歷史：《量子》歷史之旅（二）——神秘的量子理論 ——《三思科學》電子雜誌２００２年第９期，２００２年９月１日

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神秘的量子理論《量子》歷史之旅(二)

高山面對神秘的量子，人們感到腳下賴以支撐的經典土地已變得不再牢固，頃刻間他們感到從未有過的無依無靠。兩百多年前牛頓所建立的宏偉的經典理論大廈曾經給了他們多少勇氣和力量，也讓他們的心靈在那紛擾的塵世里獲得了多少慰籍與安寧。然而，量子的出現似乎突然間使這座確定性的經典理論大廈坍塌了，留下的只是一些支離破碎的經典殘片，人們在困惑和不安中度過了備受煎熬的1/4個世紀。但是，頑強的人類從不願服輸，他們決心在這片經典廢墟上建立起一座更加輝煌的量子理論大廈。1923年12月10日，在巴黎大學50年節的物理學慶祝會上，經典物理學大師洛倫茲發表了著名的演講「舊的力學和新的力學」。他認為，儘管已有理論具有偉大的優美性和極端的重要性，但不幸的是物理學家們並沒有真正理解它，他們不理解普朗克的能量子假設，也不理解玻爾的定態軌道。洛倫茲宣稱，人們必須發展出一種關於量子的新的力學，一種非連續性的力學。1924年，玻恩在一篇名為「關於量子力學」的文章中首次將這一有待建立的新力學命名為量子力學。一個問題，兩個答案面對如此艱巨的任務，愛因斯坦和玻爾不愧為量子探險的領路人，他們深邃的物理直覺和具有預見性的大膽思想終於引導其他探險者發現了通往量子力學的道路。

圖1 量子探險的兩條道路沿著玻爾原子理論和對應原理所指引的方向，海森伯發現了通往量子力學的魔矩陣之路。他通過放棄經典軌道模型，而只研究與發射光的頻率和強度相對應的那些量之間的關係，建立了只包含頻率和振幅的新的力學方程，這最終導致了量子力學的矩陣形式的建立。通往量子力學的另一條道路是由愛因斯坦開創的，它更加充滿戲劇性。1905年，愛因斯坦提出了光量子假說，之後又發現了光的波粒二象性（1909）；1923年，德布羅意發展了愛因斯坦的思想，提出了物質波假說，認為一切物質都具有波粒二象性；最後，薛定諤於1926年找到了物質波所滿足的運動方程，從而建立了量子力學的波動形式。電子沒有運動軌道！「在我看來最重要的問題就是：定態中的確定的電子軌道到底在多大程度上可以被談到。我相信這根本不能被認為是不言而喻的……海森伯懷疑談論確定軌道的可能性，我認為他在這一點上準確地打中了目標。」——泡利致玻爾，1924年

圖2 經典理論與量子假設水火不相容在20年代初，人們已漸漸認識到，玻爾原子理論是經典理論與量子假設的一種不和諧的混合物，它不可能是最終的理論，因為經典理論與量子假設是水火不相容的。當時最讓人們困惑的一個問題是，儘管玻爾的理論可以預言氫原子的光譜頻率，並且與觀察結果相一致，但是這些頻率與玻爾所假設的電子環繞原子核運動的軌道頻率以及它們的倍頻都不相同。人們開始意識到，經典軌道的應用或許是根本不適當的，而一些思想更激進的年青人，包括海森伯和泡利，已經深信經典軌道模型必須在原子領域中被徹底拋棄。

圖3 原子中的電子1924年，玻爾的助手、荷蘭人克拉默斯沿著「消除軌道」之路取得了第一個重要進展，他成功地獲得了第一個具有完全量子形式的色散關係式。這一結果「不再顯示對多周期體系的（即軌道的）數學理論的更多回憶」。玻恩後來評論說，「這是從經典力學的光明世界走向尚未探索過的、依然黑暗的新的量子力學世界的第一步。」如果軌道運動的觀念是不正確的，那麼原子中的電子到底是怎樣運動的呢？我們又應當如何描述它呢？在克拉默斯成功的激勵下，海森伯開始著手「製造量子力學」，一種沒有軌道運動的新的力學。魔術乘法表「我的所有微弱努力就是要消除並適當地替換掉那個無法觀察到的軌道。」——海森伯致泡利，1925年1925年5月，北海赫爾蘭島夕陽西下，遼闊的北海上灑滿落日的餘輝，海鳥在岸邊歡快地飛舞。哥廷根大學年輕的助教海森伯正在海邊散步，他時而眺望遠方的落日，時而低頭沉思。由於患了枯草熱病1，海森伯不得不到這個人煙稀少的孤島來休假。

圖4 海森伯海森伯的思緒仍然縈繞在那些令人困惑的量子問題上，現在精神的自然放鬆讓他壓抑已久的靈感不斷迸發出來，此時潛在的革命性思想最容易衝破傳統觀念的束縛。他在想，既然電子沒有軌道，那麼通常的位置和速度描述將不再有意義，於是必須利用新的描述量來建立理論。這時，玻爾的對應原理、克拉默斯的色散關係不斷出現在他的腦海中，他意識到通過原子輻射的頻率和強度也許可以建立一種新的力學理論。美妙的思想就是有如此的魔力，一旦你抓到了它，你便踏進了新理論的大門。「那是在夜裡三點鐘左右，計算的最後結果出現在我的面前，……我深深震驚了」。當別人還在對電子軌道戀戀不捨、猶豫不決時，徹底拋棄它的海森伯終於發現了一套新的系統的數學方案——魔術乘法表，其中原子輻射的頻率和強度被按照一定的規則排列成一個數的方陣，方陣之間按照一種新的乘法規則進行運算。回到哥廷根後，海森伯立即將他的新方案寫成一篇論文，並於7月寄給《物理學雜誌》發表。同時，海森伯的導師玻恩進一步研究了他的數學方案，並發現它正是70多年前由數學家們發明的矩陣乘法理論。之後，玻恩、約爾丹和海森伯合作完成了著名的三人論文《論量子力學Ⅱ》，第一次提出了一種系統的量子理論。在這個理論中，經典的牛頓力學方程被矩陣形式的量子方程所代替，後來人們將這個理論稱為矩陣力學。

圖5 狄拉克矩陣力學提出之後，人們又進一步對其進行了數學上的分析和發展，其中包括玻恩和維納提出的量子力學的算符形式，以及狄拉克所發展的q數理論等等。1925年12月25日，愛因斯坦在給好友貝索的信中對新理論評價道，「近來最有趣的理論成就，就是海森伯－玻恩－約爾丹的量子態的理論。這是一份真正的魔術乘法表，表中用無限的行列式（矩陣）代替了笛卡爾坐標。它是極其巧妙的……」波需要傳播方程！「看來，粒子的每一運動都伴隨著一個波場，……這個場（它的物理性質目前還不清楚）在原則上應該是可觀測的。」——愛因斯坦，1924年當量子力學的矩陣形式橫空出世之時，另一股源自愛因斯坦的量子潛流正蓄勢迸發，並將以更加優美的形式出現。1924年，愛因斯坦在一篇文章中首次提到了德布羅意的物質波理論，正是這篇文章使更多的物理學家了解到德布羅意的新思想，並且由於愛因斯坦的權威性而開始認真考慮它。

圖6 薛定諤1925年秋，在同事德拜的建議下，薛定諤開始研讀德布羅意剛剛發表在《物理學紀事》上的文章，並準備就德布羅意的理論做一次報告。這期間，薛定諤深入研究了德布羅意的理論，並開始認真對待物質的波動本性。他甚至認為，波現象是基本的，是構成世界的基礎，而粒子只是表面的、導出的現象。在給好友蘭德的信中薛定諤說，「我也強烈地傾向於那種方法（波理論）……它（德布羅意的理論）簡直太令人激動了，但仍然存在一些非常嚴重的困難……」12月7日，薛定諤做了關於德布羅意理論的報告，但德拜認為他的討論方式過於簡單，並建議為了正確處理波，應當有一個波方程。於是，薛定諤開始認真考慮物質波的可能形式，以及它所遵循的傳播方程。思想就是這樣，只有你深信它、理解它，它才會在你的頭腦中紮根，並結出累累碩果。實際上，當薛定諤開始相信德布羅意的物質波思想，並意識到必須有一個波方程來描述物質波時，他已經敲響了波動力學的大門。神秘的波函數你的方程出自於一個真正的天才。——愛因斯坦致薛定諤，1926年1926年1月，瑞士玫瑰山谷（Arosa）瑞士的玫瑰山谷是歐洲著名的滑雪勝地，每年聖誕節期間人們都喜歡到這裡滑雪度假。1925年的聖誕節，蘇黎世大學教授薛定諤和他的女友也相約來到玫瑰山谷度假，一直為物質波所困擾的薛定諤想藉此機會放鬆一下。那是一個晴朗的午後，溫暖的陽光透過山坡上綴滿白雪的矮松照到蜿蜒的山間小路上，薛定諤正在散步。天藍藍的，偶爾有幾朵白雲飄過，兩三隻可愛的小鳥在林間嘰嘰喳喳地追逐遊戲。涼爽的空氣讓薛定諤感到從未有過的清醒。幾個月以來，德布羅意的物質波思想一直佔據著他的思緒，好友德拜的建議也在向他挑戰，「應當有一個波方程」，去找到它！……紮實的數學基礎和長期研究波動問題的豐富經驗幫助了薛定諤，經過幾次失敗的嘗試之後，他終於發現了物質波的波動方程，並用這一方程成功地解決了氫原子的能級問題，計算結果同實驗數據非常吻合。隨後，薛定諤在《物理學紀事》上連續發表了6篇論文，就此宣布了量子力學的第二種形式——波動力學的誕生。在薛定諤的理論中，電子的運動狀態由一個神秘的波函數來描述2，它隨時間的變化遵循一個連續的波動方程，這個方程後來被稱為薛定諤方程。1926年5月24日，量子的發現者普朗克在給薛定諤的賀信中說：「你可以想像我懷有多大的興趣和熱情來研究你那劃時代的工作……」孰是孰非？人們已經被惱人的量子問題折磨了1/4個世紀，然而，在短短几個月之內竟然同時出現了兩種看起來截然不同的量子理論，這真是一個奇蹟！它既讓人們高興，又讓人們迷惑。究竟誰是正確的呢？即使對於新理論的創建者們，在開始時也仍然不理解他們的發現，但卻本能地反對對方的理論。海森伯在給泡利的信中說，「我發現，薛定諤這個人有多好，他的物理學就有多怪。當你聽他演講時，你會發現自己已經倒退了26年。事實上，薛定諤把每一件『量子理論』味道的東西都扔到汪洋大海中去了……於是就不難建立一種理論了，但是它卻乾脆和經驗相抵觸。」薛定諤同樣回敬說，「當我看到一種蔑視任何形象化的、極為困難的超級代數方法時，我要是不感到厭惡，就會感到沮喪。」可以理解，老一代物理學家們幾乎都喜歡薛定諤的波動理論，因為它似乎又恢復了經典的連續性，而沒有討厭的量子躍遷。此外，微分方程也遠比矩陣更為物理學家們所熟悉。愛因斯坦在4月26日給薛定諤的信中表達了他的意見，「我確信利用你對於量子條件的表述你已經取得了決定性的進展，正如我確信海森伯－玻恩的方法是令人誤解的。」數學的統一上帝有時很喜歡捉弄人。在一陣爭論之後，冷靜下來的薛定諤卻發現，海森伯的矩陣力學和他的波動力學在數學上居然是等價的，在題為《論海森伯—玻恩—約爾丹的量子力學和我的量子力學的關係》的論文中他首次宣布了兩種理論之間的等價性。此時，泡利也獨立地發現了這種等價性。之後，狄拉克通過變換理論進一步把矩陣力學和波動力學統一起來。

圖7 馮·諾依曼1932年，後來成為計算機之父的馮·諾依曼利用希爾伯特空間等數學工具，以更加明確的形式嚴格證明了矩陣力學和波動力學之間的數學等價性。同時，在《量子力學的數學基礎》一書中，馮·諾依曼還給出了量子力學的第一個嚴格的公理化表述。根據他的總結，波函數遵循兩種完全不同的演化過程，第一類過程為瞬時的、非連續的波函數坍縮過程，所謂波函數坍縮是指波函數在測量後將改變為對應於測量結果的新的波函數；第二種過程為連續的波函數演化過程，它嚴格遵循薛定諤方程。量子時代來臨從此，人類開始邁入量子時代。越來越多的人投入到量子力學的應用研究中，出現了原子物理學、固體物理學、量子化學、量子宇宙學等大量新興學科；同時，基於量子理論的新技術也不斷湧現，如原子能技術、激光技術、電子計算機和電訊技術等，這些量子技術深深地改變了人類的現代生活。但是，它究竟說了什麼？現在，人們終於有了一套系統的數學方案——量子力學，但是關於它的物理意義卻並不清楚。利用薛定諤方程進行計算是簡單的，但是要弄清方程中波函數的真實含義卻成了一個新的挑戰。量子的所有神秘似乎都濃縮在了這個即熟悉又陌生的波函數和它的方程中。也許方程的發現者最有發言權。薛定諤認為，波函數是一種在空間中真實存在的波，而粒子則是波的聚集——波包。但是，根據薛定諤方程，波包隨時間的演化會發生擴散，從而明顯與粒子的穩定性不相符合；同時，多粒子波函數的多維性也使這種解釋不能成立。因此，即使是發現者本人也未能理解它所發現的東西。波函數和它的演化方程——薛定諤方程究竟意味著什麼呢？所有的人再一次為這個新的迷題所困擾。