，向百位進1。

積百位上的9和千位上的2，等於被乘數的十位數字4與乘數的十位數字7的積,7×4=28,加上進位1，實際值是29。

29=7×4+進位1

實例2：

31×61=1891

分析：

被乘數:31;乘數:61;積：1891

在積個位上寫數字1。

積十位上的9，等於被乘數的十位數字3與乘數的十位數字6的和,3+6=9。

積百位上的8和千位上的1，等於被乘數的十位數字3與乘數的十位數字6的積,6×3=18。

18=6×3

三、被乘數和乘數都是小於100的兩位數，並且個位數字都是9；99×99=?;29×39=?

特徵：被乘數和乘數都是小於100的兩位數，並且個位數字都是9。

原理：假設被乘數是(10a+b);乘數是(10m+b)，且(10a+b+1)=A,(10m+b+1)=B

(10a+b)×(10m+b)

=(A-1)×(B-1)

=AB-A-B+1

=AB-(A+B)+1

實例1：

29×39=1131

被乘數:29;乘數:39;積：1131

在積個位上寫數字1。

29+1=30=A,39+1=40=B,相乘積是1200

29+1=30=A,39+1=40=B,相加和是70

所以AB-(A+B)-1=1200-70+1=1131

實例2：

99×99=9801

被乘數:99;乘數:99;積：9801

在積個位上寫數字1。

被乘數:99+1=100=A,乘數:99+1=100=B,相乘積是10000

被乘數:99+1=100=A,乘數:99+1=100=B,相加和是200

所以AB-(A+B)-1=10000-200+1=9800+1=9801

四、30以內任意兩個兩位數乘積的速算；21×22=？

特徵：被乘數和乘數都是在20到30之間

方法：把被乘數的尾數移加到乘數上，然後求積，最後再加上尾數之積。

實例1：

21×22=462

分析：21的尾數是1；22的尾數是2；如果把21的尾數移加到22上，即：22+1=23；

那麼21就變成20了，21-1=20。

21×22=20×23+1×2=460+2=462

實例2：

24×29=20×33+4×9=660+36=696

特徵：被乘數和乘數都是在20以內

方法：把其中一個因數的尾數移加到另一個因數上，

然後補一個0，最後再加上尾數之積。

實例3：

11×11=120+1×1=121。

120=(11+1)×10=120

13×19=220+3×9=220+27=247

15×18=230+40=270

五、乘數是9、99、999……的速算；25×9=？；133×9=？

特徵：當被乘數的位數和乘數中9的個數不相同時

方法：只要在被乘數的末尾添加上和9的個數

一樣多的0做被減數,最後減去被乘數。

實例：

25×9=250-25=225

分析：因為乘數里有1個9，所以25後面添加一個0，變成250

133×99=13300-133=13167

分析：因為乘數里有2個9，所以133後面添加2個0，變成13300

99×9999=990000-99=989901

分析：因為乘數里有4個9，所以99後面添加4個0，變成990000

特徵：當被乘數的位數和乘數中9的個數相同時

實例：

25×99=2475

分析：被乘數是25；乘數是99；25-1=24，24會被作為積的前面兩位；

積的後兩位75=(100-25)

實例：

88×99=8712

分析：被乘數是88；乘數是99；88-1=87，87會被作為積的前面兩位；

積的後兩位12=(100-88)

實例：

511×999=510489

分析：被乘數是511；乘數是999；511-1=510，510會被作為積的前面三位；

積的後三位489=(1000-511)

六、兩位數乘法:十位數相同，兩個個位數之和等於10；56×54=?;37×33=?特徵：被乘數和乘數十位上的數字相同，被乘數和乘數個位上的數字的和是10。

方法：假設被乘數是：a×10+b；乘數是：m×10+c；

(a×10+b)×(a×10+c)

=a×(a+1)加上(b×c)

把十位數乘以(十位數+1)的積，作為積的前兩位；

把兩個個位數之積，作為積的後兩位。

實例1：

58×52

=5×(5+1)×100+(8×2)

=30×100+16

=3016

實例2：

11×19

=1×(1+1)×100+(1×9)

=2×100+9

=209

實例3：

95×95

=9×(9+1)×100+(5×5)

=90×100+25

=9000+25

=9025

七、兩位數乘法:被乘數的兩個數之和等於10, 乘數由同一個數字組成：37×33

特徵：被乘數的兩個數位上的數之和等於10,乘數兩個數位上的數相同。

方法：把被乘數的十位上的數加1，用所得的和乘以乘數十位上的數字，所得的積作為積的前兩位；

把兩數的個位數之積，作為積的後兩位

實例1：

46×77

=(4+1)×7×100+6×7

=5×7×100+42

=3500+42

=3542

實例2：

91×66

=(9+1)×6×100+1×6

=10×6×100+6

=6000+6

=6006

實例3：

37×33

=(3+1)×3×100+7×3

=4×3×100+21

=1200+21

=1221

一、兩位數乘兩位數　　１.十幾乘十幾：口訣：頭乘頭，尾加尾，尾乘尾。例：12×14=？解:1×1=1　２＋４＝６　２×４＝８12×14=168註：個位相乘，不夠兩位數要用0佔位。　　２.頭相同，尾互補(尾相加等於10)：口訣：一個頭加１後，頭乘頭，尾乘尾。例：23×27=？解：２＋１＝３　　２×３＝６　　３×７＝2123×27=621註：個位相乘，不夠兩位數要用0佔位。　　３.第一個乘數互補，另一個乘數數字相同：口訣：一個頭加１後，頭乘頭，尾乘尾。例：37×44=？解：3+1=44×4=167×4=2837×44=1628註：個位相乘，不夠兩位數要用0佔位。　　４.幾十一乘幾十一：口訣：頭乘頭，頭加頭，尾乘尾。例：21×41=？解：2×4=82+4=61×1=121×41=861　　５.11乘任意數：口訣：首尾不動下落，中間之和下拉。例：11×23125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分別在首尾11×23125=254375註：和滿十要進一。　　６.十幾乘任意數：口訣：第二乘數首位不動向下落，第一因數的個位乘以第二因數後面每一個數字，加下一位數，再向下落。例：13×326=？解：13個位是33×3+2=113×2+6=123×6=1813×326=4238註：和滿十要進一。數學中關於兩位數乘法的「首同末和十」和「末同首和十」速演算法。所謂「首同末和十」，就是指兩個數字相乘，十位數相同，個位數相加之和為10，舉個例子，67×63，十位數都是6，個位7+3之和剛好等於10，我告訴他，象這樣的數字相乘，其實是有規律的。就是兩數的個位數之積為得數的後兩位數，不足10的，十位數上補0；兩數相同的十位取其中一個加1後相乘，結果就是得數的千位和百位。具體到上面的例子67×63，7×3=21，這21就是得數的後兩位；6×（6+1）=6×7=42，這42就是得數的前兩位，綜合起來，67×63=4221。類似，15×15=225，89×81=7209，64×66=4224，92×98=9016。我給他講了這個速算小「秘訣」後，小傢伙已經有些興奮了。在「糾纏」著讓我給他出完所有能出的題目並全部計算正確後，他又嚷嚷讓我教他「末同首和十」的速算方法。我告訴他，所謂「末同首和十」，就是相乘的兩個數字，個位數完全相同，十位數相加之和剛好為10，舉例來說，45×65，兩數個位都是5，十位數4+6的結果剛好等於10。它的計演算法則是，兩數相同的各位數之積為得數的後兩位數，不足10的，在十位上補0；兩數十位數相乘後加上相同的個位數，結果就是得數的百位和千位數。具體到上面的例子，45×65，5×5=25，這25就是得數的後兩位數，4×6+5=29，這29就是得數的前面部分，因此，45×65=2925。類似，11×91=1001，83×23=1909，74×34=2516，97×17=1649。為了易於大家理解兩位數乘法的普遍規律，這裡將通過具體的例子說明。通過對比大量的兩位數相乘結果，我把兩位數相乘的結果分成三個部分，個位，十位，十位以上即百位和千位。（兩位數相乘最大不會超過10000，所以，最大只能到千位）現舉例：42×56=2352　　其中，得數的個位數確定方法是，取兩數個位乘積的尾數為得數的個位數。具體到上面例子，2×6=12，其中，2為得數的尾數，1為個位進位數；得數的十位數確定方法是，取兩數的個位與十位分別交叉相乘的和加上個位進位數總和的尾數，為得數的十位數。具體到上面例子，2×5+4×6+1=35，其中，5為得數的十位數，3為十位進位數；得數的其餘部分確定方法是，取兩數的十位數的乘積與十位進位數的和，就是得數的百位或千位數。具體到上面例子，4×5+3=23。則2和3分別是得數的千位數和百位數。　　因此，42×56=2352。再舉一例，82×97，按照上面的計算方法，首先確定得數的個位數，2×7=14，則得數的個位應為4；再確定得數的十位數，2×9+8×7+1=75，則得數的十位數為5；最後計算出得數的其餘部分，8×9+7=79，所以，82×97=7954。同樣，用這種演算法，很容易得出所有兩位數乘法的積。
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